Yer atmosferasi murakkab fizik sistema bo'lib, uning o'zini qanday tutishini bashorat qilish meteorologik va atrof - muhit uchun juda muhim hisoblanadi. Biroq, zamonaviy kompyuterlarda ishlab chiqilgan eng yaxshi nazariy modellar ham aniq bashoratlarni amalga oshirishda samarasiz hisoblanadi. Ushbu masalada biz sodda modellarga asoslangan ba'zi oddiy atmosfera tushunchalarini tushunishga harakat qilamiz. Sizga bu ishda quyidagi doimiylar kerak bo'lishi mumkin:

Yerning birlik yuzasiga kelib tushayotgan quyosh nurlanishining quvvati, $F_s=1370\text{ W/m}^2$,

suvning molyar massasi $\mu_{\text{H}_2\text{O}}\approx18\text{ g/mol}$,

havoning o'rtacha molyar massasi $\mu_{\text{air}}\approx29\text{ g/mol}$,

Stefan - Bolsman doimiysi $\sigma=5.67\times10^{-8} \text{ W}/(\text{m}^2 \text{K}^4)$.

Bu masaladagi barcha gazlarni ideal deb qarash mumkin. Barcha molekulalarning erkinlik darjasini 5 ga teng deb oling.

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2/2} \;dx = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}, \hspace{4mm} a> 0.$$

A qism. Yerning temperaturasi (1.2 ball)

Bu qismda Yer yuzasining temperaturasiga atmosferaning ta'sirini o'rganamiz. Yer va uning atmosferasi quyosh nurlari uchun qaytarish koeffisiyenti $a=0.3$ ga teng (tushayotgan nurlarning qancha qismi qaytganligini bildiradi.) Siz bu qiymatni masalaning barcha qismlarida ishlatishingiz mumkin. Qo'shimcha ravishda, Yer qora jism kabi nurlanadi deb tasavvur qiling.

A1  ^0.20 Yer tomonidan qabul qilinadigan to'liq quyosh quvvatining qiymati $P_0$ ni $F_s,a$ va yer radiusi $R_E$ lar orqali ifodalang.

A2  ^0.30 Yer yuzasining temperaturasi $T_{g0}$ ni u muvozanat holatida deb tasavvur qilgan holda toping. Atmosferani hisobga olmang.

Sizning A.2 shartda olgan qiymatingiz siz kutgan qiymatdan kichik bo'lishi kerak. Biz endi temperaturasi $T_a$ bo'lgan yupqa atmosfera qatlamini inobatga olib qarab chiqamiz (A.1 - rasmga qarang.) Atmosfera qatlami Quyoshdan tushayotgan nurlanishning $t_{\text{sw}}$deb ataladigan sof ulushini, Yerning issiqlik nurlanishining esa $t_{\text{lw}}$sof ulushini o‘tkazadi. Boshqa hollarda, atmosferani qora jism sifatida ko‘rib chiqishingiz mumkin.

A3  ^0.70 Sistema muvozanat holatida deb tasavvur qilib yer yuzasining harorati $T_g$ ni hisoblang. $t_{\text{sw}}=0.9$ va $t_{\text{lw}}=0.2$ deb oling.

B qism. Atmosfera gazlarining yutilish spektri (1.8 ball)

Yer tomonidan chiqarilgan infraqizil nurlanish past energiyaga ega, molekulalar ichidagi elektronlarni qo'zg'atishga qodir emas, lekin u molekulalarning tebranish va aylanish rejimlarini qo'zg'atish xususiyatiga ega.

B1  ^0.50 $k$ bikrlikdagi prujina yordamida o'zaro bog'langan ikkita $m_A$va $m_B$ nuqtaviy massa sifatida modellashtiriladigan oddiy ikki atomli molekulani ko'rib chiqamiz. Tebranishlarning $\omega_d$ siklik chastotasi nimaga teng?

B2  ^0.20 Kvant mexanikasiga ko'ra, fotonni yutish sababli paydo bo'luvchi tebranma harakatga mos keladigan uyg'ongan holatlari faqat 1 ta sathga ortishi mumkin. B.1 savoldagi tebranishlarni qo'zg'atishi mumkin bolgan fotonning $E_p$energiyasi nimaga teng? Urilib qaytish effektlarini e'tiborga olmang.

Kvant mexanikasiga ko'ra simmetrik ikki atomli molekulalar, masalan, azot va kislorod (Yer atmosferasidagi eng ko'p gazlar) tebranishi yorug'lik bilan qo'zg'atilishini taqiqlaydi. Bu nima uchun $\text{N}_2$ va $\text{O}_2$ gazlari issiqxona effektiga hissa qo'shmasligi sababini tushuntiradi. Umuman olganda, yorug'likning molekulalar tomonidan yutilishi ulardagi ruxsat etilgan energiya o'tishlari bilan boshqariladi. Biroq, yutilgan yorug'lik energiyasi molekuladagi energiyalar oralig'iga to'liq mos kelishi shart emas. Faraz qilaylik, tinch holatda bo'lgan molekulada $f_0$ chastotada spektral chiziq (ruxsat etilgan o'tish) mavjud .

B3  ^0.20 Agar molekula nurlanish manbasiga yo'nalgan $v$ tezlik bilan harakatlansa ($|v|\ll c$, bunda $c$ - yorug'lik tezligi) spektral chiziqning $f-f_0$ siljishi nimaga teng?

$T$ temperaturali gaz molekulalari tezligi Maksvell taqsimotiga bo'ysunadi. $m$ massali molekula uchun bir o'lchamda molekula tezligini $v$ va $v+dv$ oralig'ida topish ehtimolligi $p_1(v)dv$ ga teng, bu yerda $p_1(v)$ quyidagicha berilgan ehtimollik taqsimot funksiyasi:

$$p_1(v)=C \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)$$

$C$- normirovka koeffisiyenti bo'lib, to'liq ehtimollik birga teng bo'lishini ta'minlaydi, $k_B$ - Boltsman doimiysi.

B4  ^0.20 $v$ tezlik $-\infty$ dan $\infty$ gacha o'zgarishi mumkindeb faraz qilib, normirovka koeffisiyenti $C$ ni toping.

B5  ^0.30 Spektral chizig‘i $f_0$ bo‘lgan molekulaning issiqlik harakati tufayli chastotasi $f$ ga siljigan bo‘lish ehtimolligi taqsimot funksiyasi $p_2(f)$ ni normirovka koeffitsientigacha aniqligida hisoblang; bu taqsimotni $f,f_0,T,m$ va fundamental konstantalar orqali ifodalang.

B6  ^0.40 $f-f_0$ ning funksiyasi sifatida $p_2(f)$ ning grafigini chizing. $p_2(f^{\star})$ qiymati o‘zining maksimal qiymatining 1/

Atmosferadagi havoning stabilligi

Yer sirtida $z$ balanglikdagi kichik silindr shaklidagi havo massasini qarab chiqamiz. Bu balandlikda havoning bosimi va zichligi mos ravishda $p(z)$ va $\rho(z)$ ga teng (C.1 -rasmga qarang). Yer sirtidagi havo bosimi $p_o$ va erkin tushish tezlanishi $g$ deb oling.

C1  ^0.30 Tanlangan kichik havo bo'lagini gidrostatik muvozanatda deb olib, bosimning balandlikka bog'liq ravishda o'zgarishi $dp/dz$ ni $g$ va $\rho(z)$ orqali ifodasini toping.

C2  ^0.20 Endi $dp/dz$ ni $\mu_{\text{air}},g, p(z)$ va $T(z)$ va boshqa fundamental doimiylar orqali ifodalang.

C3  ^0.20 Atmosferani izotermik $T(z)=T$ deb hisoblab, $p(z)$ ni $z,\mu_{\text{air}},g,p_o,T$ va fundamental doimiylar orqali ifodalang.

Real atmosferada temperatura doimiy bo'lmaydi, u balandlik o'zgarganda o'zgaradi. Temperaturaning balandlik bo'yicha kamayish tezligi $\Gamma(z) = -dT/dz$ temperatura gradienti deb ataymiz. Adiabatik ravishda ko'tarilayotgan va atrof bilan mexanik muvozanatda bo'lgan havo massasini ko'rib chiqamiz.

C4  ^0.60 Adiabatik ravishda ko'tarilayotgan havo massasi uchun temperatura gradienti $\Gamma_a$ ni doimiy bosimdagi issiqlik sig'imi $c_p$, havoning molyar massasi $\mu_{\text{air}}$ va $g$ orqali ifodalang.

Atmosferaning turg'unligini tahlil qilish uchun biz avval muvozanat holatidan boshlaymiz, so‘ngra kichik bir havo massasini ozgina qo'zg'atib, uning qanday javob berishini o‘rganamiz. Faraz qilaylik, balandligi z da va harorati T bo‘lgan kichik bir havo massasi atrofdagi havo bilan muvozanatda bo'lsin. U keyin adiabatik tarzda vertikal bo'ylab δz₀ qiymatga siljisin. Butun harakat davomida, ushbu havo massasi har doim o‘sha balandlik havo bilan bir xil bosimga ega bo‘ladi, deb faraz qilinadi. Atrofdagi atmosfera o‘zgarmaydi lekin siljigan balandlikda Γ deb ataluvchi boshqa bir temperatura gradientiga ega. Masalada qovushqoqlikni hosbga olmang.

C5  ^1.40 Oniy vertikal siljish $\delta z$ uchun harakat tenglamasini toping. Qanday shartlar uchun $z$ balanglikda muvozanat turg'un bo'ladi? Kichik tebranishlar chastotasi $\omega$ ni toping. Javobingizni $T,\Gamma, g, \mu_{\text{air}}$ va $c_p$ orqali ifodalang.

D qism. Namlik (2.7 ball)

Suv bug'i atmosferaning kichik qismini tashkil etsa ham, u iqlimshunoslikda muhim rol o'ynaydi. U yog'ingarchilik uchun javobgardir va u eng muhim issiqxona effekti gazidir.
Suvning fazasi suv tizimi qaysi harorat va bosimda joylashganiga bog‘liq bo‘ladi; bu holat $p-T$ faza diagrammasida tasvirlanadi (D.1-rasmga qarang). Agar bosim va harorat mos ravishda birga mavjudlik egri chizig‘ida yotsa, tizimda suyuq va bug‘ holatidagi suv bir vaqtda mavjud bo‘lishi mumkin. Ushbu birga mavjudlik egri chizig‘ining og‘ish burchagi (yo‘nalishi) Clausius–Clapeyron tenglamasi bilan aniqlanadi:

$$\frac{dp_s}{dT}=\frac{\Delta S}{\Delta V}$$

bu yerda $p_s$ to'yinish bosimi - faza o'tishidagi bosim, $\Delta S$ va $\Delta V$ fazaviy oʻtishlar boʻyicha mos ravishda entropiya va hajmdagi oʻzgarishlardir. Suv bug'ini ideal gaz deb hisoblang.

D1  ^0.50 Suyuqlik-bug‘ning birga mavjudlik egri chizig‘i uchun $dp_s/dT$ifodasini bug‘lanishning yashirin issiqligi

D2  ^0.20 Agar qandaydir ma'lumot (nazorat) harorati

Endi biz adiabatik ravishda ko‘tarilayotgan “nam” havo massasini ko‘rib chiqamiz, u boshlang‘ich harorat

D3  ^2.00 Faraz qilaylik, dastlab havo massasi uchun $T_i=17.0 ^\circ \text{C}$ va $p_i=10^5 \text{ Pa}$ bo'lsin. Agar $\phi=10^{-2}$ bo‘lsa, unda suyuq suv hosil bo‘la boshlaydigan harorat $T_l$ ni toping. Havo massasidagi suv miqdori ko‘tarilish davomida o‘zgarmaydi deb faraz qiling. Hisoblashlar uchun quyidagilarni oling: $L= 2460\text{ kJ/kg}$va $p_{so}=1.94\times10^3\text{ Pa}$, bu qiymat $T_i=17.0^{\circ}\text{C}$ dagi to‘yingan bug‘ bosimi.

E qism. Quyosh halosi (1.6 ball)

Tegishli atmosfera sharoitida Quyosh atrofida yorqin halqa paydo bo‘ladi, bu hodisa halo deb ataladi. Halolar troposferaning yuqori qatlamida joylashgan muz kristallari tufayli yuzaga keladi. Halolarning qiziqarli xususiyatlaridan biri shundaki, ular har doim Quyosh yo‘nalishiga nisbatan ma’lum bir burchak ostida hosil bo‘ladi.

E1  ^0.80 Tepalik burchagi $\varphi$ bo‘lgan oddiy prizmani ko‘rib chiqing va yorug‘lik nurini unga ma’lum tushish burchagi ostida yo‘naltiring (E.1-rasmga qarang). Prizmaning sindirish ko‘rsatkichi n bo‘lsin. Yorug‘lik nuri prizmadan o‘tgach, uning og‘ish burchagini tushish va chiqish burchaklari hamda prizma burchagi orqali ifodalang.

Haloning eng keng tarqalgan turi mayda muz kristallari muntazam olti burchakli prizma shaklini olganida hosil bo'ladi. Quyoshdan keladigan yorug'lik atmosferada suzuvchi tasodifiy yo'nalgan muz kristallariga tushadi va turli yo'nalishlarga tarqaladi. Biroq, muayyan o'ziga xos yo'nalishlarda, singan yorug'likning intensivligi maksimal bo'ladi va bu yorqin halqa paydo bo'ladigan burchakni aniqlaydi.

Olti qirrali simmetriya o'qi Quyosh nurlari yo'nalishiga perpendikulyar bo'lgan olti burchakli muz prizmasini ko'rib chiqaylik. E.2-rasmda ko'rsatilgan prizmaning ikkita to'rtburchak yuzi orqali sinadigan yorug'lik nurini o'rganing. Muz kristallarining tasodifiy yo'nalishi tufayli yorug'lik kristall sirtlariga turli $\alpha$ burchaklarda tushadi.

E2  ^0.60 Javoblar varag'ida og'ish burchagi $\delta$ tekshirilayotgan yorug'lik nurining tushish burchagiga qanday bog'liqligini $[20^\circ,70^\circ]$ interval ichida $5^\circ$ oraliq bilan chizing. Muzning sindirish ko'rsatkichi n =1,31 ga teng.

E3  ^0.20 Oldingi qismdagi grafikdan foydalanib, halo Quyosh yo'nalishiga nisbatan qaysi burchakda eng yorqin ko'rinishini aniqlang.