Proprietățile magnetice ale unui material își au originea în momentul magnetic legat de momentul cinetic al constituenților săi microscopici, precum electronii și nucleele. În cazul anumitor materiale, momentele magnetice microscopice se aliniază după o anumită direcție, generând un moment magnetic net. Cu alte cuvinte, materialul prezintă o magnetizare diferită de zero. În cazul altor tipuri de materiale, momentele magnetice microscopice sunt orientate aleatoriu, dar atunci când materialul este expus unui câmp magnetic extern, momentele magnetice microscopice se rotesc în jurul direcției câmpului magnetic extern și, în medie, materialul dezvoltă o magnetizare diferită de zero. Dacă întrerupem câmpul magnetic extern, magnetizarea materialului poate scădea treptat până când revine la valoarea inițială. Acest lucru se datorează interacțiunii dintre momentele magnetice sau interacțiunii acestora cu alte grade de libertate microscopice, cum ar fi vibrația rețelei cristaline. Acest proces se numește relaxare și va fi analizat mai jos folosind modele mecanice clasice.

Partea A. Oscilatorul armonic forțat

Analizăm problema relaxării spinului nuclear cauzată de fluctuațiile aleatorii ale altor grade de libertate fizice, precum vibrațiile rețelei cristaline sau momentele dipolare magnetice ale electronilor. Pentru a ne familiariza cu caracterul aleatoriu al soluțiilor unui sistem din mecanica clasică, să începem cu un oscilator armonic forțat de masă $m$ și frecvență unghiulară $\omega_0$. Energia oscilatorului se modifică sub efectul unei forțe externe dependente de timp.

$$m\frac{{\rm d}^2q(t)}{{\rm d} t^2} + m\omega^2_0 q(t) = F(t)$$

unde forța externă este dată de următoarea funcție în trepte.

$F(t) = \left\{ \begin{matrix} 0, & t<0 \\ +mf_0 ,& 0\le t<T_0/2 \\ - mf_0 ,& T_0/2\le t<T_0 \\ 0, & t\ge T_0 \end{matrix} \right.$

Aici $\omega_0 = 2\pi/T_0$ este frecvența unghiulară a oscilatorului $q(t)$. Vom presupune drept condiții inițiale $q(0)=A\sin\delta,\, \dot q(0)=A\omega_0\cos\delta$.

Înainte de aplicarea forței externe, energia este conservată, iar valoarea acesteia este $E_0 = \frac{m}{2}\omega^2_0 A^2$. Fără a pierde din generalitate, presupunem că $-\pi\le\delta < \pi$.

A1 Determinați poziția $q$ și viteza $\dot q=\frac{{\rm d}q}{{\rm d}t}$ la momentul $t=T_0$. Exprimați-le în funcție de $A,\delta, f_0, \omega_0$.

S

A2 Considerați energia mecanică totală $E(t)= \frac{m(\dot q^2 + \omega^2_0 q^2)}{2}$. Calculați diferența dintre $E(t)$ între $t=T_0$ și $t=0$, determinată de acțiunea forței externe $F(t)$. Cu alte cuvinte, calculați $\Delta E \equiv E(t\ge T_0) - E(t\le 0)$ și exprimați-o în funcție de $A,\delta, f_0, \omega_0$.

S

A3 Să presupunem că $\delta$ este o variabilă aleatorie cu o distribuție uniformă în intervalul $-\pi \le \delta < \pi$. Cu alte cuvinte, avem un număr mare de oscilatori armonici forțați identici, toți descriși de aceeași ecuație (1). Condițiile lor inițiale sunt date astfel încât$A$ să fie aceeași, dar $\delta$ este aleasă aleatoriu din $-\pi\le\delta < \pi$. Calculați media statistică a energiei absorbite, $\langle \Delta E \rangle$ și, de asemenea, al doilea moment, $\langle (\Delta E)^2 \rangle$.

S

Partea B: Precesia momentului magnetic de dipol și utilizarea variabilelor sistemului de referință în rotație

Energia unui moment de dipol magnetic în câmpul magnetic $\vec B$ este dată de

$E = - \vec \mu \cdot \vec B = - \gamma \vec S \cdot \vec B$

Când luăm în considerare o rotație infinitezimală a momentului unghiular $\vec S $ și egalăm diferența de energie cu produsul dintre cuplu/moment al forței ($\vec\tau$) și deplasarea unghiulară, obținem ecuația pentru $\vec S.$

$\vec\tau = \frac{{\rm d}\vec S}{{\rm d}t} = \gamma\vec S \times \vec B $

Conform acestei ecuații, când $\vec B$ este constant, momentul unghiular $\vec S$ precesează în jurul direcției câmpului magnetic $\vec B$. Acest fenomen este cunoscut sub numele de precesie Larmor, iar frecvența precesiei este dată de $\gamma |\vec B|$ și, în particular, este independentă de unghiul dintre $\vec S$ și $\vec B$.

Iradierea cu lumină polarizată circular

Să luăm în considerare acum aplicarea unui câmp magnetic oscilant în planul xy, pe lângă o componentă constantă de-a lungul direcției z. Energia magnetică este atunci

$$E = - \omega_0 S_z - \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_x - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_y$$

unde $\omega_0,\omega_1$ sunt date de componentele relevante ale câmpului magnetic și de $\gamma$ , în timp ce $\omega_2$ este frecvența câmpului magnetic oscilant. Presupunem că $\omega_0,\omega_1,\omega_2$ sunt toate pozitive. Ecuațiile pentru $\vec S$ sunt

$\dot S_x = +\omega_0 S_y - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_y = -\omega_0 S_x + \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_z = - \omega_1 \cos (\omega_2 t) S_y +\omega_1 \sin (\omega_2 t) S_x$

Este convenabil să scriem aceste ecuații în termeni de $S_\pm \equiv S_x \pm i S_y$.

Avem

$\begin{aligned} \dot S_+ &= - i\omega_0 S_+ + i \omega_1 e^{+i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_- &= + i\omega_0 S_- - i \omega_1 e^{-i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_z &= \frac{i\omega_1}{2} \left( e^{-i\omega_2t}S_+ - e^{+i\omega_2 t} S_- \right) \end{aligned}$

Pentru etapa următoare, să introducem spinul în sistemul de referință în rotație folosind $S_\pm \equiv e^{\pm i\omega_2 t} \Sigma_\pm, S_z \equiv \Sigma_z$. Se poate arăta că ecuațiile pentru $\Sigma_x \equiv \tfrac{1}{2}(\Sigma_+ + \Sigma_-),\quad \Sigma_y \equiv \tfrac{i}{2}(\Sigma_- - \Sigma_+)$ și $\Sigma_z$ pot fi scrise sub forma

$$\frac{\rm d }{{\rm d}t} \vec \Sigma = \vec M \times \vec \Sigma$$

unde $\vec \Sigma =(\Sigma_x, \Sigma_y, \Sigma_z)$ și $\vec M = (M_x, M_y,M_z)$.

B1 Găsiți expresiile pentru $M_x,M_y,M_z$ în funcție de $\omega_0,\omega_1,\omega_2$.

S

Ecuațiile se simplifică și mai mult dacă luăm în considerare o rotație statică în planul xz și definim noi variabile $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$după cum urmează.

$\begin{aligned} \Sigma_X &= \cos\Theta \Sigma_x - \sin\Theta\Sigma_z \\ \Sigma_Y &= \Sigma_y \\ \Sigma_Z &= \sin\Theta \Sigma_x + \cos\Theta \Sigma_z \end{aligned}$

B2 Deduceți ecuațiile de mișcare pentru $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ și exprimați-le folosind $\omega_0,\omega_1,\omega_2,$ $M_x, M_y, M_z $ și $\Theta$.

S

În ceea ce privește noile variabile din sistemul de referință cu rotație dublă, ecuațiile pot fi reduse la următoarea formă,

$\begin{aligned} \dot\Sigma_X &= +\Omega\Sigma_Y \\ \dot\Sigma_Y &= -\Omega\Sigma_X \\ \dot\Sigma_Z &= 0 \end{aligned}$

dacă $\Omega$ și $\tan\Theta$ sunt alese în mod corespunzător.

B3 Prin combinarea răspunsurilor de la B.1 și B.2, găsiți expresiile pentru $\Omega$ și $\tan\Theta$ în funcție de $\omega_0,\omega_1, \omega_2$.

S

Să luăm în considerare acum un număr mare de spini cu o distribuție statistică a configurațiilor inițiale: la $t=0$, valorile medii satisfac$\langle S_x(0)\rangle = \langle S_y(0)\rangle = 0$ și $\langle S_z(0)\rangle>0$. Toți spinii satisfac aceeași ecuație dedusă din ecuația (2).

B4 Determinați $\langle S_z(t)\rangle$.

S

B5 Dacă $\langle S_z(t)\rangle =0$ la multiplii impari ai lui $T_1$ (adică $t=T_1, 3T_1, 5T_1, \cdots$) și$\langle S_z(t)\rangle>0$ în celelalte cazuri, care este valoarea lui $\omega_1T_1$?

S