Atmosfer Bumi adalah sistem fisika yang kompleks, dan memprediksi perilakunya sangat penting untuk tujuan lingkungan dan meteorologi. Namun, bahkan model teoritis terbaik yang dijalankan pada komputer modern tidak cukup untuk membuat prediksi yang tepat. Dalam soal ini, kita akan mencoba memahami beberapa fenomena atmosfer dasar berdasarkan model sederhana. Anda mungkin memerlukan konstanta berikut: rata-rata daya matahari per satuan luas di Bumi, total irradians matahari yang sampai ke Bumi $F_s=1370\text{ W/m}^2$, massa molar air $\mu_{\text{H}_2\text{O}}\approx18\text{ g/mol}$ dan rata-rata massa molar udara $\mu_{\text{air}}\approx29\text{ g/mol}$, konstanta Stefan-Boltzmann $\sigma=5.67\times10^{-8} \text{ W}/(\text{m}^2 \text{K}^4)$.. Semua gas dalam soal ini dapat diperlakukan sebagai gas ideal. Asumsikan bahwa semua molekul udara memiliki $5$ derajat kebebasan. Integral di bawah ini dapat digunakan.

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2/2} \;dx = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}, \hspace{4mm} a> 0.$$

Bagian A. Suhu Permukaan Bumi (1,2 poin)

Pada bagian ini, kita akan mempelajari pengaruh atmosfer terhadap suhu permukaan Bumi. Asumsikan bahwa Bumi dan atmosfernya memiliki albedo $a=0.3$, yang merupakan fraksi yang dipantulkan dari total radiasi matahari yang datang dan Anda dapat menggunakannya di semua bagian soal ini.

A1  ^0.20 Nyatakan daya rata-rata Matahari yang diterima oleh Bumi dan sistem atmosfer $P_0$dalam $F_s,a$ dan $R_E$, jari-jari Bumi.

A2  ^0.30 Perkirakan suhu permukaan bumi $T_{g0}$ dengan mengasumsikan bahwa permukaan bumi berada pada kesetimbangan termal dengan radiasi matahari yang datang dan memancar sebagai benda hitam. Abaikan atmosfer.

Jawaban Anda untuk A.2 seharusnya lebih rendah dari yang Anda harapkan. Sekarang kita pertimbangkan untuk menambahkan lapisan atmosfer tipis pada suhu $T_a$, lihat Gambar A.1. Lapisan atmosfer mentransmisikan fraksi $t_{\text{sw}}$ radiasi matahari yang lolos dan mentransmisikan fraksi $t_{\text{lw}}$ radiasi termal dari permukaan bumi. Sementara untuk radiasinya, Anda dapat memperlakukan atmosfer dan permukaan bumi sebagai benda hitam.

A3  ^0.70 Dengan mengasumsikan sistem berada pada kesetimbangan termal, hitunglah $T_g$, suhu tanah. Gunakan $t_{\text{sw}}=0.9$ dan $t_{\text{lw}}=0.2$.

Bagian B. Spektrum serapan gas atmosfer (1,8 poin)

Radiasi inframerah yang dipancarkan oleh Bumi memiliki energi yang rendah, tidak mampu mengeksitasi elektron di dalam molekul, tetapi memiliki kemampuan untuk mengeksitasi mode getaran dan rotasi molekul.

B1  ^0.50 Tinjau sebuah molekul diatomik sederhana yang dimodelkan sebagai dua massa titik $m_A$ dan $m_B$ yang dihubungkan oleh sebuah pegas dengan konstanta pegas $k$. Berapakah frekuensi sudut getaran $\omega_d$?

B2  ^0.20 Mekanika kuantum menyatakan bahwa eksitasi getaran akibat penyerapan foton hanya dapat menaikkan tingkat energi kuantum sebesar satu. Berapakah energi foton $E_p$ yang dapat mengeksitasi getaran pada B.1? Abaikan efek rekoil.

Mekanika kuantum melarang mode getaran molekul diatomik simetris, seperti nitrogen dan oksigen (gas yang paling melimpah di atmosfer bumi) untuk tereksitasi oleh cahaya. Hal ini menjelaskan mengapa $\text{N}_2$ dan $\text{O}_2$ tidak berkontribusi terhadap efek rumah kaca. Secara umum, penyerapan cahaya oleh molekul diatur oleh transisi energi yang diizinkan di dalamnya. Namun, energi cahaya yang diserap tidak harus sama persis dengan celah energi dalam molekul. Misalkan sebuah molekul dalam keadaan diam memiliki garis spektral (transisi yang diizinkan) pada frekuensi $f_o$.

B3  ^0.20 Berapakah pergeseran garis spektral $f-f_o$ jika molekul bergerak dengan kecepatan $v\ll c$ ke arah pemancar, di mana $c$ adalah kecepatan cahaya.

Tinjau gas satu dimensi pada suhu $T$, kecepatan molekul-molekulnya terdistribusi menurut distribusi Maxwell. Untuk molekul bermassa $m$, probabilitas untuk menemukan kecepatan molekul di sepanjang satu dimensi berada di antara $v$ dan $v+dv$ adalah $p_1(v)dv$, di mana $p_1(v)$ adalah fungsi distribusi probabilitas yang diberikan oleh

$$p_1(v)=C \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)$$

$C$ adalah konstanta normalisasi yang memastikan probabilitas berjumlah satu, dan $k_B$ adalah konstanta Boltzmann.

B4  ^0.20 Tentukan konstanta normalisasi $C$, dengan asumsi bahwa kecepatan $v$ dapat berkisar dari $-\infty$ hingga $\infty$.

B5  ^0.30 Tentukan fungsi distribusi probabilitas $p_2(f)$ untuk menemukan molekul dengan garis spektral $f_o$yang bergeser ke $f$ karena gerakan termal, nyatakan dalam suatu faktor normalisasi, $f,f_o,T,m$ dan konstanta fundamental.

B6  ^0.40 Buatlah sketsa $p_2(f)$ sebagai fungsi dari $f-f_0$, dan tentukan pergeseran $f^{\star}-f_0$ di mana nilai $p_2(f^{\star})$ adalah $1/e$ dari nilai puncaknya, di mana $e$ adalah bilangan Euler.

Bagian C. Stabilitas udara di atmosfer (2,7 poin)

Pertimbangkan sebuah elemen massa silinder kecil udara pada ketinggian $z$ di atas tanah. Tekanan dan kerapatan massa udara pada ketinggian tersebut masing-masing adalah $p(z)$ dan $\rho(z)$, lihat Gambar C.1. Asumsikan medan gravitasi ke bawah yang seragam $g$ dan tekanan di permukaan bumi adalah $p_o$.

C1  ^0.30 Dengan mengasumsikan bahwa massa udara yang kecil berada pada kesetimbangan hidrostatis, tentukan ekspresi laju perubahan tekanan terhadap ketinggian, $dp/dz$ dalam kaitannya dengan $g$ dan $\rho(z)$.

C2  ^0.20 Nyatakan $dp/dz$ dalam bentuk $\mu_{\text{air}},g, p(z)$ dan $T(z)$, suhu pada ketinggian $z$ dan konstanta fundamental.

C3  ^0.20 Dengan mengasumsikan atmosfer isotermal, $T(z)=T$, tentukan ekspresi untuk $p(z)$ dalam $z,\mu_{\text{air}},g,p_o,T$ dan konstanta fundamental.

Dalam atmosfer yang sesungguhnya, suhu tidak konstan, tetapi berubah dengan ketinggian. Laju penurunan suhu dengan ketinggian $\Gamma(z) = -dT/dz$ disebut lapse rate. Tinjau sebuah massa kecil udara yang naik secara adiabatik di atmosfer sedemikian rupa sehingga tetap berada pada kesetimbangan mekanis dengan sekelilingnya.

C4  ^0.60 Untuk massa udara yang naik secara adiabatik, cari lapse rate adiabatik $\Gamma_a$ dalam $c_p$, kalor spesifik molar pada tekanan konstan, $\mu_{\text{air}}$ dan $g$.

Untuk menganalisis stabilitas atmosfer, kita bayangkan mulai dari keadaan kesetimbangan, dan kemudian mengganggu massa kecil udara dan menganalisis responsnya. Tinjau sebuah massa udara kecil yang awalnya berada dalam kesetimbangan dengan udara di sekitarnya pada ketinggian $z$ dan suhu $T$. Kemudian disimpangkan secara adiabatik secara vertikal dengan perpindahan $\delta z$. Asumsikan bahwa sepanjang gerakan, paket udara selalu memiliki tekanan yang sama dengan udara di sekitarnya pada ketinggian yang sama. Atmosfer di sekitarnya tidak berubah dan memiliki lapse rate yang berbeda $\Gamma$. Abaikan viskositas.

C5  ^1.40 Tentukan persamaan gerak untuk $\delta z$. Dalam kondisi apa kesetimbangan pada $z$ stabil? Berapa frekuensi sudut $\omega$ dari osilasi kecil? Nyatakan jawaban Anda dalam bentuk $T,\Gamma, g, \mu_{\text{air}}$ dan $c_p$.

Bagian D. Kelembapan (2,7 poin)

Meskipun air merupakan bagian kecil dari atmosfer, air memiliki peran penting dalam ilmu iklim. Air bertanggung jawab atas curah hujan dan merupakan gas rumah kaca yang paling signifikan. Fase air tergantung pada suhu dan tekanan sistem air, yang digambarkan pada diagram fase $p-T$, lihat Gambar D.1. Ketika tekanan dan suhu berada pada kurva koeksistensi, baik air cair maupun uap dapat hadir dalam sistem. Kemiringan kurva koeksistensi diberikan oleh persamaan Clausius-Clapeyron:

$$\frac{dp_s}{dT}=\frac{\Delta S}{\Delta V}$$

di mana $p_s$ adalah tekanan saturasi, tekanan pada transisi fase, $\Delta S$ dan $\Delta V$ masing-masing adalah perubahan entropi dan volume pada transisi fase. Perlakukan uap air sebagai gas ideal.

D1  ^0.50 Tuliskan persamaan $dp_{s}/dT$ untuk kurva koeksistensi cairan-uap air dalam besaran kalor laten penguapan air $L, \mu_{\text{H}_2\text{O}}, p_{s}, T$ dan konstanta fundamental.

D2  ^0.20 Jika pada temperatur $T_o$, $p_s=p_{so}$, tentukan ekspresi untuk $p_s(T)$ dalam besaran $p_{so},\mu_{\text{H}_2\text{O}},L,T,T_o$ dan konstanta fundamental.

Sekarang kita pertimbangkan massa udara 'lembab' yang naik secara adiabatik mulai dari suhu $T_i$. Rasio pencampuran massa uap air (massa uap air relatif terhadap massa total) adalah $\phi$. massa udara ini memiliki kalor jenis pada tekanan konstan $c_p$. Konstanta gas universal adalah $R=8.31 \text{ J}/(\text{mol} \text{ K})$.

D3  ^2.00 Dengan mengasumsikan bahwa mula-mula massa udara memiliki $T_i=17.0 ^\circ C$ dan $p_i=10^5 \text{ Pa}$. Tentukan suhu $T_l$ ketika uap air mulai mengembun jika $\phi=10^{-2}$. Asumsikan bahwa kandungan air dalam massa udara tetap konstan selama kenaikan. Gunakan $L= 2460\text{ kJ/kg}$ dan $p_{so}=1.94\times10^3\text{ Pa}$ di $T_i=17.0^{\circ}C$. Massa molar air $\mu_{\text{H}_2\text{O}}\approx18\text{ g/mol}$ dan rata-rata massa molar udara $\mu_{\text{air}}\approx29\text{ g/mol}$. Asumsikan bahwa semua molekul udara memiliki $5$ derajat kebebasan.

Bagian E. Lingkaran cahaya matahari (Sun halo) (1,6 poin)

Dalam kondisi atmosfer tertentu, cincin terang muncul di sekeliling Matahari yang disebut halo. Halo disebabkan oleh kristal es yang ada di troposfer atas. Salah satu fitur menarik tentang halo adalah bahwa halo selalu muncul pada sudut tertentu relatif terhadap arah Matahari.

E1  ^0.80 Tinjau sebuah prisma sederhana dengan sudut puncak $\varphi$ dan arahkan sinar cahaya ke prisma tersebut dengan sudut datang $\alpha$, seperti yang ditunjukkan pada Gambar E.1. Misalkan indeks bias prisma adalah n. Nyatakan sudut deviasi $\delta$ sinar cahaya setelah melewati prisma dalam $\alpha$, $n$ dan $\varphi$.

Jenis halo yang paling umum terbentuk ketika kristal es yang sangat kecil berbentuk prisma heksagonal yang teratur. Cahaya dari Matahari jatuh pada kristal es yang melayang secara acak di atmosfer dan menyebar ke berbagai arah. Namun demikian, pada arah tertentu, intensitas cahaya yang dibiaskan adalah maksimal, dan ini menentukan sudut kemunculan cincin terang.

Pertimbangkan sebuah prisma es heksagonal yang sumbu simetri aksial tegak lurus terhadap arah sinar Matahari. Selidiki sinar cahaya yang dibiaskan melalui dua permukaan prisma yang ditunjukkan pada Gambar E.2. Karena orientasi kristal es yang acak, cahaya menumbuk permukaan kristal pada berbagai sudut datang $\alpha$ .

E2  ^0.60 Gambarkan pada lembar jawaban bagaimana sudut deviasi $\delta$ dari sinar cahaya yang ditinjau bergantung pada sudut datang $\alpha$ dalam interval $[20^\circ,70^\circ]$ dengan kenaikan $5^\circ$. Indeks bias es adalah n = 1,31.

E3  ^0.20 Dengan menggunakan grafik dari bagian sebelumnya, tentukan pada sudut mana lingkaran cahaya tampak paling terang relatif terhadap arah Matahari.