地球大气层是一个复杂的物理系统，预测其行为对环境和气象至关重要。然而，即使是在现代计算机上运行的最好的理论模型，也难以做出精确的预测。在本题中，我们将尝试根据一些简单的模型来理解一些基本的大气现象。你可能需要用到以下常数：地球上单位面积的平均太阳功率、太阳总辐照度$F_s=1370\text{ W/m}^2$ ，水的摩尔质量$\mu_{\text{H}_2\text{O}}\approx18\text{ g/mol}$ 和空气的平均摩尔质量$\mu_{\text{air}}\approx29\text{ g/mol}$ 。本题中的所有气体均可视为理想气体。斯特藩-玻尔兹曼常数$\sigma=5.67\times10^{-8} \text{ W}/(\text{m}^2 \text{K}^4)$ 。本题中的所有气体均可视为理想气体。假设所有空气分子的自由度为$5$。你可能需要以下积分：

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2/2} \;dx = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}, \hspace{4mm} a> 0.$$

A 部分：地球表面温度（1.2 分）

在本节中，我们将研究大气层对地球表面温度的影响。假设地球及其大气层对太阳辐射的反射率为$a=0.3$ ，即总入射辐射的反射部分。可以在本题的所有部分中使用该值。此外，假设地球辐射为黑体辐射。

A1  ^0.20 求出地球和大气系统 接收到的平均太阳能净功率$P_0$，用$F_s,a$ 和$R_E$ （地球半径）表示。

A2  ^0.30 假设地球表面处于稳定平衡状态，估算地球表面的温度$T_{g0}$ 。忽略大气层的影响。

A.2的答案应低于你的预期值。现在，我们考虑在$T_a$ 温度下增加一个薄的大气层，见图 A.1。大气层对于入射的太阳辐射，透过率为$t_{\text{sw}}$ ，对地球热辐射的透过率为$t_{\text{lw}}$ 。此外，可以将大气层视为黑体。

A3  ^0.70 假设系统处于稳定平衡状态，计算$T_g$ ，即地面温度。使用$t_{\text{sw}}=0.9$ 和$t_{\text{lw}}=0.2$ 。

B 部分：大气气体的吸收光谱（1.8 分）

地球发射的红外辐射能量较低，无法激发分子内的电子，但能够激发分子的振动和转动模式。

B1  ^0.50 考虑一个简单的双原子分子，其模型为两个质点（质量$m_A$ 和$m_B$ ），由弹簧常数为$k$ 的弹簧连接。求出振动角频率$\omega_d$ 是多少？

B2  ^0.20 量子力学表明，由于吸收光子而产生的振动激发只能使量子能级提高一个能级。能激发B.1 中振动的光子$E_p$ 的能量是多少？忽略反冲效应。

量子力学禁止氮和氧等对称双原子分子（地球大气中最丰富的气体）的振动模式被光激发。这就解释了为什么$\text{N}_2$ 和$\text{O}_2$ 不会造成温室效应。一般来说，分子对光的吸收是由分子中允许的能量跃迁决定的。然而，吸收光的能量并不一定要与分子中的能级差完全吻合。假设分子在静止时有一条频率为$f_0$ 的光谱线（允许跃迁）。

B3  ^0.20 如果分子以$v$ 的速度向发射器移动，使$|v|\ll c$ ，其中$c$ 为光速，那么光谱线的频率移动量（$f-f_0$ ）是多少？

对于温度为$T$ 的气体，其分子速度的分布符合麦克斯韦速度分布率。对于质量为$m$ 的分子，分子沿一个维度的速度介于$v$ 和$v+dv$ 之间的概率为$p_1(v)dv$ ，其中$p_1(v)$ 是一个概率分布函数，其表达式为

$$p_1(v)=C \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)$$

$C$ 是确保概率加起来等于 1 的归一化常数，$k_B$ 是玻尔兹曼常数。

B4  ^0.20 假设速度$v$ 的范围从$-\infty$ 到$\infty$ ，求出归一化常数$C$ 。

B5  ^0.30 因分子热运动分子的光谱线从频率$f_0$ 偏移到$f$，求出概率分布函数$p_2(f)$ ，用$f,f_0,T,m$ 和基本常数表示。不需要求出归一化常数。

B6  ^0.40 绘制$p_2(f)$关于（$f-f_0$ ）的函数关系图，并求出当$p_2(f^{\star})$ 为其峰值的$1/e$时的频移（$f^{\star}-f_0$ ） ，其中$e$ 是自然常数。

C 部分：大气中空气的稳定性（2.7 分）

考虑圆柱形空气小气团，其高度为$z$ 。该高度处空气的压强和质量密度分别为$p(z)$ 和$\rho(z)$ ，见图 C.1。假设有一个均匀向下的重力场（重力加速度为$g$） ，地球表面的压强为$p_o$ 。

C1  ^0.30 假定小气团处于流体静力学平衡状态，推导出压强随高度变化率的表达式$dp/dz$ ，用$g$ 和$\rho(z)$ 表示。

C2  ^0.20 求出$dp/dz$ ，用$\mu_{\text{air}},g, p(z)$ 和$T(z)$ 、以及高度$z$处的温度和基本常数表示。

C3  ^0.20 假定大气是等温的，即$T(z)=T$ ，求出$p(z)$ 的表达式，用$z,\mu_{\text{air}},g,p_o,T$ 和基本常数表示。

在真实的大气中，温度并不是恒定的，而是随着高度的变化而变化。温度随高度下降的速率$\Gamma(z) = -dT/dz$ 称为递减率。考虑一小团空气在大气中绝热上升，使其与周围环境保持力学平衡。

C4  ^0.60 对于绝热上升的气团，求出绝热递减率$\Gamma_a$，用定压摩尔热容$c_p$ 、$\mu_{\text{air}}$ 和$g$ 表示。

为了分析大气的稳定性，我们设想从平衡状态开始，然后扰动一小团空气并分析其反应。假设一小团空气最初与周围空气处于平衡状态，其高度为$z$ ，温度为$T$ 。然后，它绝热地垂直移动，位移量为$\delta z_0$ 。假设在整个运动过程中，气团始终与在同一高度的周围大气具有相同的压强。周围大气未发生变化，但具有不同的递减率$\Gamma$ 。忽略空气的黏滞。

C5  ^1.40 求出瞬时垂直位移$\delta z$ 的运动方程。$z$高度 处的平衡在什么条件下稳定？小振荡的角频率$\omega$ 是多少？用$T,\Gamma, g, \mu_{\text{air}}$ 和$c_p$ 表示你的答案。

D 部分. 水分（2.7 分）

尽管水只占大气的一小部分，但它在气象学中却扮演着重要角色。水蒸气是降水的来源，也是最重要的温室气体。水的相态取决于水系统所处的温度和压强，如图 D.1的$p-T$ 相图所示。当压强和温度位于二相共存曲线上时，系统中既可能存在液态水，也可能存在气态水。二相共存曲线的斜率由克劳修斯-克拉伯龙方程给出：

$$\frac{dp_s}{dT}=\frac{\Delta S}{\Delta V}$$

其中$p_s$ 是饱和压强，即相变时的压强，$\Delta S$ 和$\Delta V$ 分别是相变时的熵和体积变化。将水蒸气视为理想气体。

D1  ^0.50 求出水的液汽共存曲线$dp_s/dT$ 的表达式，用水的蒸发潜热$L, \mu_{\text{H}_2\text{O}}, p_s, T$ 和基本常数表示。

D2  ^0.20 对于某个参考温度$T_o$,有$p_s=p_{so}$, 求出$p_s(T)$ 的表达式，用$p_{so},\mu_{\text{H}_2\text{O}},L,T,T_o$ 和基本常数表示。

现在，我们考虑从温度$T_i$ 开始绝热上升的 "潮湿 "气团。水蒸气的质量混合比（水蒸气的质量相对于总质量）为$\phi$ 。恒压下空气的摩尔热容为$c_p$ 。普适气体常数为$R=8.31 \text{ J}/(\text{mol} \text{ K})$ 。

D3  ^2.00 假设气团初始状态为$T_i=17.0 ^\circ \text{C}$ 和$p_i=10^5 \text{ Pa}$。如果$\phi=10^{-2}$ ，请求出开始形成液态水的温度$T_l$ 。假设气团中的水含量在上升过程中保持不变。在$T_i=17.0^{\circ}\text{C}$ 时使用$L= 2460\text{ kJ/kg}$ 和$p_{so}=1.94\times10^3\text{ Pa}$ 。

E部分：日晕（1.6分）

在适当的大气条件下，太阳周围会出现一个明亮的环，这就是日晕。日晕是由对流层上部的冰晶造成的。日晕的一个有趣特点是，它们总是以相对于太阳方向的特定角度出现。

E1  ^0.80 如图 E.1 所示，考虑一个顶角为$\varphi$ 的简单棱镜，并将光线以入射角$\alpha$ 射入该棱镜。设棱镜的折射率为n。试求光线通过棱镜后的偏向角$\delta$，用$\alpha$ 、$n$ 和$\varphi$ 表示

最常见的光晕是小冰晶为规则的六角棱柱形状时而形成的。太阳光落在大气中飘浮的随机方向的冰晶上，向不同方向散射。然而，在某些特定方向上，折射光的强度最大，这就决定了亮环出现的角度。

考虑一个六面体冰棱镜，其六面对称轴垂直于太阳光线的方向。研究穿过图 E.2 所示棱镜两个矩形面的折射光线。由于冰晶体的随机取向，光线以不同的入射角$\alpha$射入晶体面 。

E2  ^0.60 在答题卡上画出光线的偏向角$\delta$ 随入射角$\alpha$的变化关系， $\alpha$角度范围在$[20^\circ,70^\circ]$ 之间，每隔$5^\circ$取一个点。已知冰的折射率为n=1.31。

E3  ^0.20 利用上一部分的图，求出日晕相对于太阳方向的哪个角度最亮？