جَو زمین یک سیستم فیزیکی پیچیده است و پیش‌بینی رفتار آن برای اهداف زیست‌محیطی و هواشناسی بسیار مهم است. با این حال، حتی بهترین مدل‌های نظری که روی رایانه‌های مدرن اجرا می‌شوند، برای پیش‌بینی‌های دقیق کافی نیستند. در این مسئله، ما تلاش خواهیم کرد تا برخی از پدیده‌های اساسی جَو را بر اساس مدل‌های ساده بفهمیم. ممکن است به ثابت‌های زیر نیاز داشته باشید: میانگین توان کل تابش خورشیدی در واحد سطح در زمین، $F_s=1370\text{ W/m}^2$ ، جرم مولی آب$\mu_{\text{H}_2\text{O}}\approx18\text{ g/mol}$ و جرم مولی متوسط هوا $\mu_{\text{air}}\approx29\text{ g/mol}$. تمام گازهای موجود در این مسئله را می‌توان به عنوان گازهای ایده‌آل در نظر گرفت. فرض کنید که تمام مولکول‌های هوا $5$ درجه آزادی دارند.

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2/2} \;dx = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}, \hspace{4mm} a> 0$$

بخش A. دمای سطح زمین (2.1 نمره)

در این بخش، تأثیر جو بر دمای سطح زمین را بررسی می‌کنیم. فرض کنید برای زمین و جو آن به عنوان یک سیستم، ضریب بازتاب (آلبدو) $a=0.3$ است. آلبدو کسر بازتاب شده از کل تابش خورشیدی فرودی است و می‌توانید از آن در تمام بخش‌های این مسئله استفاده کنید.

A1 میانگین توان خالصی که از خورشید توسط سیستم زمین و جو دریافت می شود،$P_0$ را بر حسب $F_s,a$ و $R_E$ (شعاع زمین) بیان کنید.

A S

A2 دمای متوسط سطح زمین $T_{g0}$ را با فرض اینکه در تعادل گرمایی با تابش خورشیدی فرودی باشد و به صورت یک جسم سیاه تابش کند به دست آورید. از جو صرف نظر کنید.

A S

پاسخ شما برای بخش A.2 باید کمتر از چیزی باشد که انتظار دارید. اکنون مطابق شکل A.1 جو را به صورت یک لایه نازک با ضخامت ناچیز و دمای $T_a$ در نظر بگیرید. لایه جو بجز تابش خود، کسر خالص $t_{\text{sw}}$ از تابش ورودی خورشید را به سطح زمین و کسر خالص $t_{\text{lw}}$ از تابش حرارتی زمین را به خارج از جو منتقل می‌کند. تابش جو را به عنوان یک جسم سیاه در نظر بگیرید.

A3 با فرض اینکه سیستم در تعادل گرمایی باشد دمای زمین، $T_g$، را محاسبه کنید. با در نظر گرفتن $t_{\text{sw}}=0.9$ و $t_{\text{lw}}=0.2$ مقدار عددی $T_g$ را حساب کنید.

A S

بخش B. طیف جذبی گازهای جوی (8.1 نمره)

تابش فروسرخ ساطع‌شده از زمین انرژی کمی دارد و قادر به تحریک الکترون‌های درون مولکول‌ها نیست، اما می‌تواند حالت‌های ارتعاشی و چرخشی مولکول‌ها را تحریک کند.

B1 در اینجا، یک مولکول دو اتمی ساده را با دو جرم نقطه‌ای $m_A$ و$m_B$ که از طریق یک فنر با ثابت فنری $k$ به هم متصل شده اند مدل‌سازی می کنیم. فرکانس زاویه‌ای ارتعاشات، $\omega_d$، چقدر است؟

A S

B2 مکانیک کوانتومی بیان می‌کند که برانگیختگی‌های ارتعاشی ناشی از جذب یک فوتون، تنها می‌توانند سطح انرژی کوانتومی را یک واحد افزایش دهند. انرژی فوتون، $E_p$، که می‌تواند ارتعاش را در B.1 تحریک کند چقدر است؟ از اثرات پس‌زنی صرف نظر کنید.

A S

مکانیک کوانتومی، برانگیخته شدن مدهای ارتعاشی مولکول‌های دواتمی متقارن، مانند نیتروژن و اکسیژن (فراوان‌ترین گازهای موجود در جو زمین) توسط نور را ممنوع می‌کند. این موضوع توضیح می‌دهد که چرا$\text{N}_2$ و$\text{O}_2$ در اثر گلخانه‌ای نقشی ندارند. به طور کلی، جذب نور توسط مولکول‌ها توسط گذارهای انرژی مجاز در آنها کنترل می‌شود. با این حال، انرژی نور جذب شده لازم نیست دقیقاً با شکاف انرژی در مولکول مطابقت داشته باشد. فرض کنید یک مولکول در حالت سکون، یک خط طیفی (یک گذار مجاز) در فرکانس$f_o$ را داشته باشد.

B3 اگر مولکول با یک سرعت $v\ll c$ ($c$ سرعت نور) به سمت ساطع کننده حرکت کند جابجایی خط طیفی$f-f_o$ چقدر است؟

A S

برای یک گاز در دمای$T$ ، توزیع سرعت مولکول‌ها مطابق توزیع ماکسول داده می شود. برای مولکولی با جرم $m$ ، احتمال اینکه سرعت یک مولکول در امتداد یک بعد بین $v$ و $v+dv$ باشد با $p(v)dv$ داده می شود. $p(v)$ تابع توزیع احتمال به صورت زیر است:

$$p(v)=C \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)$$

در اینجا، $C$ یک ثابت بهنجارش است که تضمین می‌کند مجموع احتمالات برابر با یک باشد، و $k_B$ ثابت بولتزمن است.

B4 ثابت بهنجارش تابع توزیع $C$ را با فرض اینکه سرعت $v$ از $-\infty$ به $\infty$ تغییر کند پیدا نمایید.

A S

B5 تابع توزیع احتمال $p_2(f)$ را برای یافتن مولکولی با خط طیفی $f_0$ منتقل شده به$f$ به دلیل حرکت کاتوره ای گرمایی بر حسب $f,f_0,T,m$ و ثابت‌های بنیادی پیدا کنید. در این بخش نیازی به محاسبه ثابت بهنجارش این تابع توزیع نیست.

A S

B6 نمودار $p(f)$ را به صورت تابعی از $f-f_o$ رسم کنید و جابجایی $f^{\star}-f$ را تعیین کنید به طوری که $p(f^{\star})$ کسر $1/e$ از حداکثر مقدار $p(f)$ است. در اینجا، $e$ عدد طبیعی نپر می باشد.

A S

بخش C. پایداری هوا در جو (7.2 نمره)

یک بسته هوای استوانه‌ای کوچک را در ارتفاع $z$ بالاتر از سطح زمین در نظر بگیرید. مطابق شکل C.1، فشار و چگالی جرم هوا در آن ارتفاع به ترتیب با $p(z)$ و$\rho(z)$ داده می شود. میدان گرانشی یکنواخت $g$ را به سمت پایین فرض کنید و فشار روی سطح زمین برابر با $p_o$ است.

C1 با فرض اینکه بسته هوای کوچک در تعادل هیدرواستاتیکی باشد، عبارتی برای آهنگ تغییرات فشار نسبت به ارتفاع، $dp/dz$ ، بر حسب $g$ و$\rho(z)$ ستخراج کنید.

A S

C2 عبارت $dp/dz$ را به صورت تابعی از $\mu_{\text{air}},g, p(z)$ و$T(z)$ ، دما در ارتفاع $z$ و ثابت‌های بنیادی بیان کنید.

A S

C3 با فرض اینکه جو همدما باشد،$T(z)=T$ ، عبارتی برای $p(z)$ به صورت تابعی از $z,\mu_{\text{air}},g,p_o,T$ و ثابت‌های بنیادی به دست آورید.

A S

در جو واقعی، دما ثابت نیست بلکه با ارتفاع تغییر می‌کند. آهنگ تعییرات کاهش دما با ارتفاع $\Gamma(z) = -dT/dz$ را آهنگ افت دما می گویند. بسته کوچکی از هوا را در نظر بگیرید که به صورت بی دررو در جو بالا می‌رود، به طوری که در تعادل مکانیکی با محیط اطراف خود باقی می‌ماند.

C4 برای بسته هوای بالا رونده بی دررو، آهنگ افت بی دررو، $\Gamma_a$ ، را بر حسب ظرفیت گرمای ویژه مولی در فشار ثابت $c_p$ ، $\mu_{\text{air}}$ و $g$ پیدا کنید.

A S

برای تحلیل پایداری یک جو، فرض می‌شود که از یک حالت تعادل شروع می‌کنیم و سپس بسته کوچکی از هوا را مختل کرده و پاسخ آن را تحلیل می‌کنیم. یک بسته هوای کوچک را در نظر بگیرید که در ابتدا با هوای اطراف در ارتفاع $z$ و دمای $T$ در تعادل است. سپس به صورت بی دررو به صورت عمودی به مقدار کوچک $\delta z_0$ جابجا می‌شود. فرض کنید که در طول حرکت، بسته هوا همواره فشار یکسانی با هوای اطراف در همان ارتفاع دارد. جو اطراف بدون تغییر است و آهنگ افت فشار متفاوت $\Gamma$ را دارد. از گرانروی صرف نظر کنید.

C5 معادله حرکت حاکم بر $\delta z(t)$ را بیابید. تحت چه شرایطی، تعادل در $z$ پایدار است؟ فرکانس زاویه‌ای نوسانات کوچک $\omega$ چیست؟ پاسخ‌های خود را بر حسب $T,\Gamma, g, \mu_{\text{air}}$ و$c_p$ بیان کنید.

A S

بخش D. رطوبت (7.2 نمره)

اگرچه آب بخش کوچکی از جو را تشکیل می‌دهد، اما نقش مهمی در علم آب و هوا دارد. بخار آب در جو زمین عامل بارندگی و مهمترین گاز گلخانه‌ای است. فاز آب به دما و فشار آن بستگی دارد. سیمای فاز در نمودار $p-T$ در شکل D.1 نشان داده شده است. در یک سیستم وقتی فشار و دما روی منحنی همزیستی قرار دارند، هم آب مایع و هم بخار می‌توانند در سیستم وجود داشته باشند. شیب منحنی همزیستی توسط معادله کلازیوس-کلاپیرون داده می شود:

$$\frac{dp_{s}}{dT}=\frac{\Delta S}{\Delta V}$$

به طوری که$p_s$ فشار بخار اشباع و یا فشار در گذار فاز مایع به بخار است. همچنین $\Delta S$ و$\Delta V$ به ترتیب تغییرات آنتروپی و تغییرات حجم در طول گذار فاز است. بخار آب را به عنوان گاز ایده‌آل در نظر بگیرید.

D1 عبارت $dp_s/dT$ را برای منحنی همزیستی مایع-بخار آب بر حسب $\mu_{\text{H}_2\text{O}},p_s,T$ ، گرمای نهان تبخیر آب، $L$، و ثابت‌های بنیادی به دست آورید.

A S

D2 اگر برای یک دمای مرجع خاص$T_o$ ،شرط $p_s=p_{so}$ برقرار باشد عبارتی برای $p_s(T)$ بر حسب $p_{so},\mu_{\text{H}_2\text{O}},L,T,T_o$ و ثابت‌های بنیادی پیدا کنید.

A S

اکنون یک بسته هوای «مرطوب» را در نظر می‌گیریم که از دمای مشخص $T_i$ به صورت بی دررو بالا رود. نسبت مخلوط جرمی بخار آب (جرم بخار آب نسبت به جرم کل) برابر با $\phi$ است. در فشار ثابت، ظرفیت گرمای مولی ویژه هوا $c_p$ است.ثابت جهانی گازها برابر با $R=8.31 \text{ J}/(\text{mol} \text{ K})$ است.

D3 در ابتدا فشار و دمای بسته هوا به صورت $T_i=17.0 ^\circ \text{C}$ و $p_i=10^5 \text{ Pa}$ است. با فرض $\phi=10^{-2}$ دمای $T_l$ را که در آن بخار آب شروع به مایع شدن می کند را پیدا کنید. فرض کنید که مقدار آب در بسته هوا هنگام بالا رفتن ثابت بماند. در محاسبات تان از مقادیر زیر استفاده کنید: $L= 2460\text{ kJ/kg}$ و$p_{so}=1.94\times10^3\text{ Pa}$ در $T_i=17.0^{\circ}\text{C}$ .

A S

بخش E. هاله خورشید (6.1 نمره)

در شرایط جوی مناسب، حلقه‌ای درخشان در اطراف خورشید ظاهر می‌شود که هاله نامیده می‌شود. هاله‌ها توسط بلورهای یخ موجود در لایه تروپوسفر بالایی ایجاد می‌شوند. یکی از ویژگی‌های جالب در مورد هاله‌ها این است که آنها همیشه با زاویه خاصی نسبت به جهت خورشید ظاهر می‌شوند.

E1 مطابق شکل E.1 ، یک منشور ساده با زاویه رأس $\varphi$ را در نظر بگیرید که یک پرتو نور با زاویه تابش $\alpha$ به آن می تابد. فرض کنید ضریب شکست منشور n باشد. زاویه انحراف $\delta$ پرتو نور را پس از عبور از منشور بر حسب$\alpha$ ،$n$ و$\varphi$ به دست آورید.

A S

رایج‌ترین نوع هاله زمانی تشکیل می‌شود که بلورهای یخ کوچک به شکل منشورهای شش ضلعی منتظم درآیند. نور خورشید به بلورهای یخ با جهت‌گیری تصادفی که در جو شناورند، برخورد می‌کند و در جهات مختلف پراکنده می‌شود. با این حال، در جهات خاصی، شدت نور شکسته شده حداکثر است.این نتیجه زاویه‌ای را که حلقه روشن در آن ظاهر می‌شود، تعیین می‌کند.

یک منشور یخی شش ضلعی را در نظر بگیرید. محور تقارن شش وجهی عمود بر جهت پرتوهای خورشید است. پرتو نوری را که از دو وجه مستطیلی منشور نشان داده شده در شکل E.2 عبور می‌کند، بررسی کنید. به دلیل جهت‌گیری تصادفی بلورهای یخ، نور با زوایای تابش متغیر $\alpha$ به وجوه بلور برخورد می‌کند.

E2 در پاسخنامه مقدار $\delta$ را بر حسب زاویه تابش، $\alpha$، در بازه $[20^\circ,70^\circ]$ با فواصل$5^\circ$ گزارش و نمودار آن را رسم کنید. ضریب شکست یخ برابر با n = 1.31 است.

A S

E3 با استفاده از نمودار بخش قبل، مشخص کنید که هاله در چه زاویه‌ای نسبت به جهت خورشید، روشن‌ترین حالت را دارد.

A S