ชั้นบรรยากาศของโลกเป็นระบบที่ซับซ้อน. อย่างไรก็ดี การคาดการณ์พฤติกรรมของชั้นบรรยากาศนั้นมีความสำคัญต่อสิ่งแวดล้อมและอุตุนิยมวิทยา. อย่างไรก็ตาม แม้แต่แบบจำลองที่ดีที่สุดที่ทำงานบนคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ก็ยังไม่เพียงพอที่จะทำนายพฤติกรรมของชั้นบรรยากาศได้อย่างแม่นยำ. ในคำถามนี้ เราจะพยายามทำความเข้าใจปรากฏการณ์พื้นฐานบางอย่างของชั้นบรรยากาศโดยอาศัยแบบจำลองง่าย ๆ.
นักเรียนอาจต้องใช้ค่าคงที่ต่อไปนี้
แก๊สทั้งหมดในคำถามนี้สามารถจัดเป็นแก๊สในอุดมคติได้. สมมติว่าโมเลกุลอากาศทั้งหมดมีดีกรีของความเป็นอิสระ (degree of freedom) เท่ากับ $5$. นักเรียนอาจต้องใช้อินทิกรัลต่อไปนี้ :
$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2/2} \;dx = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}, \hspace{4mm} a> 0.$$
ในส่วนนี้ เราศึกษาผลกระทบของบรรยากาศต่ออุณหภูมิของพื้นผิวโลก. ค่าแอลบีโด (albedo) ซึ่งเป็นค่าที่บอกถึงอัตราส่วนของรังสีที่สะท้อนกลับต่อรังสีที่ตกกระทบทั้งหมด. สมมติว่า โลกและบรรยากาศมีค่าแอลบีโดเป็น $a=0.3$ สำหรับรังสีที่มาจากดวงอาทิตย์. นักเรียนสามารถใช้ค่านี้ในทุกส่วนของคำถามนี้. นอกจากนี้ ให้ถือว่าโลกแผ่รังสีเสมือนเป็นวัตถุดำ (black body).
คำตอบที่ได้ในข้อ A.2 ควรมีค่าต่ำกว่าที่ควรจะได้ในความจริง. ในตอนนี้ เราเพิ่มชั้นบรรยากาศบาง ๆ ซึ่งมีอุณหภูมิ $T_a$ ดู รูป A.1. ชั้นบรรยากาศ
นอกเหนือจากนี้ นักเรียนก็อาจถือว่า ชั้นบรรยากาศเป็นวัตถุดำเช่นกัน.
รังสีอินฟราเรดที่ถูกปลดปล่อยจากโลกมีพลังงานต่ำ จึงไม่สามารถกระตุ้นอิเล็กตรอนภายในโมเลกุลได้ แต่สามารถกระตุ้นโหมดการสั่นสะเทือนและการหมุนของโมเลกุลได้
กลศาสตร์ควอนตัมไม่อนุญาตให้แสงกระตุ้นโหมดการสั่นสะเทือนของโมเลกุลคู่แบบสมมาตร เช่น ไนโตรเจนและออกซิเจน (แก๊สที่มีปริมาณมากที่สุดในชั้นบรรยากาศของโลก). ด้วยเหตุนี้ $\text{N}_2$ และ $\text{O}_2$ ไม่เป็นแก๊สที่ก่อให้เกิดปรากฏการณ์เรือนกระจก. โดยทั่วไปการดูดกลืนแสงของโมเลกุลจะถูกควบคุมโดยการเปลี่ยนแปลงระดับพลังงานที่อนุญาต (allowed energy transition) ในโมเลกุล. อย่างไรก็ตาม พลังงานของแสงที่ดูดกลืนไม่จำเป็นต้องตรงกับช่องว่างพลังงาน (energy gap) ในโมเลกุลพอดี. สมมติว่าโมเลกุลที่อยู่นิ่งมีเส้นสเปกตรัม (ซึ่งเกิดจากการเปลี่ยนแปลงระดับพลังงานที่อนุญาต) ที่ความถี่$f_0$.
สำหรับแก๊สที่อุณหภูมิ $T$ ความเร็วของโมเลกุลจะกระจายตามการกระจายของแมกซ์เวลล์ (Maxwell's distribution). สำหรับโมเลกุลที่มีมวล $m$ ความน่าจะเป็นที่จะพบว่า ความเร็วในหนึ่งมิติของโมเลกุลมีค่าอยู่ระหว่าง $v$ และ $v+dv$ มีค่าเป็น $p_1(v)\,dv$ โดยที่ $p_1(v)$ เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (probability density function) ที่กำหนดโดย
$$p_1(v)=C \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)$$
$C$ เป็นค่าคงที่ที่เรียกว่า ค่าคงตัวบรรทัดฐาน (normalization constant) ซึ่งมีสมบัติว่า ความน่าจะเป็นรวมจะมีค่าเป็นหนึ่ง และ $k_B$ คือค่าคงตัวของบอลท์ซมันน์ (Boltzmann constant)
พิจารณามวลอากาศทรงกระบอกขนาดเล็กที่ความสูง $z$ เหนือพื้นดิน. ให้ความดันและความหนาแน่นมวลของอากาศที่ความสูงดังกล่าวเป็น $p(z)$ และ $\rho(z)$ ตามลำดับ ดัง รูป C.1. สมมติว่ามีสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอในทิศชี้ลง $g$ และความดันที่พื้นผิวโลกเป็น $p_o$.
ในบรรยากาศจริง อุณหภูมิในบรรยากาศจะไม่คงที่แต่จะเปลี่ยนแปลงตามความสูง. อัตราการลดลงของอุณหภูมิตามความสูง (lapse rate) คือ $\Gamma(z) = -dT/dz$ . พิจารณามวลอากาศขนาดเล็กที่ลอยขึ้นในบรรยากาศแบบแอเดียแบติก (adiabatic) โดยที่อากาศยังคงอยู่ในภาวะสมดุลเชิงกล (mechanical equilibrium) กับสภาพแวดล้อม.
ในการวิเคราะห์เสถียรภาพ (stability) ของชั้นบรรยากาศ ให้จินตนาการว่า ในตอนแรก ชั้นบรรยากาศในสถานะสมดุล. จากนั้น เรารบกวนมวลอากาศขนาดเล็กและวิเคราะห์การตอบสนองของมวลอากาศดังกล่าว.พิจารณามวลอากาศขนาดเล็กที่อยู่ในภาวะสมดุลกับอากาศโดยรอบที่ระดับความสูงในตอนแรก $z$ และอุณหภูมิ $T$ . จากนั้น มวลอากาศนี้ถูกเลื่อนแบบแอเดียแบติกในแนวตั้งโดยที่การกระจัดคือ $\delta z_0$. สมมติว่าตลอดการเคลื่อนที่ มวลอากาศจะมีความดันเท่ากันกับอากาศโดยรอบที่ความสูงเท่ากันเสมอ บรรยากาศโดยรอบไม่เปลี่ยนแปลงและมีอัตราการลดลงของอุณหภูมิตามความสูง (lapse rate) เป็น $\Gamma$ ซึ่งแตกต่างกับอัตราการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิของมวลอากาศ $\Gamma_a$. ไม่ต้องคำนึงถึงความหนืด (viscosity) ของอากาศ.
น้ำมีบทบาทสำคัญในภูมิอากาศศาสตร์ (climate science) แม้ว่าจะเป็นองค์ประกอบส่วนเล็ก ๆ ในชั้นบรรยากาศ. หยาดน้ำฟ้า (precipitation) ซึ่งก็คือการตกของน้ำในชั้นบรรยากาศลงมาสู่พื้นดินเป็นกลไกสำคัญในชั้นบรรยากาศ และน้ำก็เป็นแก๊สเรือนกระจก (greenhouse gas) ที่มีบทบาทใหญ่มาก.เฟสของน้ำขึ้นอยู่กับอุณหภูมิและความดันของระบบดังแสดงในแผนภูมิ $p$-$T$ ใน รูป D.1. เมื่อความดันและอุณหภูมิของระบบอยู่บนเส้นโค้งสองสถานะ (coexistence curve) น้ำในระบบจะสามารถปรากฏได้ทั้งเป็นของเหลวและเป็นไอ. ความชันของเส้นโค้งสองสถานะหาได้จากสมการของคลอเซียสและคลาเปย์รอง (Clausius-Clapeyron equation) ดังต่อไปนี้ :
$$\frac{dp_s}{dT}=\frac{\Delta S}{\Delta V}$$
เมื่อ $p_s$ คือความดันที่จุดอิ่มตัว (saturation pressure) ซึ่งเป็นความดัน ณ ตำแหน่งที่มีการเปลี่ยนเฟส, $\Delta S$ คือการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีเมื่อเกิดการเปลี่ยนเฟส, และ $\Delta V$ คือการเปลี่ยนแปลงปริมาตรเมื่อเกิดการเปลี่ยนเฟส. ให้พิจารณาไอน้ำเป็นแก๊สในอุดมคติ (ideal gas).
พิจารณามวลอากาศที่มีความชื้น และมีการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิแบบแอเดียแบติก ซึ่งเริ่มที่อุณหภูมิ $T_i$. สัดส่วนมวลระหว่างไอน้ำกับมวลทั้งหมดมีค่าเป็น $\phi$. ให้มวลอากาศนี้มีความจุความร้อนจำเพาะต่อโมลที่ความดันคงที่เป็น $c_p$. ค่าคงตัวของแก๊สมีค่าเป็น $R=8.31 \text{ J}/(\text{mol} \text{ K})$.
ในบางสภาวะของชั้นบรรยากาศ เราจะเห็นวงแหวนสว่างรอบดวงอาทิตย์ซึ่งเรียกว่า กลด (halo). กลดเกิดจากเกล็ดน้ำแข็งจำนวนมากในชั้นบรรยากาศโทรโปสเฟียร์ตอนบน. กลดนี้จะมีขนาดความกว้างเชิงมุมค่าหนึ่งเสมอเมื่อมองเข้าหาดวงอาทิตย์.
พระอาทิตย์ทรงกลดมักจะเกิดจากเกล็ดน้ำแข็งที่มีรูปร่างเป็นปริซึมฐานหกเหลี่ยมปกติ (หกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า). แสงจากดวงอาทิตย์ตกกระทบลงบนเกล็ดน้ำแข็งในชั้นบรรยากาศที่มีการเรียงตัวแบบสุ่ม. แสงจะกระเจิงไปในทิศทางต่าง ๆ กัน แต่จะมีบางทิศทางที่แสงจะรวมตัวมีความสว่างที่สุด ซึ่งจะก่อให้เกิดเป็นวงแหวน (กลด) ให้เห็น.
พิจารณาเกล็ดน้ำแข็งรูปทรงปริซึมหน้าหกเหลี่ยมปกติ โดยสมมติว่าแกนสมมาตร (แกนกลาง) ของปริซึมตั้งฉากกับลำแสงดวงอาทิตย์. ให้นักเรียนพิจารณาลำแสงที่หักเหผ่านผิวสี่เหลี่ยมด้านข้างปริซึมสองด้านตาม รูป E.2. เนื่องจากปริซึมน้ำแข็งมีทิศทางแบบสุ่มทำให้แสงตกกระทบผิวปริซึมที่มุม $\alpha$ มีค่าต่าง ๆ กัน.