Qədim zamanlardan bəri Yer oxunun istiqamətinin dəyişdiyi, yəni Yer oxunun tədricən fırlandığı məlumdur. Bu, o deməkdir ki, Yer oxu Günəş ətrafında Yerin orbitini müəyyən edən ekliptika müstəvisinə perpendikulyar olan xətt ətrafında fırlanır. Qədim yunan astronomu Hipparx bu oxun ildə təxminən 45 saniyəlik bucaqla dəyişdiyini müəyyən etmişdi. Bu isə oxun bir tam dövrünü (presessiya dövrünü) təxminən 29.000 ildə tamamlaması deməkdir. Müasir ölçmələr bu dövrün təxminən 25.800 il olduğunu göstərir. Bu məsələdə sizdən bu hadisəni Nyuton mexanikası ilə araşdırmağınız tələb olunur.
Aşağıdakı fiziki sabitlərə ehtiyacınız ola bilər:
Yerin oxunun meyl bucağı: $\alpha=23.5^{\circ}$
Günəş və Ay, Yerin qeyri-kürəvi formasına görə Yerə sıfırdan fərqli qüvvə momentləri tətbiq edir və bu da oxun presessiyasına səbəb olur. Yerin bu cür qeyri-kürə formasının əsas səbəbi, Yer öz oxu ətrafında fırlandıqda yaranan mərkəzdənqaçma ətalət qüvvəsidir. Yer səthində yerləşən tektonik plitələr milyonlarla il ərzində daxili gərginliyi azaltmaq üçün deformasiyaya uğramışdır. Buna görə də, sadələşdirilmiş şəkildə, Yeri sıxlığı bircins olan böyük bir maye damcısı kimi təsəvvür edə bilərik; onun forması mərkəzdənqaçma və cazibə qüvvələri ilə müəyyən olunur. Bu modeldə Yer səthi qütb radiusu $R_p$ və ekvator radiusu $R_e$ ilə xarakterizə olunan yastı kürəşəkilli ellipsoid kimi götürülür (bax: Şəkil A.1).
Yerin ekvator və qütb radiusları arasındakı $h_\textrm{max}=R_e-R_p $ fərqi Yerin $R=(R_e+R_p)/2$ orta radiusuna nəzərən çox kiçikdir. $h_\textrm{max}$ -ın qiyməti $\omega$ -Yerin fırlanma bucaq sürəti , $M_E$ -yerin kütləsi və $R$ Yerin orta radiusu ilə aşağıdakı şəkildə ifadə oluna bilər:
$$h_\textrm{max}\propto G^{-1} \omega^\beta M_E^\gamma R^\delta,$$
Burada $G$ qravitasiya sabitidir, $\beta$ $\gamma$ və $\delta$ isə sabit qüvvətlərdir.
A.2 hissəsində $h_{\textrm{max}}$ -ı tapıb-tapmamağınızdan asılı olmayaraq, aşağıdakı suallarda təcrübə ilə müəyyən edilmiş $h_{\textrm{max}}=21~\textrm{km}$ qiymətindən istifadə edin.
Günəşin Yer üzərində (Yerin mərkəzinə nəzərən) sıfırdan fərqli momenti necə tətbiq etdiyini anlamaq üçün aşağıdakı şəkil B.1-ə baxın. Günəşə olan məsafədəki fərq $F_1$qravitasiya qüvvəsinin onun qarşılığı olan $F_2$-dən böyük olmasına səbəb olur.
Yer üzərinə təsir edən bu momentin qiyməti il ərzində fasiləsiz olaraq dəyişir. Şəkil B.1-də göstərilən vəziyyətdə moment maksimal olur, bir rübdən sonra simmetriyaya görə sıfıra enir. Yarım ildən sonra yenidən maksimuma çatır, üç rübdən sonra yenidən sıfır olur və bu qayda ilə davam edir. Ox presessiyasının dövrü bir ildən xeyli böyük olduğuna görə, bu zamanla dəyişən momenti birillik orta qiymətə əsasən qiymətləndirmək mümkündür.
Günəşin Yerə tətbiq etdiyi orta momenti hesablamaq üçün əvvəlcə Günəşin Yerin yaxınlığında yaratdığı qravitasiya sahəsinin zaman üzrə orta qiymətini müəyyənləşdirək. Bu orta qiymət aşağıdakı şəkildə hesablana bilər. Günəş halqası adlanan, kütləsi $M_S$-Günəşin kütləsi ilə eyni olan və radiusu $d_{SE}$-Günəşlə Yer arasındakı orta məsafəyə bərabər olan bircins sıxlıqlı halqavari kütlənin sahəsi kimi ifadə edilə bilər (bax: Şəkil B.2).
Silindrik koordinat sistemimizin koordinat başlanğıcını Yerin mərkəzində götürək və z oxunu ekliptika müstəvisinə (və ya halqa müstəvisinə) perpendikulyar istiqamət kimi təyin edək. Yerin fırlanma oxu $z$ oxu ilə $\alpha=23.5^\circ$ bucaq əmələ gətirir.
Bu hissədə sizdən, B hissəsində tapılmış qravitasiya sahəsinə əsaslanaraq Günəşin Yerə tətbiq etdiyi momenti müəyyən etməyiniz tələb olunur. Sadələşdirmə üçün, Yeri bircins kütlə sıxlığına malik sərt cisim kimi götürün. Fırlanan ellipsoidi, sanki ekvator radiusu $R_e$ olan kürədən artıq hissələri çıxarılmış kimi təsəvvür edək (bax: Şəkil C.1).
Yuxarıdakı fikrə əsasən göstərmək olar ki, artıq hissələrə təsir edən qüvvə momenti, qütb diametrinin $A$ və $B$ uclarında yerləşən və hər birinin kütləsi $2m/5$ olan iki nöqtəvi cismin yaratdığı momentə ekvivalentdir (bax: Şəkil C.1).
Yerin fırlanma oxu $z$ oxu ətrafında konusvari hərəkətlə çox yavaş şəkildə hərəkət edir. Yəni, presessiya edir.
D hissəsində alınan qiymət müşahidə edilən qiymətdən xeyli böyükdür. Bunun səbəbi odur ki, bu vaxta qədər yalnız Günəşin yaratdığı moment nəzərə alınmış, Ayın təsiri isə nəzərə alınmamışdır. Aşağıdakı hesablamalarda fərz edin ki, Ayın orbit müstəvisi ekliptika müstəvisində yerləşir və Ayın Yer ətrafındakı orbiti radiusu $d_{ME}$ olan çevrədir. Ayın kütləsini $M_M$, bu dəyişdirilmiş modeldəki presessiya dövrünü isə $T_2$ ilə işarə edək.