Dünya'nın atmosferi karmaşık bir fiziksel sistemdir ve davranışını öngörmek çevresel ve meteorolojik amaçlar açısından çok önemlidir. Ancak, modern bilgisayarlarda çalışan en iyi teorik modeller bile kesin tahminler yapmada yetersiz kalmaktadır. Bu soruda, bazı temel atmosfer olaylarını basit modellerle anlamaya çalışacağız. Aşağıdaki sabitlere ihtiyacınız olabilir: Dünya’ya düşen ortalama güneş enerjisi yoğunluğu $F_s=1370\text{ W/m}^2$, suyun mol kütlesi $\mu_{\text{H}_2\text{O}}\approx18\text{ g/mol}$ ve havanın ortalama mol kütlesi $\mu_{\text{air}}\approx29\text{ g/mol}$ g/mol. Bu sorudaki tüm gazlar ideal gaz olarak kabul edilecektir. Tüm hava moleküllerinin 5 serbestlik derecesi olduğu varsayılacaktır. Şu integrale ihtiyacınız olabilir:

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2/2} \;dx = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}, \hspace{4mm} a> 0.$$

Part A. Yeryüzü Sıcaklığı (1.2 puan)

Bu bölümde atmosferin Dünya yüzeyinin sıcaklığı üzerindeki etkisini inceliyoruz. Dünya ve atmosferinin yansıtıcılığı (albedo) $a=0.3$ alınacaktır. Bu, gelen toplam güneş ışınımının yansıtılan kısmıdır ve bu sorunun tüm kısımlarında kullanılabilir.

A1  ^0.20 Dünya ve atmosfer sisteminin aldığı ortalama net güneş enerjisi $P_0$'ı $F_s,a$ ve Dünya yarıçapı $R_E$ cinsinden ifade ediniz.

A2  ^0.30 Dünya yüzeyinin sıcaklığını ($T_{g0}$) tahmin ediniz. Dünya’nın gelen güneş ışınımı ile termal dengede olduğu ve bir kara cisim gibi ışıma yaptığı varsayılacaktır. Atmosfer dikkate alınmayacaktır.

A.2'ye vereceğiniz cevap beklediğinizden düşük olmalıdır. Şimdi atmosferin sıcaklığı $T_a$ olan ince bir tabaka olarak eklendiğini düşünün, Şekil A.1'e bakınız. Atmosferik tabaka, gelen güneş radyasyonunun $t_{\text{sw}}$'lik bir kısmını ve Dünya'nın termal radyasyonunun $t_{\text{lw}}$'lik bir kısmını iletir. Aksi takdirde, atmosferi siyah bir cisim olarak düşünebilirsiniz.

A3  ^0.70 Sistemin termal dengede olduğunu varsayarak, zeminin sıcaklığı $T_g$'yi hesaplayın. $t_{\text{sw}}=0.9$ ve $t_{\text{lw}}=0.2$ alınız.

Part B. Atmosferik Gazların Soğurma Spektrumu (1.8 puan)

Dünya'nın yaydığı kızılötesi ışınım, düşük enerjilidir ve moleküllerin içindeki elektronları uyaracak kapasitede değildir; ancak titreşimsel ve dönel modları uyarabilir.

B1  ^0.50 $m_A$ ve $m_B$ kütleli iki noktasal parçacığın bir yay (yay sabiti $k$) ile bağlı olduğu basit bir iki atomlu molekül modeli düşünün. Titreşimlerin açısal frekansı $\omega_d$ nedir?

B2  ^0.20 Kuantum mekaniği, bir fotonun emilmesinden kaynaklanan titreşimsel uyarımların kuantum enerji seviyesini yalnızca bir yükseltebileceğini belirtir. B.1'deki titreşimi uyarabilen fotonun enerjisi $E_p$ nedir ? Geri tepme etkilerini ihmal edin.

Kuantum mekaniği, nitrojen ve oksijen (Dünya atmosferindeki en bol gazlar) gibi simetrik diatomik moleküllerin titreşim modlarının ışık tarafından uyarılmasını yasaklar. Bu, $\text{N}_2$ ve $\text{O}_2$'nin sera etkisine neden katkıda bulunmadığını açıklar. Genel olarak, moleküller tarafından ışığın emilimi, bunlardaki izin verilen enerji geçişleri tarafından yönetilir. Ancak, emilen ışığın enerjisi moleküldeki enerji boşluğuyla tam olarak eşleşmek zorunda değildir. Durağan bir molekülün, $f_o$ frekansında bir spektral çizgiye (izin verilen bir geçişe) sahip olduğunu varsayalım.

B3  ^0.20 Molekül yayıcıya doğru $v\ll c$ hızıyla hareket ediyorsa, $f-f_o$ spektral çizgisindeki kayma nedir? Burada $c$

ışık hızıdır.

Bir gazın sıcaklığı $T$ olduğunda, moleküllerinin hızları Maxwell dağılımına uyar. Kütlesi $m$ olan bir molekülün hızının, bir boyutta $v$ ile $v+dv$ arasında olma olasılığı $p(v)dv$ ile verilir; burada $p(v)$ bir olasılık dağılım fonksiyonudur ve:

$$p(v)=C \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)$$

$C$, toplam olasılığın 1 olmasını sağlayan normalizasyon sabitidir ve $k_B$​, Boltzmann sabitidir.

B4  ^0.20 Hızın $0$’dan sonsuza kadar değişebildiğini varsayarak normalizasyon sabiti $C$’yi bulunuz.

B5  ^0.30 Termal hareket nedeniyle bir molekülün $f_o$​ frekansındaki spektral çizgisinin $f$ frekansına kayma olasılığını belirten olasılık dağılım fonksiyonu $p(f)$’yi, bir normalizasyon sabitine kadar$f,f_o,T,m$, ve temel sabitler cinsinden ifade ediniz.

B6  ^0.40 $p_2(f)$’nin $f-f_o$​’ya bağlı olarak grafiğini çiziniz. Ardından, $p_2(f^{\star})$değerinin maksimum değerinin $1/e$oranında olduğu frekans $f^{\star}-f$’yi bulunuz (burada $e$, doğal logaritma tabanıdır).

Part C. Atmosferdeki havanın kararlılığı (2.7 puan)

Yerden $z$ yüksekliğinde bulunan küçük silindirik bir hava kütlesini ele alalım. Bu yükseklikte havanın basıncı $p(z)$ ve yoğunluğu $\rho(z)$ olsun. Şekil C.1’e bakınız. Yerçekimi alanı sabit ve aşağı yönlüdür ($g$). Yüzeydeki hava basıncı $p_o$​’dır.

C1  ^0.30 Küçük hava kütlesinin hidrostatik dengede olduğunu varsayarak, basıncın yüksekliğe göre değişim oranını $dp/dz$ 'yi $g$ ve $\rho(z)$ cinsinden ifade ediniz.

C2  ^0.20 $dp/dz$'yi $\mu_{\text{air}},g, p(z)$,

C3  ^0.20 İzotermal bir atmosfer varsayarak, $T(z)=T$, $p(z)$ için $z,\mu_{\text{air}},g,p_o,T$ ve temel sabitler cinsinden bir ifade bulun.

Gerçek bir atmosferde, sıcaklık sabit değildir, yükseklikle değişir. Sıcaklığın yükseklikle azalma oranı $\Gamma(z) = -dT/dz$, sıcaklık düşüş oranı (lapse rate) olarak adlandırılır. Çevresindeki hava ile mekanik dengede kalacak şekilde adyabatik olarak yükselen küçük bir hava kütlesini ele alın.

C4  ^0.60 Adyabatik olarak yükselen hava kütlesi için, adyabatik sıcaklık düşüş oranı $\Gamma_a$'yı sabit basınçtaki molar özgül ısı $c_p$, $\mu_{\text{air}}$ ve $g$ cinsinden bulun.

Bir atmosferin stabilitesini analiz etmek için, bir denge durumundan başladığımızı hayal ediyoruz, sonra küçük bir hava kütlesini saptırıyoruz ve tepkisini analiz ediyoruz. İlk olarak $z$ yüksekliğinde ve $T$ sıcaklığında çevredeki hava ile dengede olan küçük bir hava kütlesini düşünün. Daha sonra dikey olarak $\delta z$ kadar adyabatik olarak yer değiştirilir. Hareket boyunca, hava parçasının her zaman aynı yükseklikteki çevreleyen hava ile aynı basınca sahip olduğunu varsayın. Çevredeki atmosfer değiştirilmemiştir ve farklı bir sıcaklık düşüş oranı $\Gamma$'ye sahiptir. Viskoziteyi ihmal edin.

C5  ^1.40 $\delta z$ için hareket denklemini bulun. $z$'deki dengenin kararlı olması için gereken koşul nedir? Küçük salınımın açısal frekansı $\omega$ nedir? Cevaplarınızı $T,\Gamma, g, \mu_{\text{air}}$ ve $c_p$ cinsinden ifade edin.

Part D. Nem

Su atmosferin küçük bir kısmını oluşturmasına rağmen, iklim biliminde önemli bir role sahiptir. Yağışlardan sorumludur ve en önemli sera gazıdır. Suyun fazı, su sisteminin hangi sıcaklık ve basınçta olduğuna bağlıdır ve bu bir $p-T$ faz diyagramında gösterilir, bkz. Şekil D.1. Basınç ve sıcaklık birlikte var olma eğrisi üzerinde olduğunda, sistemde hem sıvı hem de buhar haldeki su bulunabilir. Birlikte var olma eğrisinin (coexistence curve) eğimi, Clausius-Clapeyron denklemiyle verilir:

$$\frac{dp_s}{dT}=\frac{\Delta S}{\Delta V}$$

burada $p_s$ doyma basıncı, faz geçişindeki basınçtır, $\Delta S$ ve $\Delta V$ sırasıyla faz geçişleri boyunca entropi ve hacimdeki değişimlerdir. Su buharını ideal gaz olarak ele alın.

D1  ^0.50 Suyun sıvı ve buharının aynı anda bulunduğu eğri (coexistence curve) için $dp_{s}/dT$'yi suyun buharlaşma ısısı $L, \mu_{\text{H}_2\text{O}}, p_{s}, T$ ve temel sabitler cinsinden ifade edin.

D2  ^0.20 Bir referans sıcaklığı $p_s=p_{so}$ için $p_s=p_{so}$ ise, $p_s(T)$'yi $p_{so},\mu_{\text{H}_2\text{O}},L,T,T_o$ ve temel sabitler cinsinden bir ifade bulun.

Şimdi, $T_i$ sıcaklığından başlayarak adiyabatik olarak yükselen bir 'nemli' hava kütlesini düşünüyoruz. Su buharı kütle karışım oranı (su buharı kütlesinin toplam kütleye oranı)

D3  ^2.00 Hava kütlesinin $T_i=17.0 ^\circ C$ ve $p_i=10^5 \text{ Pa}$'dan başladığını varsayalım. Eğer $\phi=10^{-2}$ ise, içinde sıvı su oluşmaya başladığı sıcaklık $T_l$'yi bulun. Hava kütlesindeki su içeriğinin yükselme sırasında sabit kaldığını varsayın. $L= 2460\text{ kJ/kg}$ ve $T_i=17.0^{\circ}C$'de $p_{so}=1.94\times10^3\text{ Pa}$ kullanın.

Part E. Güneş Halesi

Uygun atmosferik koşullar altında, Güneş'in etrafında parlak bir halka görünür, buna hale denir. Haleler, üst troposferde bulunan buz kristalleri tarafından oluşturulur. Haleler hakkında ilginç bir özellik, bunların her zaman Güneş'in yönüne göre belirli bir açıda görünmesidir.

E1  ^0.80 Tepe açısı $\varphi$ olan basit bir prizma düşünün ve bir ışık ışınını $\alpha$ geliş açısıyla üzerine yönlendirin, Şekil E.1'de gösterildiği gibi. Prizmanın kırılma indisi n olsun. Prizmadan geçtikten sonra ışık ışınının sapma açısı $\delta$'yı geliş açısı $\alpha$'nın bir fonksiyonu olarak ifade edin.

En yaygın hale türü, küçük buz kristallerinin düzenli altıgen prizmalar şeklini aldığında oluşur. Güneş'ten gelen ışık, atmosferde sürüklenen rastgele yönlendirilmiş buz kristallerine düşer ve çeşitli yönlere saçılır. Ancak, belirli bazı yönlerde, kırılan ışığın yoğunluğu maksimum olur ve bu, parlak halkanın göründüğü açıyı belirler.

Altı katlı simetri ekseni Güneş ışınlarının yönüne dik olan altıgen bir buz prizması düşünün. Şekil E.2'de gösterilen prizmanın iki dikdörtgen yüzeyinden kırılan bir ışık ışınını inceleyin. Buz kristallerinin rastgele yönelimi nedeniyle, ışık kristal yüzeylerine çeşitli geliş açılarında $\alpha$ çarpar.

E2  ^0.60 Cevap kağıdında, incelenen ışık ışınının sapma açısı $\delta$'nın $[20^\circ,70^\circ]$ aralığında $5^\circ$ artışlarla geliş açısı $\alpha$'ya nasıl bağlı olduğunu çizin. Buzun kırılma indisi n=1.31'dir.

E3  ^0.20 Önceki bölümdeki grafiği kullanarak, halenin Güneş'in yönüne göre hangi açıda en parlak göründüğünü belirleyin.