คุณสมบัติเกี่ยวกับแม่เหล็กของวัสดุมีที่มาจากโมเมนต์แม่เหล็กซึ่งเกิดจากโมเมนตัมเชิงมุมขององค์ประกอบในระดับจุลภาค เช่น อิเล็กตรอนและนิวเคลียส สำหรับวัสดุบางชนิดที่โมเมนต์แม่เหล็กขนาดเล็กเหล่านี้เรียงตัวในทิศทางเฉพาะตัว จะทำให้เกิดสนามแม่เหล็กสุทธิ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือวัสดุนั้นจะมีค่าแมกนีไทเซชัน (magnetization) ที่ไม่เท่ากับศูนย์ สำหรับวัสดุประเภทอื่น ๆ โมเมนต์แม่เหล็กขนาดเล็กเหล่านี้จะเรียงตัวแบบสุ่ม แต่เมื่อนำวัสดุนี้ไปวางอยู่ในสนามแม่เหล็กภายนอก โมเมนต์แม่เหล็กขนาดเล็กเหล่านี้จะหมุนรอบทิศทางของสนามแม่เหล็กภายนอก และโดยเฉลี่ยแล้วจะก่อให้เกิด magnetization ที่มีค่าไม่เท่ากับศูนย์ หากเราปิดสนามแม่เหล็กภายนอก magnetization ของวัสดุจะค่อย ๆ ลดลงจนกลับคืนสู่ค่าเดิม กระบวนการนี้เกิดจากอันตรกิริยา (interaction) ระหว่างโมเมนต์แม่เหล็กด้วยกันเอง หรืออันตรกิริยาระหว่างโมเมนต์แม่เหล็กกับกระบวนการระดับจุลภาคอื่น ๆ เช่น การสั่นของโครงผลึก (lattice vibration) กระบวนการนี้เรียกว่ากระบวนการคืนตัว (relaxation) ซึ่งสามารถใช้แบบจำลองกลศาสตร์แบบดั้งเดิม (classical mechanics) ในการพิจารณา
พิจารณากระบวนการ relaxation ของสปินของนิวเคลียส (nuclear spin) อันเนื่องมาจากการผันผวนแบบสุ่ม (random fluctuation) ที่เกิดจากกระบวนการต่าง ๆ (physical degrees of freedom) เช่น การสั่นของโครงผลึก (lattice vibration) หรือโมเมนต์แม่เหล็กของอิเล็กตรอน เพื่อทำความคุ้นเคยกับปรากฎการณ์นี้เราจะเริ่มต้นด้วยตัวสั่นฮาร์มอนิกของมวล $m$ และมีความถี่เชิงมุม (angular frequency) $\omega_0$ โดยมีแรงภายนอกมากระทำ ในกรณีนี้พลังงานของออสซิลเลเตอร์จะเปลี่ยนแปลงเนื่องจากผลของแรงภายนอกที่ขึ้นอยู่กับเวลา
$$m\frac{{\rm d}^2q(t)}{{\rm d} t^2} + m\omega^2_0 q(t) = F(t)$$
โดยที่แรงภายนอกมีลักษณะเป็นฟังก์ชันขั้นบันได (step-wise function) ดังนี้
$F(t) = \left\{ \begin{matrix} 0, & t<0 \\ +mf_0 ,& 0\le t<T_0/2 \\ - mf_0 ,& T_0/2\le t<T_0 \\ 0, & t\ge T_0 \end{matrix} \right.$
โดยที่ $\omega_0 = 2\pi/T_0$ คือ ความถี่เชิงมุม (angular frequency) ของตัวสั่นฮาร์มอนิก $q(t)$ กำหนดให้ค่าเริ่มต้นมีค่าเป็น $q(0)=A\sin\delta,\, \dot q(0)=A\omega_0\cos\delta$
ก่อนที่จะมีแรงภายนอกมากระทำ พลังงานจะอนุรักษ์และมีค่าเป็น $E_0 = \frac{m}{2}\omega^2_0 A^2$ และกำหนดให้ $-\pi\le\delta < \pi$
จงคำนวณหาผลต่างของ $E(t)$ ระหว่าง $t=T_0$ และ $t=0$, อันเนื่องมาจากผลของแรงภายนอก $F(t)$ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือให้คำนวณ $\Delta E \equiv E(t\ge T_0) - E(t\le 0)$ และให้ตอบในรูปของ $A,\delta, f_0, \omega_0$
สภาวะเริ่มต้นของตัวสั่นฮาร์โมนิกเหล่านี้ถูกกำหนดให้มี $A$ เหมือนกัน แต่ $\delta$ ถูกเลือกแบบสุ่มจาก $-\pi\le\delta < \pi$ จงคำนวณค่าเฉลี่ยทางสถิติของพลังงานที่ถูกดูดซับ $\langle \Delta E \rangle$ และโมเมนต์อันดับที่สองของพลังงานที่ถูกดูดซับ $\langle (\Delta E)^2 \rangle$
ตอนที่ B: การควง (precession) ของโมเมนต์แม่เหล็ก (magnetic dipole moment) และการใช้ตัวแปรของกรอบหมุน
พลังงานของโมเมนต์แม่เหล็กภายในสนามแม่เหล็ก $\vec B$ มีค่าเป็น
$E = - \vec \mu \cdot \vec B = - \gamma \vec S \cdot \vec B$
เมื่อเราพิจารณาการหมุนเชิงมุมที่เล็กมาก (infinitesimal rotation) ของโมเมนตัมเชิงมุม $\vec S $ และพิจารณาความแตกต่างของพลังงาน (energy difference) กับ ผลคูณ (product) ของ torque ($\vec\tau$) กับการกระจัดเชิงมุม เราจะได้สมการสำหรับ $\vec{S}$ เป็น
$\vec\tau = \frac{{\rm d}\vec S}{{\rm d}t} = \gamma\vec S \times \vec B $
ตามสมการนี้ เมื่อ $\vec B$ คงที่ โมเมนตัมเชิงมุม $\vec S$ จะควง (precession) รอบทิศทางของสนามแม่เหล็ก $\vec B$ ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการควงของลาร์มอร์ (Larmor precession) ความถี่เชิงมุมของการควงนี้มีค่าเป็น $\gamma |\vec B|$ และค่านี้ไม่ขึ้นกับมุมระหว่าง $\vec S$ และ $\vec B$
นอกจากสนามแม่เหล็กที่มีขนาดคงตัวตามแนวแกน z เรายังมีสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงแบบสั่น (oscillating magnetic field) ในระนาบ xy ในกรณีนี้พลังงานแม่เหล็ก (magnetic energy) จะมีสมการเป็น
$$E = - \omega_0 S_z - \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_x - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_y$$
โดยที่ $\omega_0,\omega_1$ มีค่าขึ้นกับองค์ประกอบ (components) ของสนามแม่เหล็กและค่าของ $\gamma$ ในขณะที่ $\omega_2$ คือความเร็วเชิงมุม (angular frequency) ของสนามแม่เหล็กที่สั่น เราสมมติว่า $\omega_0,\omega_1,\omega_2$ ทั้งหมดมีค่าเป็นบวก สมการสำหรับ $\vec S$ คือ
$\begin{aligned} \dot S_x &= +\omega_0 S_y - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_y &= -\omega_0 S_x + \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_z &= - \omega_1 \cos (\omega_2 t) S_y +\omega_1 \sin (\omega_2 t) S_x \end{aligned}$
เพื่อให้สะดวกเราจะเขียนสมการเหล่านี้ในรูปของ $S_\pm \equiv S_x \pm i S_y$ เราจะได้
$\begin{aligned} \dot S_+ &= - i\omega_0 S_+ + i \omega_1 e^{+i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_- &= + i\omega_0 S_- - i \omega_1 e^{-i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_z &= \frac{i\omega_1}{2} \left( e^{-i\omega_2t}S_+ - e^{+i\omega_2 t} S_- \right) \end{aligned}$
สำหรับขั้นตอนต่อไป เราจะเปลี่ยนตัวแปรโดยใช้กรอบหมุน (rotating frame) โดยให้ $S_\pm \equiv e^{\pm i\omega_2 t} \Sigma_\pm, \, S_z \equiv \Sigma_z$
เราสามารถแสดงให้เห็นว่าสมการสำหรับ $\Sigma_x \equiv \tfrac{1}{2}(\Sigma_+ + \Sigma_-),\quad \Sigma_y \equiv \tfrac{i}{2}(\Sigma_- - \Sigma_+)$ , และ $\Sigma_z$ สามารถเขียนได้เป็น
$$\frac{\rm d }{{\rm d}t} \vec \Sigma = \vec M \times \vec \Sigma$$
โดยที่ $\vec \Sigma =(\Sigma_x, \Sigma_y, \Sigma_z)$ และ $\vec M = (M_x, M_y,M_z)$
สมการจะถูกทำให้ง่ายยิ่งขึ้นหากเราพิจารณาการแปลงแบบหมุน (static rotation) ในระนาบ xz และกำหนดตัวแปรใหม่ $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ ดังนี้
$\begin{aligned} \Sigma_X &= \cos\Theta \Sigma_x - \sin\Theta\Sigma_z \\ \Sigma_Y &= \Sigma_y \\ \Sigma_Z &= \sin\Theta \Sigma_x + \cos\Theta \Sigma_z \end{aligned}$
จากนั้นในแง่ของตัวแปรใหม่ในกรอบหมุนสองชั้น สมการสามารถลดรูปเป็นรูปแบบต่อไปนี้
$\begin{aligned} \dot\Sigma_X &= +\Omega\Sigma_Y \\ \dot\Sigma_Y &= -\Omega\Sigma_X \\ \dot\Sigma_Z &= 0 \end{aligned}$
หาก $\Omega$ และ $\tan\Theta$ ถูกเลือกอย่างเหมาะสม
พิจารณาสปินจำนวนมาก ที่เวลา $t=0$ มีค่าเฉลี่ยเชิงประชากรของสปินดังนี้ $\langle S_x(0)\rangle = \langle S_y(0)\rangle = 0$ และ $\langle S_z(0)\rangle>0$ โดยผลเฉลยของสปินจะสอดคล้องกับสมการที่ได้มาจากสมการ (2)