Telah diketahui sejak zaman kuno bahwa sumbu rotasi Bumi memiliki presesi. Artinya, sumbu itu sendiri berputar mengelilingi garis yang tegak lurus terhadap bidang ekliptika, yaitu bidang yang berisi orbit Bumi mengelilingi Matahari. Astronom Yunani Kuno, Hipparchus, menyimpulkan bahwa pergeseran sudut tahunan sumbu adalah sekitar 45'' (detik busur), yang berarti bahwa periode presesi aksial adalah sekitar 29.000 tahun. Pengukuran modern menunjukkan bahwa periode tersebut adalah sekitar 25800 tahun. Dalam soal ini, Anda diminta untuk menyelidiki fenomena ini dengan menggunakan mekanika Newton.
Anda mungkin memerlukan konstanta berikut ini:
Matahari dan Bulan memberikan torsi yang tidak nol pada Bumi karena bentuknya yang tidak bulat, sehingga menimbulkan presesi aksial. Alasan utama di balik bentuk Bumi yang tidak bulat adalah gaya sentrifugal yang disebabkan oleh rotasi Bumi terhadap porosnya. Lempeng tektonik yang terletak di permukaan Bumi telah berubah bentuk selama jutaan tahun untuk meminimalkan tekanan di dalamnya. Oleh karena itu, sebagai perkiraan, mari kita memodelkan Bumi sebagai tetesan cairan besar dengan kerapatan seragam yang bentuknya ditentukan oleh gaya sentrifugal dan gravitasi. Dalam model ini, permukaan Bumi adalah sebuah bola bulat lonjong (ellipsoid revolusi) yang dicirikan oleh jari-jari kutub $R_p$ dan jari-jari khatulistiwa $R_e$ (lihat Gambar A.1).
Perbedaan antara jari-jari khatulistiwa dan kutub Bumi, $h_\textrm{max}=R_e-R_p $ jauh lebih kecil daripada jari-jari rata-rata $R=(R_e+R_p)/2$. Hingga faktor tak berdimensi, nilai $h_\textrm{max}$ dapat dinyatakan dalam bentuk kecepatan sudut rotasi Bumi $\omega$, massa $M_E$ dan jari-jari rata-rata $R$ sebagai
$$h_\textrm{max}\propto G^{-1} \omega^\beta M_E^\gamma R^\delta,$$
di mana $G$ adalah konstanta gravitasi, dan $\beta$, $\gamma$ dan $\delta$ adalah eksponen konstan.
Terlepas dari apakah Anda dapat menemukan $h_{\textrm{max}}$ pada bagian A.2., gunakan nilai empiris $h_{\textrm{max}}=21~\textrm{km}$ pada pertanyaan-pertanyaan berikut.
Untuk mengetahui mengapa Matahari memberikan torsi yang tidak nol (terhadap pusat Bumi) pada planet kita, perhatikan Gambar B.1 di bawah ini. Perbedaan jarak dari Matahari menyebabkan gaya gravitasi $F_1$ lebih besar daripada gaya gravitasi $F_2$.
Besarnya torsi yang bekerja di Bumi bervariasi secara terus menerus sepanjang tahun. Pada posisi yang ditunjukkan pada Gambar B.1, torsi maksimal, seperempat tahun kemudian, karena simetri, torsi menjadi nol. Setelah setengah tahun, torsi mencapai maksimum lagi, tiga perempat tahun kemudian menjadi nol lagi, dan seterusnya. Karena periode presesi aksial jauh lebih besar daripada satu tahun, maka, torsi yang bergantung pada waktu ini dapat diperkirakan dengan baik oleh rata-rata satu tahun.
Untuk menghitung torsi rata-rata yang diberikan oleh Matahari ke Bumi, pertama-tama mari kita tentukan rata-rata waktu dari medan gravitasi yang dihasilkan oleh Matahari di sekitar Bumi. Rata-rata ini dapat dihitung sebagai medan dari sebuah cincin berapat massa yang seragam, cincin Matahari, yang massanya sama dengan massa Matahari $M_S$ dan jari-jarinya sama dengan jarak rata-rata antara Matahari dan Bumi $d_{SE}$ (lihat Gambar B.2).
Anggaplah sistem koordinat silinder kita berawal dari pusat Bumi, dan anggaplah sumbu $z$ tegak lurus dengan bidang ekliptika (yaitu bidang cincin). Sumbu rotasi Bumi membentuk sudut $\alpha=23.5^\circ$ dengan sumbu $z$.
Pada bagian ini, Anda diminta untuk menentukan torsi yang diberikan pada Bumi akibat medan gravitasi yang diperoleh pada Bagian B. Untuk mempermudah, anggaplah Bumi sebagai sebuah benda tegar dengan distribusi massa yang homogen. Anggaplah elipsoid yang berotasi dapat dibayangkan seolah-olah kita membuang bagian yang berlebih dari sebuah bola dengan jari-jari khatulistiwa Bumi $R_e$ (lihat Gambar C.1).
Dapat ditunjukkan bahwa torsi yang bekerja pada daerah berlebih setara dengan torsi yang bekerja pada dua massa titik, masing-masing dengan massa sebesar $2m/5$, yang diposisikan pada titik akhir $A$ dan $B$ dari diameter kutub (lihat Gambar C.1).
Sumbu rotasi Bumi bergerak sangat lambat mengelilingi sumbu $z$ dalam gerakan menyapu permukaan kerucut. Artinya, itu adalah gerak presesi.
Nilai yang diperoleh di Bagian D jauh lebih besar daripada nilai yang diamati. Alasannya, sejauh ini kita hanya mempertimbangkan torsi yang diberikan oleh Matahari, dan mengabaikan efek Bulan. Dalam perhitungan berikut ini, asumsikan bahwa orbit Bulan berada pada bidang ekliptika, dan orbit Bulan mengelilingi Bumi berbentuk lingkaran dengan jari-jari $d_{ME}$. Mari kita nyatakan massa Bulan dengan $M_M$ dan periode presesi dalam model yang dimodifikasi ini dengan $T_2$.