Từ thời cổ đại, người ta đã biết rằng, trục quay của Trái Đất không cố định mà tham gia chuyển động tiến động. Cụ thể là, trục quay của Trái Đất quay quanh một trục tưởng tượng vuông góc với mặt phẳng hoàng đạo – tức là mặt phẳng chứa quỹ đạo chuyển động của Trái Đất quanh Mặt Trời. Nhà thiên văn học Hy Lạp cổ đại Hipparchus đã xác định rằng độ lệch góc hàng năm của trục là khoảng 45 giây cung, điều này dẫn đến ước tính chu kỳ tiến động của trục quay vào khoảng 29000 năm. Tuy nhiên, các phép đo hiện đại cho thấy, chu kỳ thực sự gần đúng là khoảng 25800 năm. Trong bài toán này, em sẽ được yêu cầu khảo sát hiện tượng nói trên bằng cách sử dụng cơ học Newton.
Em có thể cần dùng các hằng số sau
Mặt Trời và Mặt Trăng tạo ra các mômen lực khác 0 lên Trái Đất do hình dạng của Trái Đất là hình cầu không hoàn hảo, từ đó gây ra chuyển động tiến động của trục quay. Nguyên nhân chính khiến Trái Đất không có dạng hình cầu hoàn hảo là do lực ly tâm sinh ra bởi chuyển động quay của Trái Đất quanh trục của nó. Các mảng kiến tạo nằm trên bề mặt Trái Đất đã bị biến dạng qua hàng triệu năm để làm giảm ứng suất nội tại. Vì vậy, như một phép gần đúng, ta có thể mô hình hóa Trái Đất như một giọt chất lỏng lớn có mật độ khối lượng đồng nhất, với hình dạng được xác định bởi sự cân bằng giữa lực ly tâm và lực hấp dẫn.Trong mô hình này, bề mặt Trái Đất được xem như một "oblate spheroid" - hình cầu bóp dẹt (thu được khi quay hình elip quanh trục ngắn), được đặc trưng bởi bán kính cực $R_p$ và bán kính xích đạo $R_e$ (xem Hình A.1).
Độ chênh lệch giữa bán kính xích đạo và bán kính cực của Trái Đất, gọi là $h_\textrm{max}=R_e-R_p $, là rất nhỏ so với bán kính trung bình $R=(R_e+R_p)/2$. Ta có thể biểu diễn $h_\textrm{max}$ theo tốc độ góc chuyển động tự quay của Trái Đất $\omega$, khối lượng của Trái Đất $M_E$ và bán kính trung bình $R$ như sau (bỏ qua hệ số tỷ lệ không thứ nguyên):
$$h_\textrm{max}\propto G^{-1} \omega^\beta M_E^\gamma R^\delta,$$
trong đó, $G$ là hằng số hấp dẫn, $\beta$, $\gamma$ và $\delta$ là các số mũ cần xác định.
Dù em tìm được giá trị $h_{\textrm{max}}$ trong câu hỏi A.2. hay không, em hãy sử dụng giá trị thực nghiệm $h_{\textrm{max}}=21~\textrm{km}$ khi giải các câu hỏi tiếp theo.
Để hiểu vì sao Mặt Trời tạo ra mômen lực không bằng 0 (so với tâm Trái Đất), hãy xem Hình B.1 dưới đây. Do sự khác biệt về khoảng cách đến Mặt Trời nên lực hấp dẫn $F_1$ sẽ lớn hơn lực tương ứng $F_2$.
Độ lớn của mômen lực tác dụng lên Trái Đất thay đổi liên tục theo thời gian trong năm. Tại vị trí được minh họa trong Hình B.1, mômen lực là lớn nhất. Một phần tư chu kỳ quay sau đó, do tính đối xứng, mômen lực trở thành bằng 0. Nửa năm sau, nó lại đạt giá trị cực đại, ba phần tư chu kỳ sau lại bằng 0 một lần nữa, và cứ thế tiếp diễn. Do chu kỳ tuế sai trục quay của Trái Đất lớn hơn nhiều so với một năm, mômen lực thay đổi theo thời gian này có thể được xấp xỉ gần đúng tốt bởi giá trị trung bình của nó trong một năm.
Để tính mômen lực trung bình do Mặt Trời tác dụng lên Trái Đất, trước tiên hãy xác định trường hấp dẫn trung bình mà Mặt Trời tạo ra tại vùng lân cận Trái Đất. Trường trung bình này có thể được tính bằng cách xem xét một vòng khối lượng có mật độ đều – gọi là "vòng Mặt Trời", có tổng khối lượng bằng khối lượng của Mặt Trời $M_S$ và bán kính bằng khoảng cách trung bình từ Trái Đất đến Mặt Trời $d_{SE}$ (xem Hình B.2).
Thiết lập hệ tọa độ trụ có gốc tọa độ tại tâm Trái Đất và trục $z$ vuông góc với mặt phẳng hoàng đạo (tức là mặt phẳng chứa vòng tròn). Trục quay của Trái Đất tạo với trục $z$ một góc $\alpha=23.5^\circ$ .
Trong phần này, em được yêu cầu xác định mômen lực do trường hấp dẫn ở Phần B tác dụng lên Trái Đất. Để đơn giản, hãy coi Trái Đất là một vật rắn có phân bố khối lượng đồng đều. Ta có thể tưởng tượng hình elip quay của Trái Đất như một hình cầu có bán kính xích đạo $R_e$ bị loại bỏ đi phần dư (xem Hình C.1).
Có thể chứng minh rằng mômen lực tác dụng lên các vùng dư này tương đương với mômen lực tác động lên hai khối điểm, đặt tại hai đầu $A$ và $B$ của đường kính trục cực, mỗi khối có khối lượng bằng $2m/5$ (xem Hình C.1).
Trục quay của Trái Đất chuyển động rất chậm quanh trục $z$ theo dạng hình nón. Tức là, xảy ra hiện tượng tiến động.
Giá trị tìm được ở Phần D lớn hơn nhiều so với giá trị quan sát được. Nguyên nhân là vì ta mới chỉ xét đến mômen lực do Mặt Trời gây ra mà bỏ qua ảnh hưởng của Mặt Trăng. Trong các tính toán sau, ta coi quỹ đạo của Mặt Trăng là một đường tròn nằm trong mặt phẳng hoàng đạo và có bán kính $d_{ME}$. Ký hiệu khối lượng của Mặt Trăng là $M_M$ và chu kỳ tiến động trong mô hình đã bổ sung thêm Mặt Trăng là $T_2$.