Причина магнитных свойств материалов — магнитный момент, связанный с моментом импульса микроскопических частиц, таких как электроны и атомные ядра. В некоторых веществах магнитные моменты выравниваются в одном направлении, и они приобретают ненулевую намагниченность. В других веществах магнитные моменты ориентированы хаотично, но при помещении во внешнее магнитное поле эти моменты поворачиваются в направлении внешнего поля, и в среднем вещество приобретает ненулевую намагниченность.

Часть A. Вынужденные колебания гармонического осциллятора (3.6 балла)

Чтобы научиться работать со случайными процессами методами классической механики, исследуем вынужденные колебания гармонического осциллятора массой $m$ и угловой частотой $\omega_0$. Энергия осциллятора изменяется под действием внешней силы, которая зависит от времени:

\[m\frac{{\rm d}^2q(t)}{{\rm d} t^2} + m\omega^2_0 q(t) = F(t),\tag{1}\]где внешняя сила определяется следующей ступенчатой функцией:

\[F(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ +mf_0 ,& 0\le t < T_0/2 \\ - mf_0 , & T_0/2\le t < T_0 \\ 0, & t\ge T_0 \end{cases}\]Здесь $\omega_0 = 2\pi/T_0$ — угловая частота осциллятора $q(t)$. Предположим, что начальные условия заданы как $q(0)=A\sin\delta$, $\dot q(0)=A\omega_0\cos\delta$.

До включения внешней силы энергия сохраняется, и её значение равно $E_0 = {m}\omega^2_0 A^2/2$. Без ограничения общности, будем считать $-\pi\le\delta < \pi$.

A1 Найдите положение $q$ и скорость $\dot q={{\rm d}q}/{{\rm d}t}$ осциллятора в момент времени $t=T_0$. Выразите их через $A$, $\delta$, $f_0$, $\omega_0$.

S

A2 Полная механическая энергия осциллятора равна $E(t)= {m(\dot q^2 + \omega^2_0 q^2)}/{2}$. Найдите разность энергий $E(t)$ между моментами времени $t=T_0$ и $t=0$, вызванную действием внешней силы $F(t)$. Иными словами, найдите $\Delta E \equiv E(t\ge T_0) - E(t\le 0)$. Выразите ответ через $A$, $\delta$, $f_0$, $\omega_0$.

S

A3 Пусть $\delta$ — случайная величина, равномерно распределённая в интервале $-\pi \le \delta < \pi$. Иными словами, рассмотрим большое число осцилляторов, подчиняющихся уравнению $(1)$. У всех них $A$ одинаково, а $\delta$ выбирается случайно из диапазона $-\pi\le\delta < \pi$. Вычислите среднее значение поглощаемой ими энергии $\langle \Delta E \rangle$, а также средний квадрат $\langle (\Delta E)^2 \rangle$.

S

Часть B. Прецессия магнитного диполя (6.4 балла)

Энергия магнитного диполя в магнитном поле $\vec B$ определяется следующим образом:
$$E = - \vec \mu \cdot \vec B = - \gamma \vec S \cdot \vec B$$ Рассмотрим бесконечно малый поворот вектора момента импульса $\vec S $. Приравняв разность энергий к работе момента силы ($\vec\tau$), можно получить уравнение для $\vec S$:
$$\vec\tau = \frac{{\rm d}\vec S}{{\rm d}t} = \gamma\vec S \times \vec B $$ Из этого уравнения следует, в частности, что когда $\vec B$ — постоянная величина, то вектор момента импульса (спин) $\vec S$ вращается вокруг направления магнитного поля $\vec B$. Это явление называется Ларморовской прецессией. Её частота в этом случае равна $\gamma |\vec B|$ и не зависит от угла между $\vec S$ и $\vec B$.

Излучение света с круговой поляризацией

Рассмотрим, что произойдёт, если в дополнение к постоянной составляющей вдоль оси $z$ включить переменное магнитное поле в плоскости $xy$. Магнитная энергия в этом случае равна:

\[E = - \omega_0 S_z - \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_x - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_y,\tag{2}\]где $\omega_0$, $\omega_1$ определяются соответствующими компонентами магнитного поля и $\gamma$, а $\omega_2$ — частота колебаний переменной составляющей магнитного поля. Считайте, что все три величины $\omega_0$, $\omega_1$, $\omega_2$ положительны. Уравнения для $\vec S$ принимают вид: $$\begin{cases}\dot S_x = +\omega_0 S_y - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_y = -\omega_0 S_x + \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_z = - \omega_1 \cos (\omega_2 t) S_y +\omega_1 \sin (\omega_2 t) S_x\end{cases}$$ Эти уравнения удобно переписать, если ввести $S_\pm \equiv S_x \pm i S_y$. Получим: $$\begin{cases}\dot S_+ = - i\omega_0 S_+ + i \omega_1 e^{+i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_- = + i\omega_0 S_- - i \omega_1 e^{-i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_z = \dfrac{i\omega_1}{2} \left( e^{-i\omega_2t}S_+ - e^{+i\omega_2 t} S_- \right)\end{cases}$$

Теперь введём спин во вращающейся системе отсчета, определив $S_\pm \equiv e^{\pm i\omega_2 t} \Sigma_\pm$, $S_z \equiv \Sigma_z$. Можно показать, что тогда уравнения для $\Sigma_x \equiv (\Sigma_+ + \Sigma_-)/2$, $\Sigma_y \equiv {i}(\Sigma_- - \Sigma_+)/2$ и $\Sigma_z$могут быть записаны в виде:

$$\frac{\rm d }{{\rm d}t} \vec \Sigma = \vec M \times \vec \Sigma$$где $\vec \Sigma =(\Sigma_x, \Sigma_y, \Sigma_z)$ и $\vec M = (M_x, M_y,M_z)$.

B1 Выразите компоненты $M_x$, $M_y$, $M_z$ через $\omega_0$, $\omega_1$, $\omega_2$.

S

Уравнения упрощаются ещё сильнее, если повернуть систему отсчёта в плоскости $xz$ и ввести новые переменные $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ следующим образом:
$$\begin{cases}\Sigma_X = \Sigma_x \cos\Theta - \Sigma_z \sin\Theta \\ \Sigma_Y = \Sigma_y \\ \Sigma_Z = \Sigma_x \sin\Theta + \Sigma_z \cos\Theta \end{cases}$$

B2 Получите уравнения, описывающие изменение $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ со временем. В них должны входить $M_x, M_y, M_z $ и $\Theta$.

S

Эти уравнения можно привести к виду:
$$\begin{cases}\dot\Sigma_X = +\Omega\Sigma_Y \\ \dot\Sigma_Y = -\Omega\Sigma_X \\ \dot\Sigma_Z = 0\end{cases} $$ если выбрать $\Omega$ и $\operatorname{tg}\Theta$ соответствующим образом.

B3 Используя результаты пунктов B1 и B2, выразите $\Omega$ и $\operatorname{tg}\Theta$ через $\omega_0$, $\omega_1$, $\omega_2$.

S

Рассмотрим теперь большое количество спинов со следующими средними значениями компонент в момент времени $t=0$: $\langle S_x(0)\rangle = \langle S_y(0)\rangle = 0$ и $\langle S_z(0)\rangle>0$. Все спины подчиняются уравнениям, выведенным из $(2)$.

B4 Получите выражение для $\langle S_z(t)\rangle$.

S

B5 Оказалось, что в моменты времени, равные нечётным кратным $T_1$ (т.е. $t=T_1, 3T_1, 5T_1, \ldots$), имеет место $\langle S_z(t)\rangle =0$. При этом во все остальные моменты времени выполняется $\langle S_z(t)\rangle>0$. Вычислите $\omega_1T_1$.

S