La fuerza de fricción no siempre es isotrópica. En muchas ocasiones el valor y el sentido de la fuerza de fricción dependen del sentido de movimiento del cuerpo. Así, por ejemplo, la fricción anisotrópica puede darse en el caso de haber "surcos" de cierta orientación sobre la superficie de contacto de los cuerpos (se sabe, que el coeficiente de fricción de roble contra roble a lo largo de sus fibras equivale a 0,48. Sin embargo, cuando las fibras de un trozo se encuentran en posición transversal en relación a las del otro, es de 0,34). La fricción anisotrópica da como resultado unas propiedades de movimiento interesantes que queremos enseñarles en estos problemas.

Lo que hay que saber sobre la fricción anisotrópica

Asumamos, que tenemos un plano hecho de un material anisotrópico. Según uno de los modelos de fricción anisotrópica más populares, sobre tal plano se puede trazar ejes de coordenadas $X$ e $Y$, perpendiculares entre sí (en adelante principales), de manera que la fuerza de fricción $\vec F$, que influye en el cuerpo, dependa del sentido de movimiento del cuerpo de la siguiente forma:

$$\begin{matrix} F_x &=-\dfrac{|N|}{|v|} \mu_x v_x \\ F_y &=-\dfrac{|N|}{|v|} \mu_y v_y \end{matrix}$$

donde $F_x$, $F_y$ son proyecciones de la fuerza de fricción, $N$ es la fuerza normal que influye en el cuerpo, $v_x$ y $v_y$ son las proyecciones del vector velocidad $\vec v$, $\mu_x$ y $\mu_y$ son los coeficientes de fricción a lo largo de los ejes principales.

De aquí en adelante asumiremos que los ejes de coordenadas del plano se extienden a lo largo de los ejes de fricción principales. Los coeficientes de fricción $\mu_x=0,\!75$ y $\mu_y=0,\!5$, si no se indica lo contrario.

En las secciones A y B el cuerpo es un punto material. El plano por el que se mueven los cuerpos es horizontal en todas las secciones del problema.

Calcule la respuesta numérica en todas las cláusulas del problema, donde resulte posible.

Sección A. Movimiento del cuerpo sobre una superficie horizontal (4.0 puntos)

A1  ^0.50 ¿Qué ángulo $\alpha_1$ deben formar el vector velocidad del cuerpo y el eje $X$ para que el valor absoluto de la potencia de la fuerza de fricción sea máximo?

A2  ^0.50 ¿Qué ángulo $\alpha_2$ deben formar el vector velocidad del cuerpo y el eje $X$ para que el valor absoluto de la potencia de la fuerza de fricción sea 1,2 veces inferior al máximo?

A3  ^1.00 Asumamos que las proyecciones de la velocidad inicial del cuerpo $v_{0x}=1$ m/s y $v_{0y}=1$ m/s. Pasado un período de tiempo, la proyección de la velocidad sobre el eje $Y$ equivale a $v_{1y}=0,\!25$ m/s. ¿A qué equivale el módulo de la velocidad del cuerpo en este momento de tiempo?

A4  ^1.00 Se sabe que la velocidad del cuerpo $v_2=1,0$ m/s. ¿Qué ángulo $\alpha_3$ deben formar el eje $X$ y el vector velocidad para que el radio de la curvatura de la trayectoria sea mínimo? ¿A qué valor equivale? La aceleración de la gravedad $g=9,\!8$ m/s${}^2$.

A5  ^1.00 Aprovechando los coeficientes de fricción enumerados arriba, trace con precisión en una figura las trayectorias del cuerpo en el plano $XY$, utilizando los ángulos de lanzamiento $\alpha_4=\pi/6$ y $\alpha_5=\pi/3$. Las velocidades iniciales son iguales. Resuelva el mismo problema para los coeficientes de fricción $\mu_x=0,\!4$ y $\mu_y=0,\!7$.

Sección B. Condiciones bajo las que el cuerpo inicia el movimiento (2.0 puntos)

B1  ^2.00 Un cuerpo de una masa $m$ se encuentra en reposo en el origen de coordenadas. Al cuerpo se le aplica una fuerza en sentido que forma el ángulo $\alpha$ con el eje $X$. El valor de la fuerza $F(t)=\gamma t$ es directamente proporcional al tiempo. Ignorando el fenómeno de aumento de la fricción por estancia en reposo, encuentre la relación entre el momento de tiempo, en el que el cuerpo iniciará el movimiento, y el ángulo $\alpha$.

Sección C. Movimiento circular del cuerpo (4.0 puntos)

Dos puntos materiales de masa igual equivalente a $m$ se ubican sobre un plano de fricción anisotrópica y están unidos entre sí por una varilla ingrávida no extensible de una longitud $L=1$ м. La varilla sigue el eje $Y$ sin tocar el plano. A uno de los cuerpos se le contribuye una velocidad en sentido perpendicular a la varilla.

C1  ^1.50 Tomando como la velocidad inicial del cuerpo $v_0$, calcule la relación entre su velocidad posterior $v$ y el ángulo de giro de la varilla $\varphi$, considerando que el otro cuerpo en el curso de movimiento posterior se encuentra en reposo.

C2  ^1.50 Calcule el valor máximo de la velocidad inicial $v_{0\mathrm{max}}$, con el que el otro cuerpo permanecerá en reposo.

C3  ^1.00 ¿Qué distancia pasará el cuerpo hasta el momento de parada completa, siendo la velocidad inicial $v_{0\mathrm{max}}$?