Asal mula sifat magnetik suatu bahan adalah momen magnetik yang berasal dari momentum sudut konstituen mikroskopisnya, seperti elektron dan inti atom. Pada beberapa bahan, momen-momen magnetik yang sangat kecil tersebut sejajar ke arah tertentu sehingga menghasilkan medan magnet total. Dengan kata lain, bahan tersebut memiliki magnetisasi yang tidak nol. Pada jenis bahan yang berbeda, momen magnetik kecil tersebut berorientasi secara acak, tetapi ketika bahan tersebut ditempatkan dalam medan magnet eksternal, momen magnetik kecil tersebut berputar mengelilingi arah medan magnet eksternal dan secara rata-rata bahan tersebut mengembangkan magnetisasi yang tidak nol. Jika medan magnet eksternal dimatikan, magnetisasi bahan tersebut mungkin berkurang secara bertahap hingga kembali ke nilai aslinya. Hal ini disebabkan oleh interaksi antara momen-momen magnetik, atau interaksi mereka dengan derajat kebebasan mikroskopis lainnya seperti getaran kisi. Proses ini disebut relaksasi, yang akan dibahas di bawah ini menggunakan model mekanika klasik.

Bagian A. Osilator harmonik terpaksa

Kita membahas masalah relaksasi spin nuklir yang disebabkan oleh fluktuasi acak dari derajat kebebasan fisik lainnya, seperti getaran kisi atau momen dipol magnetik elektron. Untuk memahami unsur keacakan dalam solusi sistem mekanika klasik, mari kita mulai dengan osilator harmonik terpaksa massa $m$ dan frekuensi sudut $\omega_0$. Energinya berubah akibat pengaruh gaya eksternal yang bergantung pada waktu.

$$m\frac{{\rm d}^2q(t)}{{\rm d} t^2} + m\omega^2_0 q(t) = F(t)$$

di mana gaya luar diberikan oleh fungsi bertahap berikut ini.

$F(t) = \left\{ \begin{matrix} 0, & t<0 \\ +mf_0 ,& 0\le t<T_0/2 \\ - mf_0 ,& T_0/2\le t<T_0 \\ 0, & t\ge T_0 \end{matrix} \right.$

Di sini $\omega_0 = 2\pi/T_0$ adalah frekuensi sudut osilator $q(t)$. Misalkan kondisi awal diberikan sebagai $q(0)=A\sin\delta,\, \dot q(0)=A\omega_0\cos\delta$.

Sebelum mengaktifkan gaya eksternal, energi kekal dan nilainya adalah $E_0 = \frac{m}{2}\omega^2_0 A^2$. Tanpa mengurangi keumuman, kita asumsikan $-\pi\le\delta < \pi$.

A1 Tentukan posisi $q$ dan kecepatan $\dot q=\frac{{\rm d}q}{{\rm d}t}$ saat $t=T_0$ . Nyatakan keduanya dalam $A,\delta, f_0, \omega_0$.

S

A2 Tinjau energi mekanik total $E(t)= \frac{m(\dot q^2 + \omega^2_0 q^2)}{2}$ . Hitung selisih $E(t)$ antara $t=T_0$ dan $t=0$, yang disebabkan oleh pengaruh gaya luar $F(t)$. Dengan kata lain, hitung $\Delta E \equiv E(t\ge T_0) - E(t\le 0)$ dan nyatakan dalam $A,\delta, f_0, \omega_0$.

S

A3 Jika $\delta$ adalah variabel acak dengan distribusi seragam dalam rentang $-\pi \le \delta < \pi$. Dengan kata lain, kita memiliki sejumlah besar osilator harmonik paksa yang identik, yang semuanya mengikuti persamaan (1) yang sama. Kondisi awalnya ditentukan sedemikian rupa sehingga $A$ sama, tetapi $\delta$ dipilih secara acak dari $-\pi\le\delta < \pi$. Hitunglah rata-rata statistik dan rata-rata dari kuadrat dari energi yang diserap,$\langle \Delta E \rangle$ dan $\langle (\Delta E)^2 \rangle$.

S

Bagian B: Presesi momen dipol magnetik dan penggunaan variabel kerangka berputar

Energi momen dipol magnetik dalam medan magnet $\vec B$ dinyatakan sebagai

$E = - \vec \mu \cdot \vec B = - \gamma \vec S \cdot \vec B$

Ketika kita mempertimbangkan rotasi infinitesimal dari momentum sudut $\vec S $dan menyamakan selisih energi dengan hasil kali torsi ($\vec\tau$) dan perpindahan sudut, kita memperoleh persamaan untuk $\vec S.$

$\vec\tau = \frac{{\rm d}\vec S}{{\rm d}t} = \gamma\vec S \times \vec B $

Menurut persamaan ini, ketika $\vec B$ konstan, momentum sudut $\vec S$ berputar presesi mengelilingi arah medan magnet $\vec B$. Fenomena ini dikenal sebagai presesi Larmor, dan frekuensi presesi tersebut diberikan oleh $\gamma |\vec B|$ dan khususnya tidak bergantung pada sudut antara $\vec S$ dan $\vec B$.

Penyinaran cahaya terpolarisasi melingkar

Mari kita pertimbangkan medan magnet berosilasi pada bidang xy, selain komponen konstan sepanjang arah z. Energi magnetiknya kemudian adalah

$$E = - \omega_0 S_z - \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_x - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_y$$

di mana $\omega_0,\omega_1$ ditetapkan oleh komponen-komponen medan magnet yang bersangkutan dan $\gamma$ , sedangkan $\omega_2$ adalah frekuensi medan magnet yang berosilasi. Kita mengasumsikan $\omega_0,\omega_1,\omega_2$ semuanya bernilai positif. Persamaan untuk $\vec S$ adalah

$\dot S_x = +\omega_0 S_y - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_y = -\omega_0 S_x + \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_z = - \omega_1 \cos (\omega_2 t) S_y +\omega_1 \sin (\omega_2 t) S_x$

Lebih mudah untuk menulis persamaan-persamaan ini dalam $S_\pm \equiv S_x \pm i S_y$. Kita memiliki

$\dot S_+ = - i\omega_0 S_+ + i \omega_1 e^{+i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_- = + i\omega_0 S_- - i \omega_1 e^{-i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_z = \frac{i\omega_1}{2} \left( e^{-i\omega_2t}S_+ - e^{+i\omega_2 t} S_- \right)$

Untuk langkah selanjutnya, diperkenalkan konsep spin dalam kerangka berputar menggunakan $S_\pm \equiv e^{\pm i\omega_2 t} \Sigma_\pm, \, S_z \equiv \Sigma_z$. Dapat ditunjukkan bahwa persamaan untuk$\Sigma_x \equiv \tfrac{1}{2}(\Sigma_+ + \Sigma_-),\quad \Sigma_y \equiv \tfrac{i}{2}(\Sigma_- - \Sigma_+)$, dan $\Sigma_z$dapat ditulis sebagai

$$\frac{\rm d }{{\rm d}t} \vec \Sigma = \vec M \times \vec \Sigma$$

dengan $\vec \Sigma =(\Sigma_x, \Sigma_y, \Sigma_z)$ dan $\vec M = (M_x, M_y,M_z)$.

B1 Tentukan ekspresi untuk $M_x,M_y,M_z$ dalam $\omega_0,\omega_1,\omega_2$.

S

Persamaan-persamaan tersebut dapat disederhanakan lebih lanjut jika kita mempertimbangkan rotasi statis pada bidang xz dan mendefinisikan variabel-variabel $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ baru sebagai berikut.

$\Sigma_X = \cos\Theta \Sigma_x - \sin\Theta\Sigma_z \\ \Sigma_Y = \Sigma_y \\ \Sigma_Z = \sin\Theta \Sigma_x + \cos\Theta \Sigma_z $

B2 Tentukan persamaan diferensial untuk $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ dan nyatakanlah menggunakan $M_x, M_y, M_z $dan $\Theta$.

S

Kemudian, dalam kerangka koordinat yang berputar ganda, persamaan-persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi bentuk berikut,

$\dot\Sigma_X = +\Omega\Sigma_Y \\ \dot\Sigma_Y = -\Omega\Sigma_X \\ \dot\Sigma_Z = 0 $

jika $\Omega$ dan $\tan\Theta$ dipilih dengan tepat.

B3 Dengan menggabungkan jawaban soal B.1 dan B.2, tentukan ekspresi untuk $\Omega$ dan $\tan\Theta$ dalam $\omega_0,\omega_1, \omega_2$.

S

Mari kita tinjau banyak partikel yang mengalami spin dengan rata-rata distribusi statistik konfigurasi awal: pada $t=0$, $\langle S_x(0)\rangle = \langle S_y(0)\rangle = 0$ dan $\langle S_z(0)\rangle>0$. Semua spin tersebut memenuhi persamaan yang sama yang diturunkan dari Pers. (2).

B4 Hitung rata-rata $\langle S_z(t)\rangle$.

S

B5 Jika $\langle S_z(t)\rangle =0$ pada kelipatan ganjil dari $T_1$ (yaitu $t=T_1, 3T_1, 5T_1, \cdots$) dan$\langle S_z(t)\rangle>0$ pada kasus lain, berapa nilai $\omega_1T_1$ ?

S