물질이 자기적 성질을 갖는 이유는 전자나 핵과 같은 미시적 입자의 각운동량이 발생시키는 자기 모멘트에 있다. 어떤 물질들은 미세한 자기 모멘트들이 특정 방향으로 정렬되어 0이 아닌 자화를 가진다. 다른 종류의 물질들은 미세한 자기 모멘트들이 무작위로 배열되어 있다. 이러한 물질에 외부 자기장을 가하면 미세 자기 모멘트들이 외부 자기장 방향 주위로 회전하면서 평균적으로 0이 아닌 자화가 발생한다. 외부 자기장을 끄면 물질의 자화는 점차 감소하여 원래의 값으로 돌아갈 수 있다. 이는 자기 모멘트들 사이의 상호작용, 또는 격자 진동과 같은 다른 미시적 자유도와의 상호작용에 기인한다. 이러한 과정을 이완(relaxation)이라 부르며, 아래문제에서는 고전역학 모형을 사용해 이를 다룬다.

Part A. 외력을 받는 조화진동자

이 문제에서는 격자 진동이나 전자의 자기 쌍극자 모멘트 등의 무작위 요동에 의한 핵 스핀 이완 문제를 다룬다. 무작위성이 존재할때의 고전역학 시스템을 이해하기 위해서, 질량 $m$과 각진동수 $\omega_0$를 가지는 조화진동자에 외력을 가하는 상황을 생각하자. 시간에 따라 변하는 외력에 의해 조화진동자의 에너지는 변화한다.

$$m\frac{{\rm d}^2q(t)}{{\rm d} t^2} + m\omega^2_0 q(t) = F(t)$$

여기서 외력은 다음의 계단함수로 주어진다.

$F(t) = \left\{ \begin{matrix} 0, & t<0 \\ +mf_0 ,& 0\le t<T_0/2 \\ - mf_0 ,& T_0/2\le t<T_0 \\ 0, & t\ge T_0 \end{matrix} \right.$

여기서 $\omega_0 = 2\pi/T_0$ 는 진동자의 각진동수이며 $q(t)$는 진동자의 위치이다. 초기조건이 다음과 같이 주어진다고 가정한다. $q(0)=A\sin\delta,\, \dot q(0)=A\omega_0\cos\delta$.

외력을 가하기전, 진동자의 에너지는 보존되며 그 값은 $E_0 = \frac{m}{2}\omega^2_0 A^2$이다. 일반성을 해치지 않으면서 $-\pi\le\delta < \pi$ 로 가정할 수 있다.

A1 $t=T_0$에서 위치 $q$ 와 속도 $\dot q=\frac{{\rm d}q}{{\rm d}t}$ 를 구하라. 답을 $A,\delta, f_0, \omega_0$을 이용하여 나타내라.

S

A2 총 역학적 에너지 $E(t)= \frac{m(\dot q^2 + \omega^2_0 q^2)}{2}$를 고려하자. 외력 $F(t)$에 의한 $t=T_0$ 와 $t=0$에서의 $E(t)$의 차이를 계산하라. 즉, $\Delta E \equiv E(t\ge T_0) - E(t\le 0)$를 계산하고, $A,\delta, f_0, \omega_0$를 이용하여 나타내라.

S

A3 $\delta$가 $-\pi \le \delta < \pi$ 범위에서 균일 분포를 따르는 랜덤 변수라고 하자. 즉, 방정식 (1)을 따르는 조화진동자가 여러개 있고 그 초기조건으로 $A$는 모두 같지만, $\delta$ 는 $-\pi\le\delta < \pi$ 범위에서 무작위로 뽑힌다. 흡수된 에너지의 통계적 평균 $\langle \Delta E \rangle$ 와 2차 모멘트(제곱평균) $\langle (\Delta E)^2 \rangle$를 계산하라.

S

Part B: 자기쌍극자의 세차운동과 회전좌표계 변수

외부자기장 $\vec B$가 존재할 때, 자기 쌍극자의 에너지는 다음과 같이 주어진다.

$E = - \vec \mu \cdot \vec B = - \gamma \vec S \cdot \vec B$

각운동량 $\vec S $의 미세한 회전을 고려하고 에너지 차이를 토크 ($\vec\tau$) 와 각변위의 곱과 같다고 하면, 각운동량 $\vec S$에 대한 운동 방정식은 다음과 같이 주어진다.

$\vec\tau = \frac{{\rm d}\vec S}{{\rm d}t} = \gamma\vec S \times \vec B $

이 방정식에 따르면, $\vec B$ 가 일정할 때, 각운동량 $\vec S$는 자기장 $\vec B$의 방향을 중심으로 세차운동을 한다. 이 현상은 라모어 세차운동(Larmor precession)으로 알려져 있다. 세차운동의 각진동수는 $\gamma |\vec B|$로 주어지며, 특히 이 각진동수는 $\vec S$ 와 $\vec B$ 사이의 각도에 무관하다.

원편광 투사(Irradiation)

z-방향으로 일정한 자기장 성분에 추가로, xy-평면에서 진동하는 자기장을 인가하는 경우를 고려하자. 이 때 자기 에너지는 다음과 같이 주어진다.

$$E = - \omega_0 S_z - \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_x - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_y$$

여기서 $\omega_0,\omega_1$ 은 자기장의 각 성분과 $\gamma$ 에 의해 결정되는 값들이며, $\omega_2$ 는 진동하는 자기장의 각진동수이다. $\omega_0,\omega_1,\omega_2$ 모두 양수라고 가정한다. $\vec S$에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

$\dot S_x = +\omega_0 S_y - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_y = -\omega_0 S_x + \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_z = - \omega_1 \cos (\omega_2 t) S_y +\omega_1 \sin (\omega_2 t) S_x$

이 방정식들을 $S_\pm \equiv S_x \pm i S_y$를 사용하면 편리하게 나타낼 수 있으며, 정리하면 다음과 같다.

$\dot S_+ = - i\omega_0 S_+ + i \omega_1 e^{+i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_- = + i\omega_0 S_- - i \omega_1 e^{-i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_z = \frac{i\omega_1}{2} \left( e^{-i\omega_2t}S_+ - e^{+i\omega_2 t} S_- \right)$

다음 단계를 위해, 회전 좌표계에서의 스핀을 다음과 같이 도입한다: $S_\pm \equiv e^{\pm i\omega_2 t} \Sigma_\pm, \, S_z \equiv \Sigma_z$. 그러면 $\Sigma_x \equiv \tfrac{1}{2}(\Sigma_+ + \Sigma_-),\quad \Sigma_y \equiv \tfrac{i}{2}(\Sigma_- - \Sigma_+)$ , 그리고 $\Sigma_z$에 대한 운동방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\frac{\rm d }{{\rm d}t} \vec \Sigma = \vec M \times \vec \Sigma$$

여기서 $\vec \Sigma =(\Sigma_x, \Sigma_y, \Sigma_z)$ 이고 $\vec M = (M_x, M_y,M_z)$이다.

B1 $M_x,M_y,M_z$ 의 표현식을 $\omega_0,\omega_1,\omega_2$를 이용하여 구하라.

S

다시 한번 xz-평면에서 좌표를 회전하여 새로운 변수 $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ 를 다음과 같이 정의하자.

$\Sigma_X = \cos\Theta \Sigma_x - \sin\Theta\Sigma_z \\ \Sigma_Y = \Sigma_y \\ \Sigma_Z = \sin\Theta \Sigma_x + \cos\Theta \Sigma_z $

그러면 앞서 살펴본 $\Sigma$의 운동 방정식은 더욱 단순해질 수 있다.

B2 새로운 변수 $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$에 대한 운동 방정식을 구하고 이를 $M_x, M_y, M_z $ 및 $\Theta$를 사용하여 표현하라.

S

$\Omega$와 $\tan\Theta$의 값을 적절히 선택하면, B.2에서 구한 운동 방정식들은 다음과 같은 형태로 단순화된다.

$\dot\Sigma_X = +\Omega\Sigma_Y \\ \dot\Sigma_Y = -\Omega\Sigma_X \\ \dot\Sigma_Z = 0 $

B3 B.1 and B.2의 결과를 결합하여, 운동 방정식이 위와 같이 단순화될 때의 $\Omega$ 와 $\tan\Theta$의 표현식을 $\omega_0,\omega_1, \omega_2$을 이용하여 표현하라.

S

이제 초기 배열이 통계적 분포를 따르는 많은 수의 스핀들을 고려하자. $t=0$에서 평균값 $\langle S_x(0)\rangle = \langle S_y(0)\rangle = 0$ 이고$\langle S_z(0)\rangle>0$을 만족한다. 모든 스핀들은 식 (2)로부터 유도된 동일한 방정식을 만족한다.

B4 $\langle S_z(t)\rangle$를 계산하라.

S

B5 만약 $T_1$의 홀수배 (즉 $t=T_1, 3T_1, 5T_1, \cdots$)에서 $\langle S_z(t)\rangle =0$ 를 만족하고, 그 외의 경우에는$\langle S_z(t)\rangle>0$ 라면 $\omega_1T_1$의 값은 무엇인가?

S