Bầu khí quyển của Trái Đất là một hệ vật lý phức tạp và việc dự đoán sự biến đổi của nó là rất quan trọng đối với các môn khoa học về môi trường và khí tượng. Tuy nhiên, ngay cả những mô hình lý thuyết tốt nhất chạy trên các máy tính hiện đại cũng không đủ để đưa ra những dự đoán chính xác. Trong bài toán này, chúng ta sẽ cố gắng hiểu một số hiện tượng cơ bản về bầu khí quyển dựa trên các mô hình đơn giản. Em có thể cần sử dụng các hằng số sau: công suất bức xạ Mặt Trời trung bình trên một đơn vị diện tích vuông góc với tia sáng tại vị trí Trái Đất là $F_s=1370\text{ W/m}^2$, khối lượng mol của nước $\mu_{\text{H}_2\text{O}}\approx18\text{ g/mol}$ và khối lượng mol trung bình của không khí $\mu_{\text{air}}\approx29\text{ g/mol}$. Hằng số Stefan-Boltzmann constant $\sigma=5.67\times10^{-8} \text{ W}/(\text{m}^2 \text{K}^4)$. Tất cả các chất khí trong bài toán này có thể được xem là khí lý tưởng. Giả sử rằng tất cả các phân tử không khí đều có $5$ bậc tự do. Em có thể sử dụng tích phân sau:
$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2/2} \;dx = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}, \hspace{4mm} a> 0.$$
Trong phần này, chúng ta đi nghiên cứu tác động của khí quyển lên nhiệt độ bề mặt Trái Đất. Giả sử rằng Trái Đất và khí quyển của nó có hệ số phản xạ $a=0.3$, đây là tỉ phần bức xạ bị phản xạ lại so với tổng bức xạ Mặt Trời chiếu tới. Em có thể sử dụng giá trị này cho tất cả các phần của bài toán này. Ngoài ra, ta coi rằng Trái Đất phát xạ như một vật đen tuyệt đối.
Bỏ qua khí quyển.
Kết quả em tìm được trong câu A.2 sẽ thấp hơn giá trị thực tế mà em mong đợi. Bây giờ chúng ta hãy xét đến việc thêm một lớp khí quyển mỏng có nhiệt độ $T_a$, xem Hình A.1. Lớp khí quyển cho phép truyền qua tổng cộng $t_{\text{sw}}$ phần của bức xạ Mặt Trời chiếu tới và truyền qua tổng cộng $t_{\text{lw}}$ phần của bức xạ nhiệt từ Trái Đất. Ngoài ra đối với phần năng lượng còn lại, khí quyển thể hiện như một vật đen tuyệt đối.
Bức xạ hồng ngoại do Trái Đất phát ra có năng lượng thấp, không có khả năng kích thích các electron bên trong phân tử, nhưng nó có khả năng kích thích các mode dao động và quay của phân tử.
Cơ học lượng tử cấm các mode dao động của các phân tử lưỡng nguyên tử đối xứng, chẳng hạn như nitơ và oxy (các loại khí phổ biến nhất trong bầu khí quyển của Trái Đất) không thể bị kích thích bởi ánh sáng. Điều này giải thích tại sao $\text{N}_2$ và $\text{O}_2$ không góp phần vào hiệu ứng nhà kính. Nói chung, việc hấp thụ ánh sáng bởi các phân tử được điều khiển bởi các chuyển tiếp năng lượng được phép trong phân tử đó. Tuy nhiên, năng lượng của ánh sáng được hấp thụ không nhất thiết phải khớp chính xác với mức năng lượng chuyển tiếp trong phân tử. Giả sử rằng một phân tử đứng yên có một vạch quang phổ (chuyển tiếp năng lượng được phép) ở tần số $f_o$.
Đối với một chất khí ở nhiệt độ $T$, vận tốc của các phân tử khí được phân bố theo phân bố Maxwell. Đối với một phân tử có khối lượng $m$, xác suất để vận tốc của phân tử dọc theo một chiều (1D) nằm trong khoảng từ $v$ đến $v+dv$ được cho bởi $p_1(v)dv$, trong đó, $p_1(v)$ là hàm phân bố xác suất được cho bởi:
$$p_1(v)=C \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)$$
$C$ là hằng số chuẩn hóa đảm bảo tổng xác suất bằng một, và $k_B$ là hằng số Boltzmann.
Xét một khối không khí dạng hình trụ nhỏ ở độ cao $z$ so với mặt đất. Áp suất và khối lượng riêng của không khí ở độ cao đó lần lượt là $p(z)$ và $\rho(z)$, xem Hình C.1. Giả sử trường hấp dẫn hướng xuống dưới có $g$ không đổi và áp suất trên bề mặt Trái Đất là $p_o$.
Trong thực tế, nhiệt độ bầu khí quyển không phải là hằng số mà thay đổi theo độ cao. Tốc độ giảm của nhiệt độ theo độ cao $\Gamma(z) = -dT/dz$ được gọi là tốc độ giảm nhiệt (lapse rate). Hãy xét một khối khí nhỏ di chuyển lên cao (nổi lên) một cách đoạn nhiệt (adiabatic) trong khí quyển, và luôn giữ trạng thái cân bằng cơ học với môi trường xung quanh.
Để phân tích tính ổn định của khí quyển, chúng ta tưởng tượng bắt đầu từ trạng thái cân bằng, sau đó làm nhiễu loạn một khối không khí nhỏ và phân tích phản ứng của nó. Hãy xem xét một khối không khí nhỏ ban đầu ở trạng thái cân bằng với không khí xung quanh ở độ cao $z$ và nhiệt độ $T$. Sau đó nó được dịch chuyển theo phương thẳng đứng đi một đoạn $\delta z_0$ một cách đoạn nhiệt. Giả sử rằng trong suốt quá trình chuyển động, khối không khí luôn có cùng áp suất với không khí xung quanh ở cùng độ cao. Bầu khí quyển xung quanh không bị ảnh hưởng và có tốc độ giảm nhiệt độ $\Gamma$ khác khối khí. Bỏ qua độ nhớt.
Mặc dù nước chỉ chiếm một phần nhỏ trong khí quyển, nhưng nó có vai trò quan trọng trong khoa học khí hậu. Nước ảnh hưởng đến lượng mưa và là khí nhà kính quan trọng nhất. Trạng thái (pha) của nước phụ thuộc vào nhiệt độ và áp suất mà hệ nước đang tồn tại, được biểu diễn trên biểu đồ pha áp suất – nhiệt độ $p-T$, xem Hình D.1. Khi áp suất và nhiệt độ nằm trên đường cong chuyển pha, thì nước dạng lỏng và hơi có thể cùng tồn tại trong hệ. Độ dốc của đường cong chuyển pha được cho bởi phương trình Clausius–Clapeyron:
$$\frac{dp_s}{dT}=\frac{\Delta S}{\Delta V}$$
trong đó $p_s$ là áp suất bão hòa, tức là áp suất tại thời điểm chuyển pha, $\Delta S$ và $\Delta V$ lần lượt là độ thay đổi entropy và thể tích khi xảy ra quá trình chuyển pha. Coi hơi nước là khí lý tưởng.
Bây giờ chúng ta xem xét một khối không khí 'ẩm' nổi lên đoạn nhiệt bắt đầu từ nhiệt độ ban đầu $T_i$. Tỷ lệ trộn theo khối lượng của hơi nước (nghĩa là: khối lượng hơi nước trên tổng khối lượng khối khí) là $\phi$. Khối khí có nhiệt dung mol đẳng áp $c_p$. Hằng số khí lý tưởng là $R=8.31 \text{ J}/(\text{mol} \text{ K})$.
Trong điều kiện khí quyển thích hợp, một vòng sáng xuất hiện xung quanh Mặt Trời được gọi là quầng sáng (halo). Quầng sáng được tạo ra bởi các tinh thể băng có trong tầng đối lưu trên. Một đặc điểm thú vị về quầng sáng là chúng luôn xuất hiện ở một góc cụ thể so với hướng Mặt trời.
Loại quầng sáng phổ biến nhất được hình thành khi các tinh thể băng nhỏ có hình dạng lăng trụ lục giác đều. Ánh sáng từ Mặt Trời chiếu vào các tinh thể băng định hướng ngẫu nhiên trôi nổi trong khí quyển và bị tán xạ theo nhiều hướng khác nhau. Tuy nhiên, ở một số hướng cụ thể, cường độ ánh sáng khúc xạ đạt cực đại, và chính những hướng này xác định góc xuất hiện của quầng sáng (halo) mà ta quan sát được.
Xét một lăng trụ băng lục giác (hexagonal ice prism) có trục đối xứng bậc sáu vuông góc với hướng tia sáng Mặt Trời. Hãy nghiên cứu một tia sáng khúc xạ qua hai mặt bên hình chữ nhật của lăng kính, như được minh họa trong Hình E.2. Do các tinh thể băng có định hướng ngẫu nhiên, tia sáng sẽ chiếu tới các mặt tinh thể với nhiều góc tới khác nhau $\alpha$.