Se știe din cele mai vechi timpuri că axa de rotație a Pământului precesează. Altfel spus, axa se rotește în jurul dreptei perpendiculare pe planul eclipticii, adică planul care conține orbita Pământului în jurul Soarelui. Astronomul antic grec Hiparh a ajuns la concluzia că deplasarea unghiulară anuală a axei este de aproximativ 45'' (secunde de arc), ceea ce ar însemna că perioada de precesie a axei este de aproximativ 29000 de ani. Măsurările moderne indică faptul că perioada este de aproximativ 25800 de ani. În această problemă, vi se cere să investigați acest fenomen folosind mecanica newtoniană.
Este posibil să aveți nevoie de următoarele constante:
constanta gravitațională: $G=6.67\times10^{-11}\:\textrm{Nm}^2 / \textrm{kg}^2$
raza medie a Pământului: $R=6.371\times10^6\:\textrm{m}$
masa Pământului: $M_E=5.972\times10^{24}\:\textrm{kg}$
distanța medie a Soarelui față de Pământ: $d_{SE}=1.496\times10^{11}\:\textrm{m}$
masa Soarelui: $M_S=1.989\times10^{30}\:\textrm{kg}$
distanța medie a Lunii față de Pământ: $d_{ME}=3.844\times10^8\:\textrm{m}$
masa Lunii: $M_M=7.348\times10^{22}\:\textrm{kg}$
înclinarea axială a Pământului: $\alpha=23.5^{\circ}$
Soarele și Luna exercită momente ale forței diferite de zero asupra Pământului din cauza formei sale nesferice, ceea ce determină precesia axei acestuia. Principalul motiv al formei nesferice a Pământului este forța centrifugă cauzată de rotația Pământului în jurul axei sale. Plăcile tectonice situate la suprafața Pământului s-au deformat de-a lungul a milioane de ani, pentru a minimiza tensiunile din interiorul lor. Prin urmare, ca o aproximare, să modelăm Pământul ca o picătură mare de lichid cu densitate uniformă, a cărei formă este determinată de forțele centrifuge și gravitaționale. În acest model, suprafața Pământului este un sferoid oblat (elipsoid de revoluție) caracterizat prin raza polară $R_p$ și raza ecuatorială $R_e$ (a se vedea figura A.1).
Diferența dintre razele ecuatorială și polară ale Pământului, $h_\textrm{max}=R_e-R_p $ este mult mai mică decât raza medie $R=(R_e+R_p)/2$. Până la un factor adimensional, valoarea $h_\textrm{max}$ poate fi exprimată în funcție de viteza unghiulară de rotație a Pământului $\omega$, de masa sa $M_E$ și de raza medie $R$ sub forma
$$h_\textrm{max}\propto G^{-1} \omega^\beta M_E^\gamma R^\delta,$$
unde $G$ este constanta gravitațională, iar $\beta$, $\gamma$ și $\delta$ sunt exponenți constanți.
Indiferent dacă ați reușit să găsiți $h_{\textrm{max}}$ în partea A.2., utilizați valoarea empirică $h_{\textrm{max}}=21~\textrm{km}$ în următoarele întrebări.
Pentru a vedea de ce Soarele exercită un moment al forțelor diferit de zero (în raport cu centrul Pământului) asupra planetei noastre, luați în considerare figura B.1 de mai jos. Diferența de distanță față de Soare face ca forța gravitațională $F_1$ să fie mai mare decât $F_2$.
Modulul acestui moment care acționează asupra Pământului variază continuu pe parcursul anului. În poziția prezentată în figura B.1, momentul este maxim, un sfert de an mai târziu, datorită simetriei, momentul devine zero. După o jumătate de an, acesta atinge din nou maximul, trei sferturi de an mai târziu este din nou zero și așa mai departe. Deoarece perioada de precesie a axei este mult mai mare decât un an, acest moment dependent de timp poate fi aproximat bine prin media sa pe un an.
Pentru a calcula momentul mediu exercitat de Soare asupra Pământului, să determinăm mai întâi media temporală a câmpului gravitațional generat de Soare în apropierea Pământului. Această medie poate fi calculată ca fiind câmpul unui inel cu densitatea de masă uniformă, un inel solar, a cărui masă este egală cu masa Soarelui $M_S$ și a cărui rază este egală cu distanța medie dintre Soare și Pământ $d_{SE}$ (a se vedea Figura B.2).
Consideră sistemul de coordonate cilindrice cu originea în centrul Pământului, iar axa $z$ perpendiculară pe planul eclipticii (adică planul inelului). Axa de rotație a Pământului face un unghi de $\alpha=23.5^\circ$ cu axa $z$.
În această secțiune, vi se cere să determinați momentul exercitat asupra Pământului de către câmpului gravitațional obținut în partea B. Pentru simplitate, considerați Pământul ca fiind un corp rigid cu distribuție omogenă a masei. Să luăm în considerare faptul că elipsoidul de rotație poate fi imaginat ca și cum am elimina părțile în exces dintr-o sferă cu raza ecuatorială a Pământului $R_e$ (a se vedea figura C.1).
Se poate demonstra că momentul care acționează asupra regiunilor în exces este echivalent cu momentul care acționează asupra a două mase punctiforme, fiecare cu o masă egală cu $2m/5$ , poziționate la extremitățile $A$ și $B$ ale diametrului polar (a se vedea figura C.1).
Axa de rotație a Pământului se mișcă foarte lent în jurul axei $z$ descriind un con. Altfel spus, precesează.
Valoarea obținută în partea D este mult mai mare decât valoarea observată. Motivul este că până acum am luat în considerare doar momentul exercitat de Soare și am neglijat efectul Lunii. În calculele următoare, presupunem că orbita Lunii este în planul eclipticii și că orbita Lunii în jurul Pământului este un cerc cu raza $d_{ME}$. Să notăm masa Lunii prin $M_M$ și perioada de precesie în acest model modificat prin $T_2$.