|
1
Записан закон изменения импульса $$m\dot y -mgdt-k\dot y\left|\dot y\right|dt= (m-\mu dt)(\dot y + \ddot y dt) - \mu dt(u-\dot y).$$ |
0.30 |
|
|
2
Получен правильный ответ $$\ddot y = \frac{\mu u}{m_0-\mu t}-g-\frac{k\dot y \left|\dot y\right|}{m_0-\mu t}$$ |
0.20 |
|
| 3 В силе сопротивления забыт модуль. | 0.00 |
|
|
1
Записано правильное дифференциальное уравнение $$\ddot y=\dfrac{\mu u}{m}-g$$ |
0.10 |
|
| 2 Для нахождения скорости выражение проинтегрировано по времени | 0.10 |
|
|
3
Получено $$v=-u\ln{\dfrac{m}{m_0}}-g\dfrac{m_0-m}{\mu}$$ |
0.30 |
|
|
4
Верно проинтегрировано по времени выражение для скорости и получено $$y=\dfrac{um_0}{\mu}\left(1-\dfrac{m}{m_0}\ln{\dfrac{m_0}{m}} -\dfrac{m}{m_0}\right)-\dfrac{g}{2}\left(\dfrac{m_0-m}{\mu}\right)^2$$ |
0.50 |
|
|
1
Записано условие равенства сил $$kv^2=mg$$ |
0.10 |
|
|
2
Верно численно решено уравнение на массу $$m=209~\text{т}$$ |
0.40 |
|
|
3
Получено $$H_c=124~\text{км}$$ |
0.30 |
|
|
1
Получено $$v_a=\sqrt{\dfrac{GM_e}{a}}$$ |
0.20 |
|
|
2
Верное численное решение уравнения на массу, из которого получено $$\beta_1=8,03$$ |
0.50 |
|
|
1
Верно записано равенство сил $$\dfrac{GM_m}{r_c^2} = \dfrac{GM_e}{(r_m - r_c)^2}$$ |
0.10 |
|
|
2
Получено $$r_c = \dfrac{r_m}{\sqrt{\frac{M_e}{M_m}} + 1}$$ |
0.20 |
|
|
1
Получено $$v_2 = \sqrt{v_1^2+v_m^2-2v_mv_1 s'}$$ |
0.20 |
|
|
2
Получено $$L_0^m = r_c\left(v_1s - v_mc\right)$$ |
0.30 |
|
Примечание. Выбирать знак корня в этом пункте не нужно. Не забудьте, что в рамках используемой модели, взаимдействие с Землёй в этой области учитывать не нужно.
|
1
Записан ЗСМИ $$vb = L_0^m$$ |
0.15 |
|
|
2
Записан ЗСЭ $$\frac{v^2}{2} - \frac{GM_m}{b} = \frac{v_2^2}{2} - \frac{GM_m}{r_c}$$ |
0.15 |
|
|
3
Подставлены $L_0^m$ и $v_2$, получено верное квадратное уравнение $$\frac{r_c^2}{b^2}\left(v_1s - v_mc\right)^2 - \left(v_\text{II}^m\right)^2 = v_1^2+v_m^2-2v_mv_1 s' - \left(v_\text{II}^m\right)^2\frac{b}{r_c}$$ |
0.10 |
|
|
4
Верное решение квадратного уравнения $$\dfrac{v_1}{v_m} = \frac{sc-\left(\dfrac{b}{r_c}\right)^2s'\pm\sqrt{\left(sc-\left(\dfrac{b}{r_c}\right)^2s'\right)^2-\left(s^2-\left(\dfrac{b}{r_c}\right)^2\right)\left(c^2-\left(\dfrac{b}{r_c}\right)^2-\left(\dfrac{v_{II}^m}{v_m}\right)^2\left(\dfrac{b}{r_c}\right)^2\left(1-\left(\dfrac{b}{r_c}\right)\right)\right)}}{s^2-\left(\dfrac{b}{r_c}\right)^2}$$ |
0.80 |
|
$$v_1 \approx \dfrac{v_m c}{s} + B_0\cdot \dfrac{b}{r_c}$$
Выразите $B_0$ через $v_m$, $v_\text{II}^m$, $s$, $c$ и $s'$. Выбирая знак корня, покажите, что $B_0 > 0$.
|
1
Верное разложение по нулевому порядку $$\frac{v_mc}{s}$$ |
0.20 |
|
|
2
Верное разложение по первому порядку $$B_0 = \frac{v_m\sqrt{c^2+s^2+\left(\frac{v_\text{II}^m}{v_m}\right)^2s^2-2scs'}}{s^2}$$ |
0.80 |
|
$$v_1 \approx \dfrac{v_m}{\text{tg}~\theta} + A \alpha + B \frac{b}{r_c}$$
Выразите $A$ и $B$ через $v_m$, $v_\text{II}^m$, $\theta$.
|
1
Из верного разложения получено $$A = -\frac{v_m}{\text{tg}^2\theta}$$ |
0.30 |
|
|
2
Пренебрегая всеми не нулевыми порядками получено $$B = \frac{v_m\sqrt{1+\left(\frac{v_\text{II}^m}{v_m}\right)^2\sin^2\theta}}{\sin^2\theta}$$ |
0.30 |
|
Найдите выражение для $\alpha$ между скоростью $v_1$ и прямой Земля — Луна с точностью до первого порядка по степеням $r_c/r_m$ и $a/r_m$. Ответ выразите через $a$, $r_c$, $r_m$, $v_1$, $v_0$ и $\theta$.
Примечание. Не забудьте, что в рамках используемой модели, взаимодействие с Луной в этой области учитывать не нужно.
|
1
Записан ЗСМИ $$v_0 a = v_1\sin\alpha(r_m-r_c\cos\theta) - v_1 r_c\cos\alpha \sin\theta$$ |
0.20 |
|
|
2
Получено $$\alpha = \frac{r_c\sin\theta}{r_m}+\frac{v_0a}{v_1r_m}$$ |
0.40 |
|
Примечание. Не забудьте, что в рамках используемой модели, взаимодействие с Луной в этой области учитывать не нужно.
|
1
Верно записан ЗСЭ $$\frac{v_0^2}{2}-\frac{GM_e}{a} = \frac{v_1^2}{2}-\frac{GM_e}{\sqrt{r_c^2+r_m^2-2r_mr_c\cos{\theta}}}$$ |
0.10 |
|
| 2 Пренебрежение потенциалом в правой части ЗСЭ | 0.20 |
|
|
3
Получено $$v_0 = \sqrt{\left(v_\text{II}^e\right)^2+v_1^2}$$ |
0.10 |
|
|
1
Записано уравнение конического сечения $$r=\dfrac{p}{1+e\cos{\varphi}}$$ |
0.10 |
|
|
2
M1
В уравнение сечения подставлены значения в точках $r=r_c$ и $r=b$ $$b=\dfrac{p}{1+e},$$$$r_c=\dfrac{p}{1-e\cos{\varphi}}.$$ |
2 × 0.15 |
|
| 3 M1 Из полученной системы составлено уравнение, исключающее $e$ | 0.10 |
|
|
4
M1
Записано или получено $$p=\dfrac{\left(L_0^m m\right)^2}{GM_m m^2}$$ |
0.30 |
|
|
5
M2
Записано одно из выражений $$b=\dfrac{p}{1+e},$$$$r_c=\dfrac{p}{1-e\cos{\varphi}}.$$ |
0.20 |
|
|
6
M2
Записано или получено $$p=\dfrac{\left(L_0^m m\right)^2}{GM_m m^2}$$$$e = \sqrt{1+\frac{2 E^m\left(L_0^m\right)^2}{(GM_m)^2}}$$ |
2 × 0.25 |
|
|
7
Получено верное уравнение $$\dfrac{\left(v_1\sin(\alpha+\theta)-v_m\cos{\theta}\right)^2 r_c^2}{GM_mb}-1=\left(1-\dfrac{\left(v_1\sin(\alpha+\theta)-v_m\cos{\theta}\right)^2 r_c}{GM_m}\right)\cdot\dfrac{1}{\cos{\theta}}$$ |
0.20 |
|
Рассчитайте численное значение $\beta_2$, необходимые для расчётов величины возьмите из части A.
|
1
Верно записано или получено уравнение Циолковского $$\dfrac{v_{II}^e-v_a}{u}=-\ln{\dfrac{m_2}{m_0}}$$ |
0.20 |
|
|
2
Получено $$\beta_2=\exp{\left(\dfrac{\sqrt{2}-1}{u}\cdot\sqrt{\dfrac{GM_e}{a}}\right)}$$ |
0.10 |
|
|
3
Получен численный ответ $$\beta_2=2.05$$ |
0.10 |
|
|
1
Записан ЗСЭ $$\dfrac{mv_2^2}{2}-\dfrac{GM_mm}{r_c}=\dfrac{mv^2}{2}-\dfrac{GM_mm}{b}$$ |
0.15 |
|
|
2
Верно записано уравнение Циолковского $$\dfrac{v}{u}=\ln{\dfrac{m_0}{m_3}}$$ |
0.05 |
|
|
3
Получено $$\beta_3=\exp{\left(\dfrac{\sqrt{v_2^2-2GM_m\left(\dfrac{1}{r_c}-\dfrac{1}{b}\right)}}{u}\right)}$$ |
0.10 |
|
|
4
Получен численный ответ $$\beta_3=1.83$$ |
0.20 |
|
| 1 $$m=\beta_1\beta_2\beta_3 m_{\text{груз}}$$ | 0.10 |
|
| 2 $$m\approx2300~\text{т}$$ | 0.40 |
|