Bầu khí quyển của Trái Đất là một hệ vật lý phức tạp và việc dự đoán sự biến đổi của nó là rất quan trọng đối với các môn khoa học về môi trường và khí tượng. Tuy nhiên, ngay cả những mô hình lý thuyết tốt nhất chạy trên các máy tính hiện đại cũng không đủ để đưa ra những dự đoán chính xác. Trong bài toán này, chúng ta sẽ cố gắng hiểu một số hiện tượng cơ bản về bầu khí quyển dựa trên các mô hình đơn giản. Em có thể cần sử dụng các hằng số sau: công suất bức xạ Mặt Trời trung bình trên một đơn vị diện tích vuông góc với tia sáng tại vị trí Trái Đất là $F_s=1370\text{ W/m}^2$, khối lượng mol của nước $\mu_{\text{H}_2\text{O}}\approx18\text{ g/mol}$ và khối lượng mol trung bình của không khí $\mu_{\text{air}}\approx29\text{ g/mol}$. Hằng số Stefan-Boltzmann constant $\sigma=5.67\times10^{-8} \text{ W}/(\text{m}^2 \text{K}^4)$. Tất cả các chất khí trong bài toán này có thể được xem là khí lý tưởng. Giả sử rằng tất cả các phân tử không khí đều có $5$ bậc tự do. Em có thể sử dụng tích phân sau:

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2/2} \;dx = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}, \hspace{4mm} a> 0.$$

Phần A. Nhiệt độ bề mặt Trái Đất (1.2 điểm)

Trong phần này, chúng ta đi nghiên cứu tác động của khí quyển lên nhiệt độ bề mặt Trái Đất. Giả sử rằng Trái Đất và khí quyển của nó có hệ số phản xạ $a=0.3$, đây là tỉ phần bức xạ bị phản xạ lại so với tổng bức xạ Mặt Trời chiếu tới. Em có thể sử dụng giá trị này cho tất cả các phần của bài toán này. Ngoài ra, ta coi rằng Trái Đất phát xạ như một vật đen tuyệt đối.

A1  ^0.20 Hãy biểu diễn công suất trung bình thực tế từ Mặt Trời mà hệ Trái Đất và khí quyển hấp thụ, ký hiệu là $P_0$, theo các đại lượng $F_s,a$ và bán kính của Trái Đất $R_E$.

A2  ^0.30 Ước tính nhiệt độ của bề mặt Trái Đất $T_{g0}$, giả sử rằng Trái Đất đang ở trạng thái ổn định nhiệt (steady state).

Bỏ qua khí quyển.

Kết quả em tìm được trong câu A.2 sẽ thấp hơn giá trị thực tế mà em mong đợi. Bây giờ chúng ta hãy xét đến việc thêm một lớp khí quyển mỏng có nhiệt độ $T_a$, xem Hình A.1. Lớp khí quyển cho phép truyền qua tổng cộng $t_{\text{sw}}$ phần của bức xạ Mặt Trời chiếu tới và truyền qua tổng cộng $t_{\text{lw}}$ phần của bức xạ nhiệt từ Trái Đất. Ngoài ra đối với phần năng lượng còn lại, khí quyển thể hiện như một vật đen tuyệt đối.

A3  ^0.70 Giả sử hệ đang ở trạng thái ổn định nhiệt (steady state), hãy tính nhiệt độ của mặt đất $T_g$. Cho biết $t_{\text{sw}}=0.9$ và $t_{\text{lw}}=0.2$.

Phần B. Phổ hấp thụ của các chất khí trong khí quyển (1.8 điểm)

Bức xạ hồng ngoại do Trái Đất phát ra có năng lượng thấp, không có khả năng kích thích các electron bên trong phân tử, nhưng nó có khả năng kích thích các mode dao động và quay của phân tử.

B1  ^0.50 Xét một phân tử lưỡng nguyên tử đơn giản được mô hình hóa như hai chất điểm có khối lượng $m_A$ và $m_B$ được nối với nhau bởi một lò xo có hệ số đàn hồi $k$. Hãy xác định tần số góc dao động của phân tử $\omega_d$.

B2  ^0.20 Cơ học lượng tử chỉ ra rằng sự kích thích dao động do hấp thụ một photon chỉ có thể làm tăng mức năng lượng của dao động lên một mức lượng tử. Hãy xác định năng lượng của photon $E_p$ có thể kích thích dao động của hệ trong câu B.1? Bỏ qua hiệu ứng giật lùi (là hiện tượng xảy ra khi một vật phát ra hoặc hấp thụ một photon, và do đó bị đẩy ngược lại để bảo toàn động lượng).

Cơ học lượng tử cấm các mode dao động của các phân tử lưỡng nguyên tử đối xứng, chẳng hạn như nitơ và oxy (các loại khí phổ biến nhất trong bầu khí quyển của Trái Đất) không thể bị kích thích bởi ánh sáng. Điều này giải thích tại sao $\text{N}_2$ và $\text{O}_2$ không góp phần vào hiệu ứng nhà kính. Nói chung, việc hấp thụ ánh sáng bởi các phân tử được điều khiển bởi các chuyển tiếp năng lượng được phép trong phân tử đó. Tuy nhiên, năng lượng của ánh sáng được hấp thụ không nhất thiết phải khớp chính xác với mức năng lượng chuyển tiếp trong phân tử. Giả sử rằng một phân tử đứng yên có một vạch quang phổ (chuyển tiếp năng lượng được phép) ở tần số $f_o$.

B3  ^0.20 Độ lệch của vạch phổ $f-f_0$ à bao nhiêu nếu phân tử đang di chuyển với tốc độ $v$ hướng về phía nguồn phát với $|v|\ll c$, trong đó, $c$ là tốc độ ánh sáng.

Đối với một chất khí ở nhiệt độ $T$, vận tốc của các phân tử khí được phân bố theo phân bố Maxwell. Đối với một phân tử có khối lượng $m$, xác suất để vận tốc của phân tử dọc theo một chiều (1D) nằm trong khoảng từ $v$ đến $v+dv$ được cho bởi $p_1(v)dv$, trong đó, $p_1(v)$ là hàm phân bố xác suất được cho bởi:

$$p_1(v)=C \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)$$

$C$ là hằng số chuẩn hóa đảm bảo tổng xác suất bằng một, và $k_B$ là hằng số Boltzmann.

B4  ^0.20 Hãy tìm hằng số chuẩn hóa $C$, giả sử rằng vận tốc $v$ có thể biến thiên từ $-\infty$ đến $\infty$.

B5  ^0.30 Hãy tìm hàm phân bố xác suất $p_2(f)$ để tìm thấy một phân tử có vạch phổ ban đầu $f_0$ bị dịch chuyển đến tần số $f$ do chuyển động nhiệt, theo các đại lượng $f,f_0,T,m$ và các hằng số cơ bản. Bỏ qua hằng số chuẩn hóa.

B6  ^0.40 Vẽ đồ thị $p_2(f)$ theo biến $f-f_0$, và xác định mức lệch tần số $f^{\star}-f_0$ mà tại đó, $p_2(f^{\star})$ bằng $1/e$ so với giá trị cực đại, trong đó $e$ là hằng số Euler.

Phần C. Sự ổn định của không khí trong khí quyển (2.7 điểm)

Xét một khối không khí dạng hình trụ nhỏ ở độ cao $z$ so với mặt đất. Áp suất và khối lượng riêng của không khí ở độ cao đó lần lượt là $p(z)$ và $\rho(z)$, xem Hình C.1. Giả sử trường hấp dẫn hướng xuống dưới có $g$ không đổi và áp suất trên bề mặt Trái Đất là $p_o$.

C1  ^0.30 Giả sử khối không khí nhỏ đang ở trạng thái cân bằng thủy tĩnh, hãy thiết lập biểu thức cho tốc độ biến thiên của áp suất theo độ cao, tức là $dp/dz$ theo các đại lượng $g$ và $\rho(z)$.

C2  ^0.20 Hãy tìm biểu thức $dp/dz$ theo các đại lượng $\mu_{\text{air}},g, p(z)$ và $T(z)$, là nhiệt độ ở độ cao $z$ và các hằng số cơ bản.

C3  ^0.20 Giả sử khí quyển là đẳng nhiệt, $T(z)=T$, tìm biểu thức cho $p(z)$ theo các đại lượng $z,\mu_{\text{air}},g,p_o,T$ và các hằng số cơ bản.

Trong thực tế, nhiệt độ bầu khí quyển không phải là hằng số mà thay đổi theo độ cao. Tốc độ giảm của nhiệt độ theo độ cao $\Gamma(z) = -dT/dz$ được gọi là tốc độ giảm nhiệt (lapse rate). Hãy xét một khối khí nhỏ di chuyển lên cao (nổi lên) một cách đoạn nhiệt (adiabatic) trong khí quyển, và luôn giữ trạng thái cân bằng cơ học với môi trường xung quanh.

C4  ^0.60 Đối với khối lượng không khí nổi lên đoạn nhiệt, hãy tìm tốc độ giảm nhiệt đoạn nhiệt $\Gamma_a$ theo các đại lượng nhiệt dung mol đẳng áp $c_p$, $\mu_{\text{air}}$ và $g$.

Để phân tích tính ổn định của khí quyển, chúng ta tưởng tượng bắt đầu từ trạng thái cân bằng, sau đó làm nhiễu loạn một khối không khí nhỏ và phân tích phản ứng của nó. Hãy xem xét một khối không khí nhỏ ban đầu ở trạng thái cân bằng với không khí xung quanh ở độ cao $z$ và nhiệt độ $T$. Sau đó nó được dịch chuyển theo phương thẳng đứng đi một đoạn $\delta z_0$ một cách đoạn nhiệt. Giả sử rằng trong suốt quá trình chuyển động, khối không khí luôn có cùng áp suất với không khí xung quanh ở cùng độ cao. Bầu khí quyển xung quanh không bị ảnh hưởng và có tốc độ giảm nhiệt độ $\Gamma$ khác khối khí. Bỏ qua độ nhớt.

C5  ^1.40 Hãy tìm phương trình chuyển động cho $\delta z$, tức là ly độ tức thời theo phương thẳng đứng của khối khí. Xác định điều kiện để trạng thái cân bằng tại độ cao $z$ là cân bằng bền? Hãy xác định tần số góc $\omega$ của dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng? Hãy biễu diễn kết quả của em theo các đại lượng $T,\Gamma, g, \mu_{\text{air}}$ và $c_p$.

Phần D. Độ ẩm (2.7 điểm)

Mặc dù nước chỉ chiếm một phần nhỏ trong khí quyển, nhưng nó có vai trò quan trọng trong khoa học khí hậu. Nước ảnh hưởng đến lượng mưa và là khí nhà kính quan trọng nhất. Trạng thái (pha) của nước phụ thuộc vào nhiệt độ và áp suất mà hệ nước đang tồn tại, được biểu diễn trên biểu đồ pha áp suất – nhiệt độ $p-T$, xem Hình D.1. Khi áp suất và nhiệt độ nằm trên đường cong chuyển pha, thì nước dạng lỏng và hơi có thể cùng tồn tại trong hệ. Độ dốc của đường cong chuyển pha được cho bởi phương trình Clausius–Clapeyron:

$$\frac{dp_s}{dT}=\frac{\Delta S}{\Delta V}$$

trong đó $p_s$ là áp suất bão hòa, tức là áp suất tại thời điểm chuyển pha, $\Delta S$ và $\Delta V$ lần lượt là độ thay đổi entropy và thể tích khi xảy ra quá trình chuyển pha. Coi hơi nước là khí lý tưởng.

D1  ^0.50 Hãy biểu diễn $dp_{s}/dT$ dọc theo đường cong chuyển pha lỏng-khí theo các đại lượng nhiệt hóa hơi riêng $L, \mu_{\text{H}_2\text{O}}, p_{s}, T$ và các hằng số cơ bản.

D2  ^0.20 Nếu tại nhiệt độ tham chiếu $T_o$ nào đó, $p_s=p_{so}$, hãy tìm biểu thức cho $p_s(T)$ theo các đại lượng $p_{so},\mu_{\text{H}_2\text{O}},L,T,T_o$ và các hằng số cơ bản.

Bây giờ chúng ta xem xét một khối không khí 'ẩm' nổi lên đoạn nhiệt bắt đầu từ nhiệt độ ban đầu $T_i$. Tỷ lệ trộn theo khối lượng của hơi nước (nghĩa là: khối lượng hơi nước trên tổng khối lượng khối khí) là $\phi$. Khối khí có nhiệt dung mol đẳng áp $c_p$. Hằng số khí lý tưởng là $R=8.31 \text{ J}/(\text{mol} \text{ K})$.

D3  ^2.00 Giả sử khối không khí bắt đầu ở $T_i=17.0 ^\circ C$ và $p_i=10^5 \text{ Pa}$. Hãy tìm nhiệt độ $T_l$ mà tại đó nước lỏng bắt đầu hình thành trong khối với $\phi=10^{-2}$. Giả sử tỷ lệ trộn theo khối lượng hơi nước trong khối không khí không đổi trong quá trình bay lên. Sử dụng $L= 2460\text{ kJ/kg}$ và $p_{so}=1.94\times10^3\text{ Pa}$ tại $T_i=17.0^{\circ}C$.

Phần E. Quầng sáng Mặt Trời (1.6 điểm)

Trong điều kiện khí quyển thích hợp, một vòng sáng xuất hiện xung quanh Mặt Trời được gọi là quầng sáng (halo). Quầng sáng được tạo ra bởi các tinh thể băng có trong tầng đối lưu trên. Một đặc điểm thú vị về quầng sáng là chúng luôn xuất hiện ở một góc cụ thể so với hướng Mặt trời.

E1  ^0.80 Xét một lăng kính đơn giản có góc đỉnh (góc chiết quang) là $\varphi$ và chiếu một tia sáng tới lăng kính với góc tới là $\alpha$, như được thấy trong Hình E.1. Cho biết chiết suất của lăng kính là n. Hãy biểu diễn góc lệch $\delta$ của tia sáng sau khi đi qua lăng kính theo $\alpha$, $n$ and $\varphi$.

Loại quầng sáng phổ biến nhất được hình thành khi các tinh thể băng nhỏ có hình dạng lăng trụ lục giác đều. Ánh sáng từ Mặt Trời chiếu vào các tinh thể băng định hướng ngẫu nhiên trôi nổi trong khí quyển và bị tán xạ theo nhiều hướng khác nhau. Tuy nhiên, ở một số hướng cụ thể, cường độ ánh sáng khúc xạ đạt cực đại, và chính những hướng này xác định góc xuất hiện của quầng sáng (halo) mà ta quan sát được.

Xét một lăng trụ băng lục giác (hexagonal ice prism) có trục đối xứng bậc sáu vuông góc với hướng tia sáng Mặt Trời. Hãy nghiên cứu một tia sáng khúc xạ qua hai mặt bên hình chữ nhật của lăng kính, như được minh họa trong Hình E.2. Do các tinh thể băng có định hướng ngẫu nhiên, tia sáng sẽ chiếu tới các mặt tinh thể với nhiều góc tới khác nhau $\alpha$.

E2  ^0.60 Vẽ trên phiếu trả lời đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa góc lệch $\delta$ của tia sáng đang xét với góc tới $\alpha$ trong khoảng giá trị $[20^\circ,70^\circ]$ với bước tăng $5^\circ$. Chiết suất của nước đá là n = 1,31.

E3  ^0.20 Sử dụng đồ thị ở phần trên, xác định góc mà tại đó quầng sáng xuất hiện sáng nhất so với hướng của Mặt Trời.