Рассмотрим изменение импульса системы. Пусть в какой-то момент масса ракеты $m$ и её скорость $\dot y$. Через малое время $dt$ масса ракеты стала меньше на $\mu dt$, а скорость ракеты увеличилась на $\ddot y dt$. При этом продукты сгорания в системе отсчёта Земли имеют скорость $u-\dot y$, направленную вниз. При этом на систему действуют две внешние силы: сопротивление воздуха и притяжение Земли, поэтому закон изменения импульса
$$m\dot y -mgdt-k\dot y\left|\dot y\right|dt= (m-\mu dt)(\dot y + \ddot y dt) - \mu dt(u-\dot y).$$Выразим $\ddot y$
$$-mg-k\dot y \left|\dot y\right| = m\ddot y - \mu u.$$$$\ddot y = \frac{\mu u}{m}-g-\frac{k\dot y \left|\dot y\right|}{m}$$Осталось выразить через требуемые величины.

Воспользуемся ответом из прошлого пункта и проинтегрируем дважды, пренебрегая силой сопротивления, подставляя $t=\dfrac{m_0-m}{\mu}$
$$\ddot y dt=\dfrac{\mu u}{m} dt-g dt,$$$$\int\limits_0^v d\dot y =- \int\limits_{m_0}^m u\dfrac{dm}{m} - \int\limits_0^t g dt,$$

Интегрируя выражение для скорости по времени
$$\int \limits_0^y dy=-u\int \limits_0^t \ln{\left(1-\dfrac{\mu t}{m_0}\right) dt} -\int \limits_0^t gt dt.$$Для интеграла логарифма известно $\int \ln{x}dx=x\ln{x}-x+C$
$$y=\dfrac{um_0}{\mu}\left(\left(1-\dfrac{\mu t}{m_0}\right)\ln{\left(1-\dfrac{\mu t}{m_0}\right)} - \left(1-\dfrac{\mu t}{m_0}\right)+1\right)-\dfrac{gt^2}{2},$$

Запишем условие равенства силы тяжести и силы сопротивления
$$kv^2=mg,$$$$k\left(-u\ln{\dfrac{m}{m_0}}-g\dfrac{m_0-m}{\mu}\right)^2=mg.$$Решая численно уравнение относительно $m$, получаем $m=209~\text{т}$. Подставим массу в формулу для высоты подъема $y$.

Для движения по орбите радиусом $a$ имеем $v_a=\sqrt{\dfrac{GM_e}{a}}$, подставим выражение в формулу для скорости $v$ из пункта A2, получим численный ответ.

Равенство сил на расстоянии $r_c$

$$\dfrac{GM_m}{r_c^2} = \dfrac{GM_e}{(r_m - r_c)^2}$$

Преобразуя получаем

$$r_c = \dfrac{r_m}{\sqrt{\frac{M_e}{M_m}} + 1}$$

Вектор $\vec{v_2}$ получается из вектора скорости $\vec{v_1}$ вычитанием вектора $\vec{v_m}$, откуда можно составить треугольник скоростей.
Используя теорему косинусов
$$v_2 = \sqrt{v_1^2+v_m^2-2v_mv_1\sin\alpha}.$$

Запишем удельный момент импульса по определению
$$\vec{L_0^m}=\left[\vec{r_c},\vec{v_1}-\vec{v_m}\right]=\left[\vec{r_c},\vec{v_1}\right]- \left[\vec{r_c},\vec{v_m}\right].$$Возьмем модуль выражения
$$L_0^m = r_c\left(v_1\sin(\theta+\alpha) - v_m\cos\theta\right).$$

Примечание. Выбирать знак корня в этом пункте не нужно. Не забудьте, что в рамках используемой модели, взаимдействие с Землёй в этой области учитывать не нужно.

Пусть в ближайшей к Луне точке скорость корабля $v$. Тогда из закона сохранения импульса получаем:
$$vb = L_0^m.$$$$v = \frac{r_c}{b}\left(v_1s - v_mc\right)$$Закон сохранения энергии:
$$\frac{v^2}{2} - \frac{GM_m}{b} = \frac{v_2^2}{2} - \frac{GM_m}{r_c}.$$$$\frac{r_c^2}{b^2}\left(v_1s - v_mc\right)^2 - \left(v_\text{II}^m\right)^2 = v_1^2+v_m^2-2v_mv_1 s' - \left(v_\text{II}^m\right)^2\frac{b}{r_c}$$Для удобства обозначим $Z = v_1/v_m$, $x = b/r_c$, $y = v_\text{II}^m/v_m$.
$$\frac{1}{x^2}\left(Zs - c\right)^2 - y^2 = Z^2+1-2Z s' - y^2x$$$$Z^2 \left(s^2-x^2\right) - 2Z\left(sc-x^2s'\right)+c^2-x^2-y^2x^2(1-x) = 0$$$$Z = \frac{sc-x^2s'\pm\sqrt{(sc-x^2s')^2-(s^2-x^2)(c^2-x^2-y^2x^2(1-x))}}{s^2-x^2}$$

$$v_1 \approx \dfrac{v_m c}{s} + B_0\cdot \dfrac{b}{r_c}$$

Выразите $B_0$ через $v_m$, $v_\text{II}^m$, $s$, $c$ и $s'$. Выбирая знак корня, покажите, что $B_0 > 0$.

Будем раскладывать до первого порядка по $x$.
$$Z = \frac{sc-x^2s'\pm\sqrt{(sc-x^2s')^2-(s^2-x^2)(c^2-x^2-y^2x^2(1-x))}}{s^2-x^2}$$Рассмотрим выражение под корнем с точностью до второго порядка (он может дать вклад порядка первого порядка, если под корнем нет слагаемых нулевого и первого порядка, что выполняется в данном случае):
$$(sc-x^2s')^2-(s^2-x^2)(c^2-x^2-y^2x^2(1-x)) \approx s^2c^2 - 2scs'x^2 - \left(s^2c^2-x^2\left(c^2+s^2+y^2s^2\right)\right)=\\=\left(c^2+s^2+y^2s^2-2scs'\right)x^2.$$Выражение для $Z$ с точностью до первого порядка:
$$Z = \frac{sc\pm x\sqrt{c^2+s^2+y^2s^2-2scs'}}{s^2}.$$$$v_1 = \frac{v_mc}{s}\pm\frac{v_m\sqrt{c^2+s^2+\left(\frac{v_\text{II}^m}{v_m}\right)^2s^2-2scs'}}{s^2}\cdot\frac{b}{r_c}$$Несложно заметить, что без второго слагаемого получаем скорость, при которой корабль летит точно в Луну. Знак "+" соответствует нужному полёту вокруг Луны, а знак "-" соответствует пролёту с другой стороны.

Таким образом, итоговое выражение для $v_1$ имеет вид:
$$v_1 = \frac{v_mc}{s}+\frac{v_m\sqrt{c^2+s^2+\left(\frac{v_\text{II}^m}{v_m}\right)^2s^2-2scs'}}{s^2}\cdot\frac{b}{r_c}$$

$$v_1 \approx \dfrac{v_m}{\text{tg}~\theta} + A \alpha + B \frac{b}{r_c}$$

Выразите $A$ и $B$ через $v_m$, $v_\text{II}^m$, $\theta$.

Заметим, что в ответе прошлого пункта можно разложить $B_0$ до нулевого порядка, так как при учёте поправок будем получать слагаемые высокого порядка малости (как минимум второго вида $\alpha b/r_c$).
$$B_0 \approx \frac{v_m\sqrt{\cos^2+\sin^2\theta+\left(\frac{v_\text{II}^m}{v_m}\right)^2\sin^2\theta}}{\sin^2\theta}=\frac{v_m\sqrt{1+\left(\frac{v_\text{II}^m}{v_m}\right)^2\sin^2\theta}}{\sin^2\theta}$$Разложим $v_mc/s$.
$$\frac{v_mc}{s} = \frac{v_m \cos\theta}{\sin(\alpha+\theta)}\approx\frac{v_m \cos\theta}{\sin\theta+\alpha\cos\theta}\approx\frac{v_m}{\text{tg}\theta}\left(1-\frac{\alpha}{\text{tg}\theta}\right)$$$$v_1 = \frac{v_m}{\text{tg}\theta}-\frac{v_m}{\text{tg}^2\theta}\alpha+\frac{v_m\sqrt{1+\left(\frac{v_\text{II}^m}{v_m}\right)^2\sin^2\theta}}{\sin^2\theta}\cdot\frac{b}{r_c}$$

Найдите выражение для $\alpha$ между скоростью $v_1$ и прямой Земля — Луна с точностью до первого порядка по степеням $r_c/r_m$ и $a/r_m$. Ответ выразите через $a$, $r_c$, $r_m$, $v_1$, $v_0$ и $\theta$.

Примечание. Не забудьте, что в рамках используемой модели, взаимодействие с Луной в этой области учитывать не нужно.

Воспользуемся законом сохранения момента импульса относительно Земли. Рассмотрим проекции $\vec v_1$ и радиус-вектора от Земли $\vec r$:
$$\vec v_1 = \begin{pmatrix}v_1\cos\alpha\\v_1\sin\alpha\end{pmatrix},$$$$\vec r = \begin{pmatrix}r_m - r_c\cos\theta\\r_c\sin\theta\end{pmatrix}.$$Закон сохранения импульса:
$$v_0 a = v_1\sin\alpha(r_m-r_c\cos\theta) - v_1 r_c\cos\alpha \sin\theta.$$$$\frac{v_0 a}{v_1\sqrt{r
_m^2-2r_mr_c\cos\theta +r_c^2}}=\sin\left(\alpha - \text{arctg}\left(\frac{r_c\sin\theta}{r_m-r_c\cos\theta}\right)\right)$$$$\alpha = \text{arctg}\left(\frac{r_c\sin\theta}{r_m-r_c\cos\theta}\right) + \arcsin\left(\frac{v_0 a}{v_1\sqrt{r
_m^2-2r_mr_c\cos\theta +r_c^2}}\right)\approx\frac{r_c\sin\theta}{r_m}+\frac{v_0a}{v_1r_m}$$

Примечание. Не забудьте, что в рамках используемой модели, взаимодействие с Луной в этой области учитывать не нужно.

Закон сохранения энергии:
$$\frac{v_0^2}{2}-\frac{GM_e}{a} = \frac{v_1^2}{2}.$$Заметим, что потенциальную энергию в правой части уравнения не учитываем, так как она имеет порядок $a/r_m$.
$$v_0^2-\left(v_\text{II}^e\right)^2 = v_1^2$$

Запишем уравнение канонического сечение $r=\dfrac{p}{1+e\cos{\varphi}}$. Запишем это уравнение для точек, расстояние до которых $r_c$ и $b$
$$b=\dfrac{p}{1+e},$$$$r_c=\dfrac{p}{1-e\cos{\varphi}}.$$Выражая из уравнений эксцентриситет и приравнивая получаем
$$\dfrac{p}{b}-1=\left(1-\dfrac{p}{r_c}\right)\cdot \dfrac{1}{\cos{\theta}}.$$Подставим $p$ по формуле
$$p=\dfrac{\left(L_0^m m\right)^2}{GM_m m^2}=\dfrac{\left(v_1\sin(\alpha+\theta)-v_m\cos{\theta}\right)^2 r_c^2}{GM_m}$$

Рассчитайте численное значение $\beta_2$, необходимые для расчётов величины возьмите из части A.

Запишем дифференциальное уравнение из пункта A1 без учета силы притяжения и силы сопротивления:

$$mdv+udm=0,$$

$$\int \limits_{v_a}^{v_{II}^e} \dfrac{dv}{u}=-\int \limits_{m_0}^{m} \dfrac{dm}{m},$$

$$\dfrac{v_{II}^e-v_a}{u}=-\ln{\dfrac{m}{m_0}},$$

$$\beta_2=\exp{\left(\dfrac{v_{II}^e-v_a}{u}\right)}$$

Запишем ЗСЭ для перемещения ракеты от начала зоны притяжения луны до точки, в который мы выходим на орбиту, близкую к луне $$\dfrac{mv_2^2}{2}-\dfrac{GM_mm}{r_c}=\dfrac{mv^2}{2}-\dfrac{GM_mm}{b},$$ $$v=\sqrt{v_2^2-2GM_m\left(\dfrac{1}{r_c}-\dfrac{1}{b}\right)}.$$ Запишем формулу Циолковского, полученную в пункте B9 с заменой знака скорости истечения газов

$$\dfrac{v}{u}=\ln{\dfrac{m_0}{m_3}}$$