از زمانهای قدیم مشخص شده بود که محور چرخش زمین حرکت تقدیمی دارد. یعنی محور چرخش زمین به دور خط عمود بر صفحه دایرهالبروج، یعنی صفحهای که مدار زمین به دور خورشید را در بر میگیرد، میچرخد. هیپارخوس، ستارهشناس یونان باستان، نتیجه گرفت که جابجایی زاویهای سالانه ی محور تقریباً 45 ثانیه قوسی است که بر این اساس دوره تناوب حرکت تقدیمی محوری حدود 29000 سال است. اما اندازهگیریهای جدید نشان میدهد که این دوره تقریباً 25800 سال است. در این مسئله، از شما خواسته میشود که این پدیده را با استفاده از روش مکانیک نیوتنی بررسی کنید.
ممکن است در طول مسئله به ثابتهای زیر نیاز داشته باشید:
خورشید و ماه به دلیل شکل غیر کروی زمین، گشتاورهای غیر صفری را به زمین وارد میکنند که باعث حرکت تقدیمی محوری آن میشود. دلیل اصلی به وجود آمدن شکل غیر کروی زمین، نیروی گریز از مرکز ناشی از چرخش زمین به دور محور خود است. لایه های سطح زمین طی میلیونها سال تغییر شکل دادهاند تا تنش درون آنها به حداقل برسد. بنابراین، به عنوان یک تقریب برای فهم این پدیده، زمین را به عنوان یک قطره مایع بزرگ با چگالی یکنواخت مدل می کنیم که شکل آن توسط نیروهای گریز از مرکز و گرانش تعیین میشود. در این مدل، سطح زمین یک شکل بیضوی (بیضی دورانی) است که با شعاع قطبی $R_p$ و شعاع استوایی$R_e$ مشخص می شود.( شکل A.۱ را ببینید).
تفاوت بین شعاع استوایی و قطبی زمین،$h_\textrm{max}=R_e-R_p $ بسیار کوچکتر از شعاع متوسط $R=(R_e+R_p)/2$ است. می توان با یک ضریب بدون بعد، مقدار$h_\textrm{max}$ را بر حسب سرعت زاویهای چرخش زمین $\omega$ ، جرم آن$M_E$ و شعاع متوسط$R$ به صورت زیر بیان کرد.
$$h_\textrm{max}\propto G^{-1} \omega^\beta M_E^\gamma R^\delta،$$
که $G$ ثابت گرانش است، و$\beta$ ،$\gamma$ و$\delta$ توانهای ثابت هستند.
صرف نظر از اینکه آیا توانستید مقدار $h_{\textrm{max}}$ را در قسمت A.2 پیدا کنید یا خیر، از این پس در طول مسئله ، از مقدار تجربی $h_{\textrm{max}}=21~\textrm{km}$ استفاده کنید .
برای اینکه ببینید چرا خورشید گشتاور غیر صفر (نسبت به مرکز زمین) بر سیاره ما اعمال میکند، شکل B.1 را ببینید. اختلاف فاصله از خورشید از دو طرف زمین باعث ایجاد نیروی گرانشی متفاوت در دو طرف زمین میشود.$F_1$ از $F_2$ بزرگتر است.
مقدار این گشتاور در طول یک سال به طور مداوم تغییر میکند. در موقعیت نشان داده شده در شکل B.1 ، گشتاور حداکثر است، سه ماه بعد، به دلیل تقارن، گشتاور صفر میشود. سه ماه دیگر، دوباره به حداکثر میرسد، سه ماه دیگر دوباره صفر میشود و به همین ترتیب ادامه میابد. از آنجایی که دوره تناوب حرکت تقدیمی محوری بسیار بیشتر از یک سال است، این گشتاور وابسته به زمان را میتوان در قالب مسئله کند تغییر با میانگین یک ساله آن تقریب زد.
برای محاسبه میانگین گشتاور اعمال شده توسط خورشید بر زمین، ابتدا میانگین زمانی میدان گرانشی تولید شده توسط خورشید در مجاورت زمین را تعیین میکنیم. این میانگین برابر است با میدان یک حلقه جرمی با توزیع یکنواخت، که جرم آن برابر با جرم خورشید $M_S$ است. شعاع حلقه نیز برابر با فاصله متوسط بین خورشید و زمین $d_{SE}$ است ( شکل B.2 را ببینید).
فرض کنید مبدأ مختصات دستگاه استوانهای ما در مرکز زمین، و $z$ محور عمود بر صفحه دایره البروج (یعنی صفحه حلقه) باشد. محور چرخش زمین، زاویهای به اندازه$\alpha=23.5^\circ$ با محور $z$ می سازد.
در این بخش، از شما خواسته میشود که گشتاور وارد بر زمین را به کمک میدان گرانشی به دست آمده در بخش B تعیین کنید. برای سادگی، زمین را به عنوان یک جسم صلب با توزیع جرمی یکنواخت در نظر بگیرید که شکل بیضوی زمین را میتوان به صورت یک کره کامل به شعاع $R_e$ که از آن دو بخش اضافی شمالی و جنوبی حذف شده اند در نظر گرفت. ( شکل C.1 را ببینید).
میتوان نشان داد که گشتاور وارد بر نواحی اضافی معادل گشتاور وارد بر دو جرم نقطهای است که هر کدام جرمی برابر با $2m/5$ دارند و در نقاط انتهایی $A$ و$B$ و بر روی قطر قطبی قرار گرفتهاند ( شکل C.1 را ببینید).
محور چرخش زمین بسیار آهسته به دور محور $z$ میچرخد. این حرکت بر روی یک مخروط است که به آن حرکت تقدیمی گفته می شود.
مقدار به دست آمده در بخش D بسیار بزرگتر از مقدار مشاهده شده است. دلیل این امر این است که تاکنون فقط گشتاور اعمال شده توسط خورشید را در نظر گرفته و از اثر ماه صرف نظر کردهایم. در محاسبات بعدی، فرض کنید مدار ماه نیز در صفحه دایره البروج بوده و به دور زمین روی دایرهای به شعاع $d_{ME}$ می چرخد. جرم ماه را با $M_M$ نشان میدهیم. دوره تناوب جدید حرکت تقدیمی زمین به واسطه اثر گرانشی ماه و خورشید را$T_2$ می نامیم.