Pho.rs: Полет на Луну

A1 ^0.50 Запишите выражения для $\ddot y$ через $\dot{y}$, $k$, $m_0$, $\mu$ , $u$, $g$ и $t$.

H1 Рассмотрите малую массу топлива, выпущеного ракетой.

H2 Запишите изменение импульса ракеты через малое время в мгновенной (движущейся с постоянной скоростью) СО ракеты.

A2 ^1.00 Пренебрегая силой сопротивления, найдите скорость ракеты $v(m)$ и координату $y(m)$ в момент, когда её масса равна $m$. Выразите ответ через $m$, $g$, $u$, $\mu$ и $m_0$.

H1 $$\int \ln x~\text{d} x = x \ln x - x + C$$

A3 ^0.80 Используя результат прошлого пункта и считая, что $k$ слабо зависит от высоты, найдите численно, на какой высоте $H_c$ будет находиться ракета в момент, когда сила сопротивления станет равна силе тяжести.

H1 Воспользуйтесь режимом table на калькуляторе Casio или таблицей Excel.

A4 ^0.70 Рассматривая вертикальный взлёт, численно оцените отношение $\beta_1$ начальной к конечной массе ракеты, при котором ракета развивает скорость $v_a$ (скорость движения по круговой орбите радиуса $a$).

H1 Воспользуйтесь $y(m)$ из $\textbf{A2}$.

B1 ^0.30 Рассмотрим точку на прямой Земля — Луна между Землёй и Луной, в которой силы притяжения Земли и Луны равны по модулю. Найдите расстояние $r_c$ от Луны до данной точки. Ответ выразите через $r_m$, $M_e$ и $M_m$.

H1 Уравнение заметно упростится, если приравнять корни из сил.

B2 ^0.50 Рассматривая корабль в СО Луны, запишите выражение для удельного момента импульса $L_0^m$ относительно центра Луны и скорости $v_2$ в момент, когда расстояние до Луны равно $r_c$. Ответ выразите через $s$, $s'$, $c$, $v_1$, $v_m$ и $r_c$.

H1 Для нахождения $L_o^m$ по отдельности рассмотрите компонеты скорости перпендикулярные прямой Земля-Луна и параллельные ей.

H2 Для нахождения $v_2$ воспользуйтесь теоремой косинусов.

B3 ^1.20 Записывая ЗСЭ в СО Луны для ближайшего к Луне положения корабля и положения сразу после входа в зону притяжения, получите и решите квадратное уравнение и получите точное выражение для $v_1/v_m$. Ответ выразите через $s$, $s'$, $c$, $b/r_c$ и $v_\text{II}^m/v_m$.

Примечание. Выбирать знак корня в этом пункте не нужно. Не забудьте, что в рамках используемой модели, взаимдействие с Землёй в этой области учитывать не нужно.

H1 Обозначьте все заданные в условии отношения отдельными буквами $x,~y,~z$. Это существенно упростит громоздкие вычисления этого пункта.

B4 ^1.00 Покажите что выражение для $v_1$, полученное в пункте B4, при разложении до первого порядка по степеням $b/r_c$ приводится к виду:

$$v_1 \approx \dfrac{v_m c}{s} + B_0\cdot \dfrac{b}{r_c}$$

Выразите $B_0$ через $v_m$, $v_\text{II}^m$, $s$, $c$ и $s'$. Выбирая знак корня, покажите, что $B_0 > 0$.

H1 Обратите внимание, что нулевой порядок в дискриминанте уравнения сокращается и остается только члены порядка $(b/r_c)^2$ и выше, которые при извлечении корня дадут нужный первый порядок.

H2 Знаменатель можно разложить до нулевого порядка.

H3 Не пренебрегайте слагаемыми в дискриминанте до явного вынесения множителя вида $(b/r_c)^n$ перед ними.

B5 ^0.60 Покажите, что выражение для $v_1$ с точностью до первого порядка имеет вид:

$$v_1 \approx \dfrac{v_m}{\text{tg}~\theta} + A \alpha + B \frac{b}{r_c}$$

Выразите $A$ и $B$ через $v_m$, $v_\text{II}^m$, $\theta$.

H1 Разложите $s'$ до первого порядка.

B6 ^0.60 Вернёмся в систему отсчёта Земли, чтобы найти выражение для угла $\alpha$ между скоростью $v_1$ и прямой Земля — Луна.

Найдите выражение для $\alpha$ между скоростью $v_1$ и прямой Земля — Луна с точностью до первого порядка по степеням $r_c/r_m$ и $a/r_m$. Ответ выразите через $a$, $r_c$, $r_m$, $v_1$, $v_0$ и $\theta$.

Примечание. Не забудьте, что в рамках используемой модели, взаимодействие с Луной в этой области учитывать не нужно.

H1 Запишите ЗСМИ.

H2 Не забудьте учесть вклад в момент импульса от компоненты скорости параллельной линии Земля-Луна.

B7 ^0.40 Записывая ЗСЭ в СО Земли и, пренебрегая слагаемыми порядка $a/r_m$ и $r_c/r_m$, выразите скорость $v_0$ через $v_1$ и $v_\text{II}^e$.

Примечание. Не забудьте, что в рамках используемой модели, взаимодействие с Луной в этой области учитывать не нужно.

H1 Запишите ЗСЭ.

B8 ^1.00 Записывая уравнение конического сечения, получите уравнение, из которого можно найти $\theta$, через $v_1$, $\alpha$, $v_m$, $G$, $M_m$, $b$ и $r_c$.

H1 Уравнение гиперболы:
$$r = \dfrac{p}{1 + e \cos \theta}$$,
где $\theta$ от направления на ближайшую точку орбиты (перицентр).

B9 ^0.40 Найдите $\beta_2$ — отношение начальной массы ракеты к конечной при разгоне от скорости $v_a$ — орбитальной скорости при движении по круговой орбите радиуса $a$ до скорости $v_0$. Ответ выразите через $u$, $v_\text{II}^e$ и $v_a$.

Рассчитайте численное значение $\beta_2$, необходимые для расчётов величины возьмите из части A.

H1 Воспользуйтесь формулой Циолковского.

C1 ^0.50 Считая $v_2 = 1.5~км/с$ (остальные необходимые величины возьмите из прошлых частей задачи), расчитайте численно, во сколько раз уменьшится масса ракеты в процессе прилунения $\beta_3$.

H1 Воспользуйтесь формулой Циолковского.

C2 ^0.50 Рассчитайте численно какую начальную массу $m$ должна иметь ракета для доставки на Луну груза весом $40~т$.

H1 На каждом этапе масса ракеты уменьшается в $\beta_i$ раз. В конце полета остается только груз.

Полет на Луну

Подсказки