地球の大気は複雑な物理システムであり、その挙動を予測することは、環境学や気象学の目的において極めて重要である。しかし、現代のコンピュータ上で実行される最高の理論モデルでさえ、正確な予測を行うには不十分である。この問題では、簡単なモデルに基づいて基本的な大気現象の理解を試みる。次の定数が必要かもしれない：地球における単位面積当たりの平均太陽エネルギー強度、全太陽放射照度$F_s=1370\text{ W/m}^2$ 、水のモル質量$\mu_{\text{H}_2\text{O}}\approx18\text{ g/mol}$ 、空気の平均モル質量$\mu_{\text{air}}\approx29\text{ g/mol}$ 。この問題の気体はすべて理想気体として扱うことができる。すべての空気分子が$5$ つの自由度を持つと仮定する。次の積分が必要かもしれない。
$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2/2} \;dx = \sqrt{\frac{2\pi}{a}}, \hspace{4mm} a> 0.$$
このセクションでは、大気が地表の温度に与える影響を調べる。地球とその大気のアルベド、全入射日射の反射率は$a=0.3$ であると仮定する。この値をこの問題のすべてのパートで使用してもよい。さらに、地球は黒体として放射すると仮定する。
A.2の答えは、予想よりも低くなるはずである。次に、図A.1のように、温度$T_a$ の薄い大気層を追加することを考える。この大気層は、入射太陽放射の一部（割合$t_{\text{sw}}$ ）と地球の熱放射の一部（割合$t_{\text{lw}}$）を透過する。それ以外では、大気を黒体として扱ってよい。
地球が放射する赤外線はエネルギーが低く、分子内の電子を励起することはできないが、分子の振動モードや回転モードを励起する能力がある。
量子力学は、窒素や酸素（地球の大気中に最も多く存在する気体）のような対称的な二原子分子の振動モードが光によって励起されることを禁じている。このことは、$\text{N}_2$ や$\text{O}_2$ が温室効果に寄与しない理由を説明している。一般に、分子による光の吸収は、分子内の許容エネルギー遷移によって支配される。しかし、吸収される光のエネルギーは、分子のエネルギーギャップと正確に一致する必要はない。静止状態の分子が、周波数$f_o$ にスペクトル線（許容遷移）を持っているとする。
温度$T$ の気体では、分子の速度はマクスウェルの分布に従う。質量$m$ の分子の場合、1次元に沿った分子の速度が$v$ と$v+dv$ の間にある確率は$p(v)dv$ で、$p(v)$ は次式で与えられる確率分布関数である。
$$p_1(v)=C \exp\left(-\frac{mv^2}{2k_BT}\right)$$
$C$ は確率の合計が1になることを保証する規格化定数であり、 $k_B$はボルツマン定数である。
地上から高さ$z$ にある小さな円筒形の空気の塊を考える。その高さにおける空気の圧力と質量密度はそれぞれ$p(z)$ と$\rho(z)$ である（図 C.1 参照）。一様な下方重力場$g$ があり、地表での圧力が$p_o$ であるとする。
実際の大気では、温度は一定ではなく、高さによって変化する。高さに伴う温度の減少率$\Gamma(z) = -dT/dz$ は、気温低減率と呼ばれる。大気中を断熱的に上昇する小さな空気の塊が、周囲と力学的平衡を保つとする。
大気の安定性を分析するには、平衡状態から出発して、小さな空気の塊を摂動し、その反応を分析することを想像する。最初は高さ$z$ 、温度$T$ で周囲の空気と平衡状態にある小さな空気の塊を考える。その後、断熱的に鉛直方向に変位$\delta z_0$ だけ動かす。この運動中、空気塊は常に同じ高さの周囲の空気と同じ圧力を持つと仮定する。周囲の大気は変化せず、異なる気温低減率$\Gamma$ を持つ。粘性は無視する。
大気中に占める水の割合は小さいが、水は気候科学において重要な役割を担っている。水は降水の原因であり、最も重要な温室効果ガスである。水の相は、水系がどのような温度と圧力にあるかによって決まり、図D.1（$p-T$ ）の相図に描かれている。圧力と温度が共存曲線上にあるとき、系には液体の水と水蒸気の両方が存在する。共存曲線の傾きは、クラウジウス-クラペイロンの式で与えられる：
$$\frac{dp_s}{dT}=\frac{\Delta S}{\Delta V}$$
ここで、$p_s$ は飽和圧力、相転移点の圧力、$\Delta S$ と$\Delta V$ はそれぞれ相転移に伴うエントロピーと体積の変化である。水蒸気を理想気体として扱う。
$p_s(T)$ を、$p_{so},\mu_{\text{H}_2\text{O}},L,T,T_o$ と基本定数を用いて、表せ。
ここで、温度$T_i$ から断熱的に上昇する「湿った」空気塊を考える。水蒸気の質量混合比（全質量に対する水蒸気の質量）は$\phi$ である。空気塊が定圧モル熱$c_p$ を持つとする。気体定数は、$R = 8.31 {\rm J/(mol} \ {\rm K)}$である。
適切な大気条件下では、太陽の周りに明るいリングが現れ、これはハローと呼ばれる。ハローは対流圏上層部に存在する氷の結晶によって引き起こされる。ハローの興味深い特徴の一つは、太陽の方向に対して常に特定の角度で現れることである。
最も一般的なハローは、小さな氷の結晶が正六角柱の形になることで形成される。太陽からの光は、大気中を漂うランダムな向きの氷の結晶に降り注ぎ、さまざまな方向に散乱する。しかし、ある特定の方向では屈折した光の強度が最大となり、これによって明るいリングが現れる角度が決まる。
六角形の氷のプリズムを考えよう。六角形の対称軸は、太陽の光線の方向に対して垂直とする。図E.2に示すプリズムの2つの長方形の面を屈折する光線を調べてみよう。氷の結晶の向きがランダムであるため、光はさまざまな入射角$\alpha$ で結晶面に入射する。