지구의 대기는 복잡한 물리계이며, 그 거동을 예측하는 것은 환경 및 기상 목적상 매우 중요합니다. 그러나 현대 컴퓨터로 구동되는 가장 정교한 이론 모델 조차도 정확한 예측을 하기에는 불충분합니다. 이 문제에서는 간단한 모델을 기반으로 기본적인 대기 현상들을 이해하려고 합니다. 문제를 풀 때 다음 상수들이 필요할 수 있습니다: 지구에 도달하는 단위면적당 평균 태양 복사 세기 $F_s=1370\text{ W/m}^2$, 물의 몰 질량 $\mu_{\text{H}_2\text{O}}\approx18\text{ g/mol}$, 공기의 평균 몰 질량 $\mu_{\text{air}}\approx29\text{ g/mol}$, 스테만-볼츠만 상수 $\sigma=5.67\times10^{-8} \text{ W}/(\text{m}^2 \text{K}^4)$. 이 문제에서 다루는 모든 기체는 이상기체로 취급합니다. 또한, 모든 공기 분자는 자유도가 $5$라고 가정합니다. 필요한 경우 아래 적분식을 이용하십시오.
$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2/2} \;dx = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}, \hspace{4mm} a> 0$$
이 파트에서는 대기가 지표면 온도에 미치는 영향을 살펴봅니다. 지구와 그 대기는 태양 복사에 대해 알베도 $a=0.3$ 을 가진다고 가정합니다. 여기에서 알베도는 입사한 전체 복사 에너지 중 반사되는 비율을 의미합니다. 이 문제의 모든 부분에서 이 값을 사용할 수 있습니다. 또한, 지구는 흑체처럼 복사한다고 가정합니다.
A.2의 답이 일반적으로 예상한 값 보다 낮다는 것을 알았을 겁니다. 이제 온도 $T_a$ 의 얇은 대기층을 추가해서 고려해 봅시다 ( 그림 A.1 참조). 대기층은 입사되는 태양 복사의 일부를 $t_{\text{sw}}$ 의 비율로 투과시키고, 지구의 열 복사를 $t_{\text{lw}}$의 비율로 투과시킵니다. 이 외에는 대기를 흑체로 간주할 수 있습니다.
지구에서 방출되는 적외선은 에너지가 낮아 분자 내의 전자를 여기시킬 수 없지만, 분자의 진동 및 회전 모드를 여기시킬 수 있습니다.
질소나 산소(지구 대기 중에 가장 풍부한 기체)와 같은 대칭적인 이원자 분자의 진동 모드가 빛에 의해 여기되는 것은 양자역학적으로 불가능합니다. 이는 $\text{N}_2$ 및 $\text{O}_2$가 온실 효과에 기여하지 않는 이유를 설명합니다. 일반적으로 분자에 의한 빛의 흡수는 분자 내에서 허용되는 에너지 전이에 의해 결정됩니다. 그러나 흡수된 빛의 에너지가 분자의 에너지 준위들의 에너지 차이 값과 정확히 일치할 필요는 없습니다. 정지 상태의 분자가 주파수 $f_o$ 에서 스펙트럼 선(허용된 전이)을 갖는다고 가정합니다.
온도가 $T$ 인 기체의 경우 분자의 속도는 맥스웰 분포에 따라 분포합니다. 질량이 $m$ 인 분자의 경우 한 방향에 대한 분자의 속도가 $v$ 과 $v+dv$ 사이에 있을 확률은 $p_1(v)dv$ 이며, 여기서 $p_1(v)$ 은 다음의 확률 분포 함수로 주어집니다.
$$p_1(v)=C \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)$$
$C$ 는 확률이 1이 되도록 하는 정규화 상수이고, $k_B$는 볼츠만 상수입니다.
지면으로부터 $z$ 높이에 있는 작은 원통형 공기 덩어리를 생각해 봅시다. 이 높이에서 공기의 압력 $p(z)$이고 질량 밀도는 $\rho(z)$ 입니다( 그림 C.1 참조). 중력장 $g$은 아래 방향으로 균일하다고 가정하고, 지표면에서 압력은 $p_o$입니다.
실제 대기에서는 온도가 일정하지 않고 높이에 따라 변합니다. 높이에 따른 온도 감소율( $\Gamma(z) = -dT/dz$ )을 기온감율이라고 합니다. 대기에서 단열 상승하는 작은 공기 덩어리가 주변과 역학적 평형을 유지하고 있는 상황을고려해 봅시다.
대기의 안정성을 분석하기 위해, 먼저 평형 상태에서 시작하여 소량의 공기 덩어리에 작은 섭동을 가한 뒤 그 반응을 분석하려고 합니다. 높이 $z$에서 주변 공기와 평형을 이루고 있고 온도 $T$를 가진 공기 덩어리를 고려합니다. 이 공기 덩어리를 단열적으로 수직 방향 $\delta z_0$ 만큼 이동시킵니다. 운동하는 동안 공기 덩어리는 같은 높이에 있는 주변 공기와 동일한 압력을 유지한다고 가정합니다. 주변 대기는 공기 덩어리의 움직임에 영향을 받지 않으며, 다른 기온감률 $\Gamma$를 가지고 있습니다. 이때, 점성은 무시합니다.
물은 비록 대기 중에서 차지하는 비율은 작지만, 기후 과학에서 매우 중요한 역할을 합니다. 물은 강수 현상의 원인이며, 가장 중요한 온실가스이기도 합니다. 물의 상(phase)은 주어진 온도와 압력에 따라 달라지는데, 이는 $p-T$ 상그림으로 나타납니다 ( 그림 D.1 참조). 온도와 압력이 기체-액체 상평형 곡선 위에 있을 경우, 시스템 내에 액체 상태의 물과 수증기 상태의 물이 공존할 수 있습니다. 이 상평형 곡선의 기울기는 다음의 클라우지우스-클라페이론 방정식으로 주어집니다:
$$\frac{dp_{s}}{dT}=\frac{\Delta S}{\Delta V}$$
여기서 $p_s$는 상전이가 발생하는 압력, 즉, 포화압력이며, $\Delta S$와 $\Delta V$는 각각 상전이 과정에서의 엔트로피 변화와 부피 변화를 의미합니다. 수증기는 이상기체로 간주합니다.
이제, 초기 온도가 $T_i$인 '습한' 공기 덩어리가 단열적으로 상승하는 경우를 고려합니다. 수증기의 질량 혼합비(전체 질량에 대한 수증기 질량의 비율)는 $\phi$ 입니다. 공기 덩어리의 등압 몰비열은 $c_p$이며, 기체 상수는 $R=8.31 \text{ J}/(\text{mol} \text{ K})$입니다.
적절한 대기 조건에서 태양 주위에 밝은 고리가 나타나며, 이를 해무리라고 합니다. 해무리는 대류권 상층에 존재하는 얼음 결정에 의해 생깁니다. 해무리 현상의 흥미로운 특징 중 하나는, 항상 태양 방향에 대해 특정한 각도에서 나타난다는 점입니다.
가장 일반적인 형태의 해무리는 미세한 얼음 결정들이 규칙적인 육각기둥 형태를 띨 때 형성됩니다. 태양에서 온 빛은 대기 중에 떠다니는 무작위로 배향된 얼음 결정에 입사하여 여러 방향으로 산란됩니다. 하지만 굴절된 빛의 세기가 특정한 방향으로 최대가 되는데, 이 방향이 밝은 고리, 해무리가 나타나는 각도를 결정합니다.
그림 E.2와 같이 육각기둥 모양의 얼음 프리즘에 태양 광선이 입사하는 경우를 고려해 보자. 기둥의 중심 축은 태양 광선 진행 방향과 수직이다. 그림 E.2에 표시된 두 개의 직사각형 면을 통해 굴절하는 빛의 경로를 조사하시오. 얼음 결정의 무작위적인 방향으로 인해, 빛은 결정 면에 다양한 입사각 $\alpha$로 입사합니다.