摩擦力并不总是各向同性的。通常，摩擦力的大小和方向可能取决于物体的运动方向。例如，在物体的接触面上存在固定方向的 "沟槽 "时，会产生摩擦各向异性（已知橡木对橡木沿木纤维纹理方向的摩擦系数等于0.48，而橡木对橡木沿着纤维交叉方向的摩擦系数为0.34）。摩擦力中各向异性的存在会导致运动的异常特性，本问题研究的就是这个特性。

关于各向异性摩擦力，你需要知道如下内容

假设一个表面是由一种各向异性材料制成的。其中一个最流行的各向异性摩擦力模型表明，存在相互垂直的轴X和Y（称为 主轴），使得作用在物体上的摩擦力 $\vec F$, 取决于物体的运动方向，具体如下：

$$\begin{matrix} F_x &=-\dfrac{|N|}{|v|} \mu_x v_x \\ F_y &=-\dfrac{|N|}{|v|} \mu_y v_y \end{matrix}$$

其中$F_x$，$F_y$是摩擦力的分量，N是作用在物体上的法向正压力，$v_x$和$v_y$是速度矢量$\vec v$的分量，$\mu_x$和$\mu_y$是沿主轴方向的摩擦系数。

下面假设平面上的坐标轴与主轴重合。除非另有说明，摩擦系数为$\mu_x=0.75$，$\mu_y=0.5$。

在A、B两部分中，可以认为物体是质点。在问题的所有部分中，物体运动的平面是水平的。

尽可能提供一个数字答案。

A部分.物体在水平面上的运动(4.0分)

A1  ^0.50

物体的速度矢量应与X轴成多大角度$\alpha_1$，摩擦力功率的绝对值才会最大？

A2  ^0.50

物体的速度矢量与X轴成多大角度$\alpha_2$，可以使摩擦力功率绝对值的1.2倍小于最大值？

A3  ^1.00

设物体的初速度的投影为$v_{0x}=1$ m/s，$v_{0y}=1$m/s。一段时间后，速度在Y轴上的投影等于$v_{1y}=0.25$m/s。此时物体速度的大小是多少？

A4  ^1.00

设物体的速度大小等于$v_2=1.0$ m/s。速度矢量与X轴成什么角度$\alpha_3$时，物体运动轨迹的曲率半径最小？这个半径等于多少？自由落体加速度为$g=9.8$ m/s${}^2$。

A5  ^1.00

对于前面指出的摩擦系数，在一张图上定性地勾画出发射角分别为$\alpha_4=\pi/6$和$\alpha_5=\pi/3$时，物体在XY平面的轨迹。初速度的大小都相同。如果摩擦系数为$\mu_x=0.4$，$\mu_y=0.7$，求同样的问题。

B部分.物体开始运动的条件(2.0分)

B1  ^2.00

一个质量为m的物体静止在原点。对其施加一个力，并与X轴成角α，力的大小$F(t)=\gamma t$与时间成正比。忽略停滞效应，求出该物体从原点开始运动时的时间时刻t与角度α的关系。

C部分 圆周运动（4.0分)

两个质量为m的可近似为质点的物体，位于各向异性摩擦力的表面上，并由长度为L=1m的无质量不可伸缩杆连接。杆沿着Y轴方向放置，并且不与表面接触。给其中一个物体一个垂直于杆的初始速度。

C1  ^1.50

设定物体的初始速度为$v_0$，求其后续速度v与杆的旋转角度$\varphi$的关系，假设后续运动中另一物体始终处于静止状态。

C2  ^1.50

求出初始速度的最大值$v_{0\mathrm{max}}$，在这个值上，另一个物体仍将保持静止状态。

C3  ^1.00

当物体以初始速度$v_{0\mathrm{max}}$运动时，从开始到完全停止该物体移动的距离是多少？