地球大气层是一个复杂的物理系统，预测其行为对环境和气象至关重要。然而，即使是在现代计算机上运行的最好的理论模型，也难以做出精确的预测。在本题中，我们将尝试根据一些简单的模型来理解一些基本的大气现象。你可能需要用到以下常数：地球上单位面积的平均太阳功率、太阳总辐照度$F_s=1370\text{ W/m}^2$ ，水的摩尔质量$\mu_{\text{H}_2\text{O}}\approx18\text{ g/mol}$ 和空气的平均摩尔质量$\mu_{\text{air}}\approx29\text{ g/mol}$ 。本题中的所有气体均可视为理想气体。斯特藩-玻尔兹曼常数$\sigma=5.67\times10^{-8} \text{ W}/(\text{m}^2 \text{K}^4)$ 。本题中的所有气体均可视为理想气体。假设所有空气分子的自由度为$5$。你可能需要以下积分：
$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2/2} \;dx = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}, \hspace{4mm} a> 0.$$
在本节中，我们将研究大气层对地球表面温度的影响。假设地球及其大气层对太阳辐射的反射率为$a=0.3$ ，即总入射辐射的反射部分。可以在本题的所有部分中使用该值。此外，假设地球辐射为黑体辐射。
A.2的答案应低于你的预期值。现在，我们考虑在$T_a$ 温度下增加一个薄的大气层，见图 A.1。大气层对于入射的太阳辐射，透过率为$t_{\text{sw}}$ ，对地球热辐射的透过率为$t_{\text{lw}}$ 。此外，可以将大气层视为黑体。
地球发射的红外辐射能量较低，无法激发分子内的电子，但能够激发分子的振动和转动模式。
量子力学禁止氮和氧等对称双原子分子（地球大气中最丰富的气体）的振动模式被光激发。这就解释了为什么$\text{N}_2$ 和$\text{O}_2$ 不会造成温室效应。一般来说，分子对光的吸收是由分子中允许的能量跃迁决定的。然而，吸收光的能量并不一定要与分子中的能级差完全吻合。假设分子在静止时有一条频率为$f_0$ 的光谱线（允许跃迁）。
对于温度为$T$ 的气体，其分子速度的分布符合麦克斯韦速度分布率。对于质量为$m$ 的分子，分子沿一个维度的速度介于$v$ 和$v+dv$ 之间的概率为$p_1(v)dv$ ，其中$p_1(v)$ 是一个概率分布函数，其表达式为
$$p_1(v)=C \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)$$
$C$ 是确保概率加起来等于 1 的归一化常数，$k_B$ 是玻尔兹曼常数。
考虑圆柱形空气小气团，其高度为$z$ 。该高度处空气的压强和质量密度分别为$p(z)$ 和$\rho(z)$ ，见图 C.1。假设有一个均匀向下的重力场（重力加速度为$g$） ，地球表面的压强为$p_o$ 。
在真实的大气中，温度并不是恒定的，而是随着高度的变化而变化。温度随高度下降的速率$\Gamma(z) = -dT/dz$ 称为递减率。考虑一小团空气在大气中绝热上升，使其与周围环境保持力学平衡。
为了分析大气的稳定性，我们设想从平衡状态开始，然后扰动一小团空气并分析其反应。假设一小团空气最初与周围空气处于平衡状态，其高度为$z$ ，温度为$T$ 。然后，它绝热地垂直移动，位移量为$\delta z_0$ 。假设在整个运动过程中，气团始终与在同一高度的周围大气具有相同的压强。周围大气未发生变化，但具有不同的递减率$\Gamma$ 。忽略空气的黏滞。
尽管水只占大气的一小部分，但它在气象学中却扮演着重要角色。水蒸气是降水的来源，也是最重要的温室气体。水的相态取决于水系统所处的温度和压强，如图 D.1的$p-T$ 相图所示。当压强和温度位于二相共存曲线上时，系统中既可能存在液态水，也可能存在气态水。二相共存曲线的斜率由克劳修斯-克拉伯龙方程给出：
$$\frac{dp_s}{dT}=\frac{\Delta S}{\Delta V}$$
其中$p_s$ 是饱和压强，即相变时的压强，$\Delta S$ 和$\Delta V$ 分别是相变时的熵和体积变化。将水蒸气视为理想气体。
现在，我们考虑从温度$T_i$ 开始绝热上升的 "潮湿 "气团。水蒸气的质量混合比（水蒸气的质量相对于总质量）为$\phi$ 。恒压下空气的摩尔热容为$c_p$ 。普适气体常数为$R=8.31 \text{ J}/(\text{mol} \text{ K})$ 。
在适当的大气条件下，太阳周围会出现一个明亮的环，这就是日晕。日晕是由对流层上部的冰晶造成的。日晕的一个有趣特点是，它们总是以相对于太阳方向的特定角度出现。
最常见的光晕是小冰晶为规则的六角棱柱形状时而形成的。太阳光落在大气中飘浮的随机方向的冰晶上，向不同方向散射。然而，在某些特定方向上，折射光的强度最大，这就决定了亮环出现的角度。
考虑一个六面体冰棱镜，其六面对称轴垂直于太阳光线的方向。研究穿过图 E.2 所示棱镜两个矩形面的折射光线。由于冰晶体的随机取向，光线以不同的入射角$\alpha$射入晶体面 。