Atmosfera Pământului este un sistem fizic complex, iar prognoza comportamentului său este esențială în probleme de mediu și meteorologice. Cu toate acestea, chiar și cele mai bune modele teoretice rulate pe calculatoare moderne sunt insuficiente pentru a face prognoze precise. În această problemă, vom încerca să înțelegem unele dintre fenomenele atmosferice fundamentale pe baza unor modele simple. Dacă aveți nevoie, puteți utiliza următoarele constante: puterea solară medie pe unitatea de suprafață a Pământului sau iradianța solară totală $F_s=1370\text{ W/m}^2$, masa molară a apei $\mu_{\text{H}_2\text{O}}\approx18\text{ g/mol}$ și masa molară medie a aerului $\mu_{\text{air}}\approx29\text{ g/mol}$, constanta Stefan-Boltzmann $\sigma=5.67\times10^{-8} \text{ W}/(\text{m}^2 \text{K}^4)$. Toate gazele din această problemă pot fi tratate ca gaze ideale. Presupuneți că toate moleculele de aer au $5$ grade de libertate. Puteți avea nevoie de următoarea integrală:

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2/2} \;dx = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}, \hspace{4mm} a> 0.$$

Partea A. Temperatura suprafaței Pământului (1.2 puncte)

În această secțiune, veți studia efectul atmosferei asupra temperaturii suprafeței Pământului. Presupuneți că Pământul și atmosfera sa au un albedo $a=0.3$ pentru radiația solară, care este fracțiunea reflectată din totalul fluxului radiației solare incidente. Puteți utiliza această valoare în toate părțile acestei probleme. În plus, presupuneți că Pământul radiază ca un corp negru.

A1  ^0.20 Exprimați puterea solară netă medie $P_0$, primită de sistemul format din Pământ și atmosferă, în funcție de $F_s,a$ și de raza Pământului $R_E$.

A2  ^0.30 Estimați temperatura suprafeței Pământului $T_{g0}$ , presupunând că aceasta se află în stare staționară. Ignorați prezența atmosferei.

Răspunsul dumneavoastră numeric la întrebarea A.2 ar trebui să aibă o valoare mai mică decât v-ați aștepta. Considerați acum prezența unui strat atmosferic subțire, la temperatura $T_a$, v. figura A.1. Stratul atmosferic transmite o fracțiune netă $t_{\text{sw}}$ din radiația solară incidentă și o fracțiune netă $t_{\text{lw}}$ din radiația termică a Pământului. În caz contrar, puteți trata atmosfera ca pe un corp negru.

A3  ^0.70 Presupunând că sistemul este în stare staționară, calculați temperatura $T_g$ a solului. Utilizați $t_{\text{sw}}=0.9$ și $t_{\text{lw}}=0.2$.

Partea B. Spectrul de absorbție al gazelor atmosferice (1.8 puncte)

Radiația infraroșie emisă de Pământ are o energie scăzută, incapabilă să excite electronii din molecule, dar poate excita modurile de vibrație și rotație ale moleculelor.

B1  ^0.50 Considerați o moleculă diatomică simplă, modelată ca două mase punctiforme $m_A$ și $m_B$, conectate printr-un resort ce are constanta de elasticitate $k$. Care este pulsația

$\omega_d$ a vibrațiilor?

B2  ^0.20 Mecanica cuantică stabilește că excitațiile de vibrație datorate absorbției unui foton nu pot ridica nivelul de energie decât cu o unitate. Care este energia $E_p$ a fotonului care poate excita vibrația din B.1? Neglijați efectele de recul.

Mecanica cuantică interzice ca modurile de vibrație ale moleculelor diatomice simetrice, cum ar fi azotul și oxigenul (cele mai abundente gaze din atmosfera terestră), să fie excitate de lumină. Aceasta explică de ce $\text{N}_2$ și $\text{O}_2$ nu contribuie la efectul de seră. În general, absorbția luminii de către molecule este guvernată de tranzițiile energetice permise în acestea. Cu toate acestea, energia luminii absorbite nu trebuie să coincidă exact cu diferența de energie dintre nivelurile moleculei. Să presupunem că o moleculă în repaus are o linie spectrală (o tranziție permisă) la frecvența $f_0$.

B3  ^0.20 Care este deplasarea liniei spectrale $f-f_0$, dacă molecula se deplasează cu viteza $|v|\ll c$ spre emițător, unde $c$ este viteza luminii.

Pentru un gaz la temperatura $T$, vitezele moleculelor sale sunt descrise de distribuția Maxwell. Pentru o moleculă de masă $m$, probabilitatea de a-i găsi viteza între $v$ și $v+dv$ este $p_1(v)dv$, unde $p_1(v)$ este o funcție de distribuție a probabilității dată de

$$p_1(v)=C \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)$$

$C$ este o constantă de normare, care asigură că suma probabilităților este egală cu unu, iar $k_B$ este constanta Boltzmann.

B4  ^0.20 Determinați constanta de normare $C$, presupunând că viteza $v$ poate varia de la $-\infty$ la $\infty$.

B5  ^0.30 Deduceți funcția de distribuție a probabilității $p_2(f)$, pentru a găsi o moleculă cu o linie spectrală $f_0$ deplasată la $f$, din cauza mișcării termice, până la un factor de normare, în funcție de $f,f_0,T,m$ și de constante fundamentale.

B6  ^0.40 Reprezentați grafic $p_2(f)$ ca funcție de $f-f_0$ și determinați deplasarea $f^{\star}-f_0$ la care $p_2(f^{\star})$ este o fracțiune $1/e$ din valoarea sa maximă, unde $e$ este baza logaritmilor naturali.

Partea C. Stabilitea aerului atmosferic (2.7 puncte)

Considerați o mică masă cilindrică de aer, aflată la înălțimea $z$ deasupra solului. Presiunea și densitatea masică a aerului la acea înălțime sunt $p(z)$ și respectiv $\rho(z)$, v. figura C.1. Presupuneți un câmp gravitațional uniform în jos $g$ și că presiunea la suprafața Pământului este $p_o$.

C1  ^0.30 Presupunând că mica masă de aer se află în echilibru hidrostatic, deduceți o expresie a variației presiunii cu înălțimea, $dp/dz$, în funcție de $g$ și $\rho(z)$.

C2  ^0.20 Exprimați $dp/dz$ în funcție de $\mu_{\text{air}},g, p(z)$ și $T(z)$ - temperatura la înălțimea $z$ și de constante fundamentale.

C3  ^0.20 Presupunând o atmosferă izotermă, $T(z)=T$, determinați o expresie pentru $p(z)$ în funcție de $z,\mu_{\text{air}},g,p_o,T$ și de constante fundamentale.

Într-o atmosferă reală, temperatura nu este constantă, ci se modifică odată cu înălțimea. Scăderea temperaturii în funcție de înălțime, $\Gamma(z) = -dT/dz$, se numește rata de răcire. Considerați o masă mică de aer care se ridică adiabatic în atmosferă, astfel încât să rămână în echilibru mecanic cu mediul înconjurător.

C4  ^0.60 Pentru masa de aer care urcă adiabatic, determinați rata de răcire adiabatică $\Gamma_a$ în funcție de căldura specifică molară la presiune constantă $c_p$, $\mu_{\text{air}}$ și $g$.

Pentru a analiza stabilitatea atmosferei, imaginați-vă că inițial atmosfera era într-o stare de echilibru, apoi perturbați o mică masă de aer și analizați comportamentul acesteia. Considerați o mică masă de aer aflată inițial în echilibru cu aerul înconjurător, la înălțimea $z$ și la temperatura $T$. Aceasta este apoi deplasată adiabatic pe verticală cu $\delta z_0$. Presupuneți că, pe toată durata mișcării, mica masă de aer are întotdeauna aceeași presiune ca și aerul înconjurător, aflat la aceeași înălțime. Atmosfera înconjurătoare este neschimbată și are o rată de răcire $\Gamma$ diferită. Neglijați vâscozitatea aerului.

C5  ^1.40 Deduceți ecuația de mișcare pentru mica masă de aer, a cărei deplasare verticală instantanee este

$\delta z$. În ce condiții este stabil echilibrul la înălțimea $z$? Care este pulsația $\omega$ a micilor oscilații ale masei de aer considerate? Exprimați răspunsurile în funcție de $T,\Gamma, g, \mu_{\text{air}}$ și $c_p$.

Partea D. Umiditate (2.7 puncte)

Chiar dacă apa constituie o mică parte din atmosferă, ea are un rol semnificativ în știința climei. Ea este responsabilă de precipitații și este cel mai important compus cu efect de seră. Starea de agregare a apei depinde de temperatura și presiunea la care aceasta se află, ilustrată de diagrama de fază $p-T$, din figura D.1. Atunci când presiunea și temperatura se află pe curba de coexistență a fazelor, în sistem pot fi prezente atât apă lichidă, cât și apă în stare de vapori. Panta curbei de coexistență este dată de ecuația Clausius-Clapeyron:

$$\frac{dp_{s}}{dT}=\frac{\Delta S}{\Delta V}$$

unde $p_s$ este presiunea vaporilor saturanți (presiunea la tranziția de fază), iar $\Delta S$ și $\Delta V$ sunt variațiile de entropie, respectiv, de volum, la tranziția de fază. Tratați vaporii de apă ca un gaz ideal.

D1  ^0.50 Exprimați $dp_{s}/dT$ pentru curba de coexistență lichid-vapori a apei în funcție de căldura latentă specifică de evaporare a apei $L, \mu_{\text{H}_2\text{O}}, p_{s}, T$ și de constante fundamentale.

D2  ^0.20 Dacă pentru o anumită temperatură de referință $T_o$, $p_s=p_{so}$, deduceți o expresie pentru $p_s(T)$ în funcție de $p_{so},\mu_{\text{H}_2\text{O}},L,T,T_o$ și de constante fundamentale.

Considerați acum o masă de aer "umed" care urcă adiabatic pornind de la o temperatură $T_i$. Raportul masic de amestec al vaporilor de apă (masa vaporilor de apă raportată la masa totală) este $\phi$. Se consideră că masa de aer are o căldură molară specifică la presiune constantă $c_p$. Constanta universală a gazelor este $R=8.31 \text{ J}/(\text{mol} \text{ K})$.

D3  ^2.00 Presupuneți că masa de aer începe să urce la $T_i=17.0 ^\circ \text{C}$ și $p_i=10^5 \text{ Pa}$. Determinați temperatura $T_l$ la care începe să se formeze apă lichidă în masa de aer umed considerată, dacă $\phi=10^{-2}$. Presupuneți că masa de apă din masa de aer rămâne constantă în timpul urcării. Utilizați $L= 2460\text{ kJ/kg}$ și $p_{so}=1.94\times10^3\text{ Pa}$ la $T_i=17.0^{\circ}\text{C}$.

Partea E. Haloul solar (1.6 puncte)

În condiții atmosferice adecvate, în jurul Soarelui apare un inel luminos numit halou. Halourile sunt cauzate de cristalele de gheață prezente în troposfera superioară. O caracteristică interesantă a halourilor este că acestea apar întotdeauna la un anumit unghi de înclinare a razelor solare.

E1  ^0.80 Considerați o prismă cu unghiul

$\varphi$ și o rază de lumină incidentă pe aceasta sub unghiul de incidență $\alpha$, v. figura E.1. Indicele de refracție al prismei este n. Exprimați unghiul de deviație $\delta$ al razei de lumină după trecerea ei prin prismă, în funcție de

$\alpha$, $n$ și

$\varphi$.

Cel mai comun tip de halou se formează atunci când micile cristale de gheață au forma unor prisme hexagonale regulate. Lumina de la Soare, incidentă pe cristale de gheață orientate aleatoriu, aflate în derivă (drift) în atmosferă, se împrăștie în diferite direcții. Cu toate acestea, în anumite direcții, intensitatea luminii refractate este maximă, iar acest lucru determină unghiul la care apare inelul luminos.

Considerați o prismă hexagonală de gheață, a cărei axă de simetrie de ordinul șase este perpendiculară pe direcția razelor solare. Analizați o rază de lumină care se refractă prin două fețe dreptunghiulare ale prismei indicate în figura E.2. Datorită orientării aleatorii a cristalelor de gheață, lumina întâlnește fețele cristalelor la unghiuri de incidență $\alpha$ variabile.

E2  ^0.60 Reprezentați grafic pe foaia de răspuns modul în care unghiul de deviație $\delta$ al razei de lumină examinate depinde de unghiul de incidență $\alpha$ în intervalul $[20^\circ,70^\circ]$ în trepte de $5^\circ$. Indicele de refracție al gheții este n=1.31.

E3  ^0.20 Folosind graficul din partea anterioară, determinați la ce unghi de deviație apare haloul cel mai strălucitor în raport cu direcția razelor solare incidente.