Kirish

Ma'lumki, qadim zamonlardan beri Yerning aylanish o'qi presessiya harakatini amalga oshiradi. Bund Yer o'qi ekliptika tekisligi o'qi, ya'ni Yerning Quyosh atrofidagi orbitasini o'z ichiga olgan tekisligiga perpendikulyar chiziq atrofida aylanadi. Qadimgi yunon astronomi Gipparx o'qning yillik burchak og'ishi taxminan 45'' (burchak sekundi) ni tashkil qiladi. Bu esa o'q presessiyasining davri taxminan 29000 yil degan xulosaga olib keladi. Zamonaviy o'lchashlar bu davr taxminan 25800 yil ekanligini ko'rsatadi. Ushbu masalada Nyuton mexanikasi yordamida ushbu hodisani tekshirish so'raladi.

Sizga quyidagi doimiylar kerak bo'lishi mumkin:

• gravitatsiya doimiysi: $G=6.67\times10^{-11}\:\textrm{Nm}^2 / \textrm{kg}^2$
• Yerning o'rtacha radiusi: $R=6.371\times10^6\:\textrm{m}$
• Yerning massasi: $M_E=5.972\times10^{24}\:\textrm{kg}$
• Yerdan Quyoshgacha o'rtacha masofa: $d_{SE}=1.496\times10^{11}\:\textrm{m}$
• Quyoshning massasi: $M_S=1.989\times10^{30}\:\textrm{kg}$
• Yerdan Oygacha o'rtacha masofa: $d_{ME}=3.844\times10^8\:\textrm{m}$
• Oyning massasi: $M_M=7.348\times10^{22}\:\textrm{kg}$
• Yer o'qining og'maligi: $\alpha=23.5^{\circ}$

A qism. Yerning shakli (1.0 ball)

Yerning shakil sferik bo'lmaganligi uchun unga Quyosh va Oy tomonidan nolga teng bo'lmagan kuch momentlari ta'sir qiladi, bu esa o'z navbatida Yer o'qining presessiyasini keltirib chiqaradi. Yer shakli sharsimon emasligining asosiy sababi Yer o'z o'qi atrofida aylanishi natijasida yuzaga keladigan markazdan qochma kuchning ta'siridir. Yer yuzasida joylashgan tektonik plitalar ulardagi mexanik kuchlanishni minimallashtirish uchun millionlab yillar davomida deformatsiyalangan. Shuning uchun, taxminiy xulosa sifatida Yerni shakli markazdan qochma va tortishish kuchlari bilan belgilanadigan, zichligi bir jinsli, katta suyuqlik tomchisi sifatida modellashtiramiz. Ushbu modelda Yer sirti $R_p$ qutb radiusi va $R_e$ ekvator radiusi bilan tavsiflanadigan cho'zilgan sferoid (aylanish ellipsoidasi)dir. ( A.1-rasmga qarang).

Yerning ekvatordagi va qutbdagi radiuslari orasidagi $h_\textrm{max}=R_e-R_p $ farq $R=(R_e+R_p)/2$ o'rtacha radiusdan ancha kichikdir. O'lchamsiz kattalik aniqligida $h_\textrm{max}$ ning qiymati Yer aylanishining $\omega$ burchak tezligi , uning $M_E$ massasi va $R$ o'rtacha radius orqali quyidagicha ifodalanishi mumkin:

$$h_\textrm{max}\propto G^{-1} \omega^\beta M_E^\gamma R^\delta,$$

bu yerda $G$ gravitatsiya doimiysi hamda $\beta$, $\gamma$ va $\delta$ darajalar o'zgarmas.

A1 $\beta$, $\gamma$ va $\delta$ darajalarning qiymatlarini toping.

A S

A2 Yuqorida berilgan munosabatdagi o‘lchamsiz kattalik 1 ga teng deb faraz qilib $h_\textrm{max}$ning son qiymatini hisoblang.

A S

A.2 qismda siz $h_{\textrm{max}}$ni topgan bo'lsangiz ham quyidagi savollarda $h_{\textrm{max}}=21~\textrm{km}$ qiymatni qo'llang.

B qism. Quyoshning vaqt boʻyicha oʻrtacha gravitatsiya maydoni (3.2 ball)

Nima uchun Quyosh sayyoramizga Yerning markaziga nisbatan nolga teng bo'lmagan kuch momenti bilan ta'sir qilishini bilish uchun quyidagi B.1-rasmni ko'rib chiqing. Quyoshgacha bo'lgan masofalar farqi tufayli $F_1$ gravitatsiya kuchi qarama-qarshi tomondagi $F_2$ kuchdan kattaroq bo'ladi.

Yerga ta'sir etuvchi bu momentning qiymati yil davomida doimiy ravishda o'zgarib turadi. B.1-rasmda ko'rsatilgan holatda, moment maksimal, chorak yil o'tgach, simmetriya tufayli moment nolga aylanadi. Yarim yil o'tgach, u yana maksimal darajaga yetadi, yilning to'rtdan uch qismi o'tganidan keyin yana bir marta nolga teng bo'ladi va hokazo. O'q presessiyasining davri bir yildan ancha katta bo'lganligi sababli vaqtga bog'liq bo'lgan bu kuch momentini bir yillik o'rtacha qiymat yordamida approksimatsiya qilish mumkin.

Quyosh tomonidan Yerga ta'sir qiladigan o'rtacha momentni hisoblash uchun, avvalo, Quyosh tomonidan Yerga yaqin joyda hosil bo'lgan tortishish maydonining vaqt bo'yicha o'rtacha qiymatini aniqlaymiz. Bu o'rtacha qiymatni massasi$M_S$ Quyosh massasiga teng bo'lgan bir jinsli zichlikdagi massiv halqaning, ya'ni Quyosh halqasining maydoni sifatida hisoblash mumkin. Halqaning radiusi Quyosh va Yer orasidagi $d_{SE}$ o'rtacha masofaga teng (B.2-rasmga qarang).

Silindrsimon koordinatalar sistemasining koordinata boshi Yerning markazida bo'lsin va $z$ o'qi ekliptika tekisligiga (ya'ni halqa tekisligiga) perpendikulyar bo'lsin. Yerning aylanish o'qi $z$o'qi bilan $\alpha=23.5^\circ$ burchak hosil qiladi.

B1 $z$ o'qining ixtiyoriy nuqtasida Quyosh halqasi tomonidan hosil qilingan gravitatsiya maydonining yo'nalishi va qiymatini toping. Javobingizni $M_S$, $d_{SE}$ va $z$ koordinata orqali ifodalang. Bunda $\vert z \vert \ll d_{SE}$ deb hisoblang.

A S

B2 Koordinata boshidan $r$ masofada joylashgan, ekliptika tekisligidagi ixtiyoriy nuqtada Quyosh halqasi tomonida hosil qilingan gravitatsiya maydon kuchlanganligi moduli va yo'nalishini toping. $r \ll d_{SE}$ deb hisoblang.

A S

C qism. Yerga ta'sir etuvchi moment (2.6 ball)

Ushbu C qismda B qismda olingan gravitatsiya maydoni tufayli Yerga ta'sir qiladigan kuch momentini aniqlash so'raladi. Soddalik uchun Yerni bir jinsli taqsimlangan massali qattiq jism deb hisoblang. Aylanish ellipsoidini radiusi $R_e$ bo'lgan shardan ortiqcha qismlari olib tashlangan jism deb tasavvur qiling (C.1-rasmga qarang).

C1 C.1-rasmda ko‘rsatilgan ikkita ortiqcha sohalardan birining massasini toping. Javobingizni $h_\textrm{max}$, Yer massasi $M_E$, Yerning qutbdagi radiusi $R_p$ va boshqa berilgan kattaliklar orqali ifodalang.

A S

Ortiqcha qismlarga ta'sir qiluvchi aylantiruvchi kuch momenti ikkita nuqtadagi massalariga ta'sir qiluvchi momentga teng bo‘lishi mumkinligi ko‘rsatilgan. Har bir nuqta massasi $2m/5$ ga teng bo‘lib, ular qutb diametri uchlari bo'lgan $A$ va $B$ nuqtalarda joylashgan (C.1-rasmga qarang).

C2 Ushbu fikrni hisobga olgan holda, Quyosh halqasi tomonidan Yerga ta'sir qiluvchi $\tau$ kuch momentini toping. Javobingizni $M_E$, $M_S$, $d_{SE}$, $R$ (o‘rtacha radius), $h_{\textrm{max}}$ va $\alpha$ burchak orqali ifodalang. $h_\textrm{max}\ll R$ dan foydalanishingiz mumkin.

A S

Qism D. Yer o'qi presessiyasining burchak tezligi (2.0 ball)

Yerning aylanish o'qi atrofida juda sekin harakat qiladi$z$ o'q konussimon harakatda. Ya'ni, u oldindan o'tadi.

D1 Yer o‘qi presessiya davri $T_1$ uchun ifoda yozing. Javobingizni quyidagi kattaliklar orqali ifodalang: $M_S$, $d_{SE}$, Yerning aylanish burchak tezligi $\omega$, $h_\textrm{max}$, $R$ va $\alpha$.

A S

D2 $T_1$ presessiya davrini yillarda hisoblang.

A S

E qism. Oyning ta'siri (1.2 ball)

D qismida olingan qiymat kuzatilgan qiymatdan ancha katta. Buning sababi shundaki, biz hozirgacha faqat Quyosh ta'sir qiladigan momentni ko'rib chiqdik va Oyning ta'sirini e'tibga olmadik. Quyidagi hisob-kitoblarda Oyning orbitasi ekliptika tekisligida, Oyning Yer atrofidagi orbitasi esa $d_{ME}$ radiusli aylana deb faraz qiling. Oyning massasini $M_M$, va bu o'zgartirilgan modeldagi presessiya davrini $T_2$ deb belgilaymiz.

E1 Agar Oy tomonidan hosil qilinadigan kuch momenti ham inobatga olinsa, Yer o‘qi presessiya davri necha marta o'zgaradi: $T_2/T_1 $? Javobingizni quyidagi kattaliklar orqali ifodalang: $d_{ME}$, $d_{SE}$, $M_S$ va $M_M$.

A S

E2 Tegishli ma’lumotlarni qo‘yib, $T_2$pretsessiya davrini yillarda hisoblang.

A S