ชั้นบรรยากาศของโลกเป็นระบบที่ซับซ้อน. อย่างไรก็ดี การคาดการณ์พฤติกรรมของชั้นบรรยากาศนั้นมีความสำคัญต่อสิ่งแวดล้อมและอุตุนิยมวิทยา. อย่างไรก็ตาม แม้แต่แบบจำลองที่ดีที่สุดที่ทำงานบนคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ก็ยังไม่เพียงพอที่จะทำนายพฤติกรรมของชั้นบรรยากาศได้อย่างแม่นยำ. ในคำถามนี้ เราจะพยายามทำความเข้าใจปรากฏการณ์พื้นฐานบางอย่างของชั้นบรรยากาศโดยอาศัยแบบจำลองง่าย ๆ.

นักเรียนอาจต้องใช้ค่าคงที่ต่อไปนี้

• ความเข้มแสงอาทิตย์ (พลังงานของแสงอาทิตย์ที่ส่งมาถึงโลกต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ต่อหนึ่งหน่วยเวลา) มีค่าเฉลี่ยเป็น $F_s=1370\text{ W/m}^2$.
• มวลต่อโมล (molar mass) ของน้ำคือ $\mu_{\text{H}_2\text{O}}\approx18\text{ g/mol}$.
• มวลเฉลี่ยต่อโมลของอากาศคือ$\mu_{\text{air}}\approx29\text{ g/mol}$.
• ค่าคงที่ชเตฟาน-บอลต์ซมันน์ (Stefan-Boltzmann constant) คือ$\sigma=5.67\times10^{-8} \text{ W}/(\text{m}^2 \text{K}^4)$.

แก๊สทั้งหมดในคำถามนี้สามารถจัดเป็นแก๊สในอุดมคติได้. สมมติว่าโมเลกุลอากาศทั้งหมดมีดีกรีของความเป็นอิสระ (degree of freedom) เท่ากับ $5$. นักเรียนอาจต้องใช้อินทิกรัลต่อไปนี้ :

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2/2} \;dx = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}, \hspace{4mm} a> 0.$$

ตอน A. อุณหภูมิของพื้นผิวโลก (1.2 คะแนน)

ในส่วนนี้ เราศึกษาผลกระทบของบรรยากาศต่ออุณหภูมิของพื้นผิวโลก. ค่าแอลบีโด (albedo) ซึ่งเป็นค่าที่บอกถึงอัตราส่วนของรังสีที่สะท้อนกลับต่อรังสีที่ตกกระทบทั้งหมด. สมมติว่า โลกและบรรยากาศมีค่าแอลบีโดเป็น $a=0.3$ สำหรับรังสีที่มาจากดวงอาทิตย์. นักเรียนสามารถใช้ค่านี้ในทุกส่วนของคำถามนี้. นอกจากนี้ ให้ถือว่าโลกแผ่รังสีเสมือนเป็นวัตถุดำ (black body).

A1  ^0.20 จงเขียนกำลังเฉลี่ยที่โลกและบรรยากาศได้รับจากดวงอาทิตย์ $P_0$ ในรูปของ $F_s$, $a$, และรัศมีของโลก $R_E$.

A2  ^0.30 จงประมาณค่าของอุณหภูมิของพื้นผิวโลก $T_{g0}$ โดยถือว่า โลกอยู่ในสภาวะยืนยง (steady state) ไม่ต้องคำนึงถึงชั้นบรรยากาศของโลก.

คำตอบที่ได้ในข้อ A.2 ควรมีค่าต่ำกว่าที่ควรจะได้ในความจริง. ในตอนนี้ เราเพิ่มชั้นบรรยากาศบาง ๆ ซึ่งมีอุณหภูมิ $T_a$ ดู รูป A.1. ชั้นบรรยากาศ

• ส่งผ่านพลังงานเป็นอัตราส่วน $t_{\text{sw}}$ ของรังสีจากดวงอาทิตย์ที่ตกกระทบ และ
• ส่งผ่านพลังงานเป็นอัตราส่วน $t_{\text{lw}}$ ของรังสีความร้อน (thermal radiation) ของโลก.

นอกเหนือจากนี้ นักเรียนก็อาจถือว่า ชั้นบรรยากาศเป็นวัตถุดำเช่นกัน.

A3  ^0.70 โดยถือว่าระบบอยู่ในสถานะยืนยง (steady state) ให้คำนวณอุณหภูมิของพื้นดิน $T_g$. ใช้ $t_{\text{sw}}=0.9$ และ $t_{\text{lw}}=0.2$.

ตอน ฺB. การดูดกลืนสเปกตรัมของแก๊สในบรรยากาศ (1.8 คะแนน)

รังสีอินฟราเรดที่ถูกปลดปล่อยจากโลกมีพลังงานต่ำ จึงไม่สามารถกระตุ้นอิเล็กตรอนภายในโมเลกุลได้ แต่สามารถกระตุ้นโหมดการสั่นสะเทือนและการหมุนของโมเลกุลได้

B1  ^0.50 พิจารณาโมเลกุลคู่ (diatomic molecule) ที่มีแบบจำลองเป็นจุดมวลสองจุดที่มีมวล $m_A$ และ $m_B$ เชื่อมต่อกันด้วยสปริงที่มีค่าคงที่ของสปริง $k$. จงคำนวณความถี่เชิงมุมของการสั่น $\omega_d$.

B2  ^0.20 กลศาสตร์ควอนตัมระบุว่าการกระตุ้นระดับพลังงานของการสั่นโดยการดูดซับโฟตอนสามารถ เพิ่มระดับพลังงานควอนตัมได้เพียงหนึ่งระดับ. พลังงานของโฟตอน $E_p$ ต้องมีค่าเท่าใดจึงจะสามารถกระตุ้นพลังงานของการสั่นในข้อ B.1 ได้. ไม่ต้องคำนึงถึงผลกระทบจากการกระดอน (recoil effect).

กลศาสตร์ควอนตัมไม่อนุญาตให้แสงกระตุ้นโหมดการสั่นสะเทือนของโมเลกุลคู่แบบสมมาตร เช่น ไนโตรเจนและออกซิเจน (แก๊สที่มีปริมาณมากที่สุดในชั้นบรรยากาศของโลก). ด้วยเหตุนี้ $\text{N}_2$ และ $\text{O}_2$ ไม่เป็นแก๊สที่ก่อให้เกิดปรากฏการณ์เรือนกระจก. โดยทั่วไปการดูดกลืนแสงของโมเลกุลจะถูกควบคุมโดยการเปลี่ยนแปลงระดับพลังงานที่อนุญาต (allowed energy transition) ในโมเลกุล. อย่างไรก็ตาม พลังงานของแสงที่ดูดกลืนไม่จำเป็นต้องตรงกับช่องว่างพลังงาน (energy gap) ในโมเลกุลพอดี. สมมติว่าโมเลกุลที่อยู่นิ่งมีเส้นสเปกตรัม (ซึ่งเกิดจากการเปลี่ยนแปลงระดับพลังงานที่อนุญาต) ที่ความถี่$f_0$.

B3  ^0.20 จงหาค่าความเปลี่ยนแปลงของเส้นสเปกตรัม $f-f_0$ ถ้าโมเลกุลเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $v$ ไปทางแหล่งปล่อยแสงโดยที่ $|v|\ll c$ โดยที่ $c$ คืออัตราเร็วของแสงในสุญญากาศ

สำหรับแก๊สที่อุณหภูมิ $T$ ความเร็วของโมเลกุลจะกระจายตามการกระจายของแมกซ์เวลล์ (Maxwell's distribution). สำหรับโมเลกุลที่มีมวล $m$ ความน่าจะเป็นที่จะพบว่า ความเร็วในหนึ่งมิติของโมเลกุลมีค่าอยู่ระหว่าง $v$ และ $v+dv$ มีค่าเป็น $p_1(v)\,dv$ โดยที่ $p_1(v)$ เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (probability density function) ที่กำหนดโดย

$$p_1(v)=C \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)$$

$C$ เป็นค่าคงที่ที่เรียกว่า ค่าคงตัวบรรทัดฐาน (normalization constant) ซึ่งมีสมบัติว่า ความน่าจะเป็นรวมจะมีค่าเป็นหนึ่ง และ $k_B$ คือค่าคงตัวของบอลท์ซมันน์ (Boltzmann constant)

B4  ^0.20 จงหาค่าคงตัวบรรทัดฐาน $C$ โดยสมมติว่าความเร็ว $v$ มีค่าตั้งแต่ $-\infty$ ถึง $\infty$.

B5  ^0.30 จงหาฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (probability density function) $p_2(f)$ ในการที่โมเลกุลซึ่งมีเส้นสเปกตรัม $f_0$ จะเปลี่ยนไปเป็น $f$ เนื่องมาจากการเคลื่อนที่ภายใต้ความร้อน (thermal motion). ไม่ต้องคำนวณค่าคงตัวบรรทัดฐาน (normalization factor). ให้เขียนในรูปของ $f$, $f_0$, $T$, $m$, และค่าคงตัวทางฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้อง

B6  ^0.40 สเก็ตซ์ $p_2(f)$ ให้เป็นฟังก์ชันของ $f-f_0$ . นอกจากนี้ ให้หาค่าการเลื่อนความถี่ $f^{\star}-f_0$ ณ ตำแหน่งที่มีสมบัติว่า $p_2(f^{\star})$ เป็นเศษส่วน $1/e$ ของค่า ณ ตำแหน่งสูงสุด (peak). ในที่นี้ $e$ คือฐานของลอการิทึมธรรมชาติ (natural base of logarithm)

ตอน C. เสถียรภาพของอากาศในชั้นบรรยากาศ (2.7 คะแนน)

พิจารณามวลอากาศทรงกระบอกขนาดเล็กที่ความสูง $z$ เหนือพื้นดิน. ให้ความดันและความหนาแน่นมวลของอากาศที่ความสูงดังกล่าวเป็น $p(z)$ และ $\rho(z)$ ตามลำดับ ดัง รูป C.1. สมมติว่ามีสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอในทิศชี้ลง $g$ และความดันที่พื้นผิวโลกเป็น $p_o$.

C1  ^0.30 สมมติว่ามวลอากาศขนาดเล็กอยู่ในภาวะสมดุลอุทกสถิต (hydrostatic equilibrium). จงหาค่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของความดันเทียบกับความสูง $dp/dz$. ให้ตอบในรูปของ $g$ และ$\rho(z)$

C2  ^0.20 เขียน $dp/dz$ ในรูปของ $\mu_{\text{air}}$, $g$, $p(z)$, อุณหภูมิ $T(z)$ ที่ความสูง $z$, และค่าคงตัวทางฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้อง

C3  ^0.20 สมมติว่าบรรยากาศมีอุณหภูมิคงที่ $T(z)=T$ . เขียน $p(z)$ ในรูปของ $z$ , $\mu_{\text{air}}$ , $g$ , $p_o$ , $T$ , และค่าคงที่ทางฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้อง

ในบรรยากาศจริง อุณหภูมิในบรรยากาศจะไม่คงที่แต่จะเปลี่ยนแปลงตามความสูง. อัตราการลดลงของอุณหภูมิตามความสูง (lapse rate) คือ $\Gamma(z) = -dT/dz$ . พิจารณามวลอากาศขนาดเล็กที่ลอยขึ้นในบรรยากาศแบบแอเดียแบติก (adiabatic) โดยที่อากาศยังคงอยู่ในภาวะสมดุลเชิงกล (mechanical equilibrium) กับสภาพแวดล้อม.

C4  ^0.60 สำหรับมวลอากาศที่ลอยขึ้นแบบแอเดียแบติก คำนวณ $\Gamma_a$ ในรูปของความร้อนจำเพาะต่อโมล $c_p$ ที่ความดันคงที่ , $\mu_{\text{air}}$, และ $g$

ในการวิเคราะห์เสถียรภาพ (stability) ของชั้นบรรยากาศ ให้จินตนาการว่า ในตอนแรก ชั้นบรรยากาศในสถานะสมดุล. จากนั้น เรารบกวนมวลอากาศขนาดเล็กและวิเคราะห์การตอบสนองของมวลอากาศดังกล่าว.พิจารณามวลอากาศขนาดเล็กที่อยู่ในภาวะสมดุลกับอากาศโดยรอบที่ระดับความสูงในตอนแรก $z$ และอุณหภูมิ $T$ . จากนั้น มวลอากาศนี้ถูกเลื่อนแบบแอเดียแบติกในแนวตั้งโดยที่การกระจัดคือ $\delta z_0$. สมมติว่าตลอดการเคลื่อนที่ มวลอากาศจะมีความดันเท่ากันกับอากาศโดยรอบที่ความสูงเท่ากันเสมอ บรรยากาศโดยรอบไม่เปลี่ยนแปลงและมีอัตราการลดลงของอุณหภูมิตามความสูง (lapse rate) เป็น $\Gamma$ ซึ่งแตกต่างกับอัตราการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิของมวลอากาศ $\Gamma_a$. ไม่ต้องคำนึงถึงความหนืด (viscosity) ของอากาศ.

C5  ^1.40 ให้ $\delta z$ คือการกระจัดแนวดิ่งขณะใด ๆ ของก้อนมวลอากาศ. จงเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายพฤติกรรมของ $\delta z$ ที่มาจากสมการการเคลื่อนที่ของก้อนมวลอากาศนี้. ให้ระบุเงื่อนไขที่ทำให้จุดสมดุลของก้อนมวลที่ความสูง $z$ มีเสถียรภาพ. นอกจากนี้ ให้หาว่าความถี่เชิงมุม $\omega$ ของการสั่นเล็ก ๆ ของก้อนมวลมีค่าเท่าใด. แสดงคำตอบในรูป $T$, $\Gamma$, $g$, $\mu_{\text{air}}$, และ $c_p$.

ตอน D. ความชื้น (2.7 คะแนน)

น้ำมีบทบาทสำคัญในภูมิอากาศศาสตร์ (climate science) แม้ว่าจะเป็นองค์ประกอบส่วนเล็ก ๆ ในชั้นบรรยากาศ. หยาดน้ำฟ้า (precipitation) ซึ่งก็คือการตกของน้ำในชั้นบรรยากาศลงมาสู่พื้นดินเป็นกลไกสำคัญในชั้นบรรยากาศ และน้ำก็เป็นแก๊สเรือนกระจก (greenhouse gas) ที่มีบทบาทใหญ่มาก.เฟสของน้ำขึ้นอยู่กับอุณหภูมิและความดันของระบบดังแสดงในแผนภูมิ $p$-$T$ ใน รูป D.1. เมื่อความดันและอุณหภูมิของระบบอยู่บนเส้นโค้งสองสถานะ (coexistence curve) น้ำในระบบจะสามารถปรากฏได้ทั้งเป็นของเหลวและเป็นไอ. ความชันของเส้นโค้งสองสถานะหาได้จากสมการของคลอเซียสและคลาเปย์รอง (Clausius-Clapeyron equation) ดังต่อไปนี้ :

$$\frac{dp_s}{dT}=\frac{\Delta S}{\Delta V}$$

เมื่อ $p_s$ คือความดันที่จุดอิ่มตัว (saturation pressure) ซึ่งเป็นความดัน ณ ตำแหน่งที่มีการเปลี่ยนเฟส, $\Delta S$ คือการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีเมื่อเกิดการเปลี่ยนเฟส, และ $\Delta V$ คือการเปลี่ยนแปลงปริมาตรเมื่อเกิดการเปลี่ยนเฟส. ให้พิจารณาไอน้ำเป็นแก๊สในอุดมคติ (ideal gas).

D1  ^0.50 เขียนความชัน $dp_s/dT$ สำหรับเส้นโค้งสองสถานะของน้ำในรูปของความร้อนแฝงจำเพาะต่อมวลของการกลายเป็นไอ (specific latent heat of evaporation) $L$, มวลต่อโมล $\mu_{\text{H}_2\text{O}}$ ของน้ำ, $p_s$, $T$, และค่าคงตัวทางฟิสิกส์

D2  ^0.20 สมมติว่า ณ อุณหภูมิอ้างอิง $T_o$ เราได้ว่า $p_s=p_{so}$. จงเขียนความดัน $p_s(T)$ ในรูปของ $p_{so}$, $\mu_{\text{H}_2\text{O}}$, $L$, $T$, $T_o$, และค่าคงตัวทางฟิสิกส์

พิจารณามวลอากาศที่มีความชื้น และมีการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิแบบแอเดียแบติก ซึ่งเริ่มที่อุณหภูมิ $T_i$. สัดส่วนมวลระหว่างไอน้ำกับมวลทั้งหมดมีค่าเป็น $\phi$. ให้มวลอากาศนี้มีความจุความร้อนจำเพาะต่อโมลที่ความดันคงที่เป็น $c_p$. ค่าคงตัวของแก๊สมีค่าเป็น $R=8.31 \text{ J}/(\text{mol} \text{ K})$.

D3  ^2.00 กำหนดให้มวลอากาศมีอุณหภูมิและความดันตั้งต้นที่ $T_i=17.0 ^\circ \text{C}$ และ $p_i=10^5 \text{ Pa}$. จงหาอุณหภูมิ $T_l$ ที่น้ำเริ่มเปลี่ยนเป็นสถานะของเหลวสำหรับ $\phi=10^{-2}$. กำหนดให้ปริมาณน้ำในอากาศคงที่ในขณะที่อุณหภูมิเพิ่ม. สมมติให้ $L= 2460\text{ kJ/kg}$ และ $p_{so}=1.94\times10^3\text{ Pa}$ ที่ $T_i=17.0^{\circ}\text{C}$.

ตอน E. ดวงอาทิตย์ทรงกลด (1.6 คะแนน)

ในบางสภาวะของชั้นบรรยากาศ เราจะเห็นวงแหวนสว่างรอบดวงอาทิตย์ซึ่งเรียกว่า กลด (halo). กลดเกิดจากเกล็ดน้ำแข็งจำนวนมากในชั้นบรรยากาศโทรโปสเฟียร์ตอนบน. กลดนี้จะมีขนาดความกว้างเชิงมุมค่าหนึ่งเสมอเมื่อมองเข้าหาดวงอาทิตย์.

E1  ^0.80 พิจารณาปริซึมฐานสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมยอดเป็น $\varphi$ และมีลำแสงที่ตกกระทบเป็นมุม $\alpha$ ตาม รูป E.1. กำหนดให้ดรรชนีหักเหของปริซึมมีค่าเท่ากับ n. จงหามุมเบน $\delta$ ของลำแสงที่เดินทางออกจากปริซึม. ให้ตอบในรูปของ $\alpha$, $n$, และ $\varphi$.

พระอาทิตย์ทรงกลดมักจะเกิดจากเกล็ดน้ำแข็งที่มีรูปร่างเป็นปริซึมฐานหกเหลี่ยมปกติ (หกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า). แสงจากดวงอาทิตย์ตกกระทบลงบนเกล็ดน้ำแข็งในชั้นบรรยากาศที่มีการเรียงตัวแบบสุ่ม. แสงจะกระเจิงไปในทิศทางต่าง ๆ กัน แต่จะมีบางทิศทางที่แสงจะรวมตัวมีความสว่างที่สุด ซึ่งจะก่อให้เกิดเป็นวงแหวน (กลด) ให้เห็น.

พิจารณาเกล็ดน้ำแข็งรูปทรงปริซึมหน้าหกเหลี่ยมปกติ โดยสมมติว่าแกนสมมาตร (แกนกลาง) ของปริซึมตั้งฉากกับลำแสงดวงอาทิตย์. ให้นักเรียนพิจารณาลำแสงที่หักเหผ่านผิวสี่เหลี่ยมด้านข้างปริซึมสองด้านตาม รูป E.2. เนื่องจากปริซึมน้ำแข็งมีทิศทางแบบสุ่มทำให้แสงตกกระทบผิวปริซึมที่มุม $\alpha$ มีค่าต่าง ๆ กัน.

E2  ^0.60 พลอตในกระดาษคำตอบเพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างมุมเบน $\delta$ และมุมตกกระทบ $\alpha$ ที่มีค่าในระหว่าง $20^\circ$ ถึง $70^\circ$ (ในช่วง $\left[20^\circ,70^\circ\right]$) โดยพลอตทุก ๆ $5^\circ$. กำหนดให้ดรรชนีหักเหของน้ำแข็งคือ n=1.31.

E3  ^0.20 ใช้ผลจากกราฟจากข้อก่อนหน้านี้เพื่อบอกความห่างเชิงมุมจากดวงอาทิตย์ไปยังกลด (halo) ซึ่งเป็นแถบสว่างที่สุด เมื่อมองเข้าหาดวงอาทิตย์.