1. يُشار إلى المتجهات برموز غامقة (مثل r، q).
2. افترض أن الامتصاص مهمل وأن المجال الكهربائي مستقطب عموديًا على مستوى السقوط.
تنشأ أنماط حيود الأشعة السينية نتيجة تداخل العديد من «مصادر الموجات» الدقيقة داخل البلورة، ويمكننا توقع ذلك عن طريق جمع سعاتها المركبة مع الأطوار الصحيحة. لنفترض وجود موجة أحادية اللون تتميز بسعة$A\ge0$ (حقيقية) وطور $\phi$. نُعرِّف السعة$\tilde{A}$ المركبة على النحو التالي:
$$\tilde{A} = A e^{i\phi},$$
بحيث تكون السعة (الحقيقية) للموجة هي مقدار (القيمة المطلقة) لـ$\tilde{A}$ ، و$\phi$ هي طورها. وبالتالي،$\tilde{A}$ فإن تُعبِّر بشكل ملائم عن كل من المقدار والطور في عدد مركب واحد. في هذه المجموعة من المسائل، نُعرِّف شدة غير ذات أبعاد من خلال مربع مقدار السعة
المركبة الإجمالية:
$$I = |\tilde{A}|^2 = A^2.$$
يُدمج هذا التعريف عوامل التناسب التجريبية والهندسية الشائعة، مثل استجابة الكاشف، وتوحيد الحزمة الساقطة، وعوامل الانتشار الشائعة. وعلى النقيض من ذلك، تُحتفظ سعة$f_0$ تشتت الإلكترون الواحد بشكل صريح باعتبارها مقياس السعة لتشتت إلكترون من نقطة واحدة.
عندما تتعرض مادة بلورية لموجة ساقطة، تنحرف الموجة بفعل الشبكة البلورية وتتداخل الأجزاء المنحرفة مع بعضها البعض. يمكن حساب شدة الموجة المنحرفة الناتجة عن طريق جمع السعات المركبة للموجات المنحرفة الفردية، مع مراعاة فروق الطور بينها، ثم حساب مربع مقدار السعة المركبة الإجمالية الناتجة. ينشأ الانحراف في المقام الأول من التفاعلات مع الإلكترونات، وعادةً ما تكون مساهمات الجسيمات الأثقل مثل النوى ضئيلة. تعتمد سعة الموجة المنحرفة بواسطة إلكترون نقطة واحدة فقط على $R = |\mathbf{R}|$، وهي المسافة من الإلكترون إلى الكاشف. نظرًا$R $لأن أكبر بكثير من أبعاد العينة، يمكن تجاهل تباينها عبر العينة. لذلك، يمكن تحديد الموجة المنحرفة الإجمالية بدقة من خلال حساب الاختلافات في الطور بين الموجات المنحرفة الفردية بشكل صحيح، بينما يُفترض أن سعاتها ثابتة.
لنفترض$\mathbf{k}_i$أن و$\mathbf{k}_f$ يمثلان متجهي الموجة الساقطة والموجة المنحرفة، على التوالي. تنحرف موجة مستوية ساقطة ذات متجه$\mathbf{k}_i$ موجة إلى موجة ذات متجه موجة $\mathbf{k}_f$. ويُعرَّف انتقالالزخم بأنه
$$q = k_f - k_i$$
ويُفترض أن قيمها متساوية، لأن الطول الموجي لم يتغير:
$$k ≡ |k_i| = |k_f| = 2π/λ$$
لنفترض وجود إلكترونين نقطيين يقعان عند الموضعين$\mathbf{r}_1$ و $\mathbf{r}_2$، ونُعرِّف $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$. ويوجد كاشف عند الموضع $\mathbf{P}$، ونُعرِّف $\mathbf{R}\equiv \mathbf{P}-\mathbf{r}_1$. تسقط موجة$E_i(\mathbf{r})\propto e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}}$ مستوية على الإلكترونين، ويُلاحظ الموجة المنحرفة في المجال البعيد على طول الاتجاه $\mathbf{k}_f$. في الجزء (أ)، يتم تجاهل العامل$e^{-i\omega t}$ المشترك المتغير زمنياً ، حيث إن المراحل المكانية النسبية هي وحدها ذات الصلة.
لأنه لا يؤثر على الشدة. افترض أن السعة الحقيقية للموجة المنحرفة الصادرة عن إلكترون نقطة واحدة هي ثابت $f_0$، لا يتوقف على الموضع.
لنفترض وجود إلكترونين نقطيين يقعان عند الموضعين$\mathbf{r}_1$ و $\mathbf{r}_2$، حيث $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$. يضيء حزمة ذات طول موجي$\lambda_0$ (بحيث$k=2\pi/\lambda_0$ و $\omega=2\pi c/\lambda_0$) الإلكترونين، ويتم رصد الموجة المنحرفة في المجال البعيد على طول $\mathbf{k}_f$. ونقوم بنمذجة المجال الساقط على أنه موجة مستوية ذات طور عشوائي يتغير مع الزمن،
$$E_i(\mathbf{r},t)=A\,\exp\!\left[i\left(\mathbf{k}_i\!\cdot\!\mathbf{r}-\omega t+\phi(t)\right)\right],$$
حيث$\phi(t)$ هي دالة ثابتة على أجزاء، وتخضع لقفزات عشوائية في الطور على فترات زمنية منتظمة مدتها
$$t_0 ≈ \frac{L_0}{c},$$
$t_0$مع$L_0$طول التماسك الطولي (المحدد). في بداية كل فترة طولها $t_0$،$\phi(t)$تُعاد تعيين إلى قيمة جديدة مستقلة موزعة توزيعًا منتظمًا على $[0,2\pi)$. لنفترض أن$I_0$ تشير إلى الشدة (المتوسطة زمنيًا) عند الكاشف التي يمكن الحصول عليها من إلكترون واحد في نفس التكوين الهندسي. في هذه المسألة، يُفترض أن الكاشف يقيس شدة متوسطة زمنياً. أي أنه لا يحلل القفزات العشوائية الفردية للطور. بدلاً من ذلك، يسجل متوسط الشدة اللحظية على مدى زمني أطول بكثير من فترة قفزة الطور : $\langle I\rangle_t \equiv \left\langle |E(t)|^2 \right\rangle_t .$ هنا$\langle \cdots \rangle_t$ تشير إلى متوسط على مدى العديد من فترات قفزات الطور.
غالبًا ما يُعامل الإلكترون كجسيم نقطي كلاسيكي، ولكن في نموذج أكثر واقعية، يمكن اعتبار شحنته موزعة على منطقة مكانية محدودة. لنفترض توزيعين مثاليين للشحنة: (1) شحنة نقطية مثالية تقع عند $\mathbf r=0$، وسعة تشتتها هي $A_1(\mathbf q)=Q_0$، (2) توزيع غاوسي ممتد للشحنة $\rho_2(\mathbf r)=\rho_0\exp\!\left(-\frac{r^2}{R_0^2}\right), \qquad r=|\mathbf r|$.
يتم اختيار الثابتين$Q_0$ و$\rho_0$ بحيث تكون الشحنة الكلية هي نفسها في كلتا الحالتين:
$$Q_0= \int \rho_2(\mathbf{r})\,d^3r.$$
يشير هنا$d^3 r$إلى عنصر الحجم في الفضاء الثلاثي الأبعاد. وفي الإحداثيات الديكارتية،$d^3r=dxdydz$ يُقصد بـ و$\int_{\mathbb R^3}$ التكامل على كامل الفضاء. متطابقات مفيدة (يمكن استخدامها دون إثبات):
$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/R_0^{2}}\,4\pi r^{2}\,dr=\pi^{3/2}R_0^{3}, \int_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\, d^3\mathbf r = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{k^2}{4\alpha}\right), \qquad \alpha>0.$$
$$A_2(\mathbf q) ≡ ∫_{R^3} \rho_2(\mathbf r) e^{i\mathbf q \cdot \mathbf r} d^3\mathbf r$$
$A_1(\mathbf q)=Q_0$ومقارنتها بسعة الشحنة النقطية.
الجزء د: الحيود من طبقة ذات بنية سطحية غير مستوية (Diffraction from a film with non-flat surface morpholog)
تخيل أن سطح طبقة رقيقة (أي الطبقات الذرية العليا) ليس مستوياً تماماً، بل يتسم بخشونة سطحية. من النماذج الشائعة افتراض أن سمك الطبقة المحلي (المقاس بالطبقة الأحادية) يتبع توزيع غاوسي. لنفترض$N$أن تشير إلى العدد المحلي للطبقات الأحادية المكتملة داخل منطقة التماسك الجانبي للحزمة. نفترض أن$N$ تتغير عبر السطح وتكون موزعة توزيعًا عاديًا بمتوسط$\bar N$ وانحراف$\sigma$ معياري (كلاهما بوحدة الطبقة الأحادية):
$$P(N) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[-\frac{(N-\bar N)^2}{2\sigma^2}\right].$$
(لغرض حساب المتوسطات، يمكنك اعتبار$N$ متغيرًا متواصلًا.) لنفترض$d$أن هي المسافة بين الطبقات الذرية المتجاورة (الطبقات الأحادية)، ولنفترض أن$q_z$ تشير إلى المركبة العمودية لمتجه$\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$ التشتت على السطح المستوي للفيلم، أي $q_z=\mathbf q\cdot\hat{\mathbf z}$. بالنسبة لعدد صحيح من الطبقات الأحادية $N$، تكون سعة التشتت هي
$$A_N(q_z) = ∑_(n=0)^(N-1) e^(iq_znd) = (1 - e^(iq_zNd)) / (1 - e^(iq_zd)).$$
عند حساب المتوسط على توزيع السماكة الغاوسي، نتعامل$N$مع كمتغير متصل ونستخدم الصيغة الحسابية المغلقة
$$A_N(q_z) ≡ \frac{1 - e^{iq_zNd}}{1 - e^{iq_zd}}$$
باعتبارها الامتداد المستمر المقابل. لنفترض أن شدة الحيود المقاسة تم الحصول عليها من السعة المتوسطة المتسقة،
$$I(q_z) ≡ |\langle A(q_z)\rangle|²، و\langle A(q_z)\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} P(N) A_N(q_z) dN.$$
$$\frac{I(q_z,\sigma=0.4,\bar N=5)}{I(q_z,\sigma=0,\bar N=5)}$$
أن
$$q_z=\frac{\pi}{2d} \qquad\text{و}\qquad q_z=\frac{2\pi}{d},$$
على التوالي. إذا لزم الأمر، قم بحساب الحالة الثانية عن طريق أخذ الحد المناسب.
الجزء (هـ): الحيود من طبقة رقيقة ذات شكل سطحي متغير (Diffraction from a film with evolving surface morphology)
تخيل طبقة رقيقة ذات بنية مكعبة بسيطة تنمو على ركيزة بطريقة الطبقة تلو الطبقة، أي أن كل طبقة أحادية تُكتمل قبل أن يبدأ نمو الطبقة الأحادية التالية. لنفترض$d$أن هي المسافة بين الطبقات الذرية المتجاورة (الطبقات الأحادية)، ولنفترض$q_z$أن تشير إلى$\mathbf{q}=\mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$ مكون المتعامد مع السطح المستوي للطبقة، أي $q_z=\textbf{q}\cdot\hat{\textbf{z}}$. مع نمو الطبقة، يتغير سمكها، وكذلك شدة الحيود عند $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$. يتم إجراء الحساب عند نقل الزخم المحدد خارج المستوى، ويتم جمع جميع مساهمات الطبقات الأحادية بشكل متسق.
$$نسبة الشدة عند t = 0.8 t₀ إلى الشدة عند t = 3.6 t₀.$$
يُقاس عند $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$. لنفترض أنه خلال كل فترة نمو طبقة أحادية، يزداد التغطية النسبية للطبقة العليا بشكل خطي من 0 إلى 1، بحيث يكون في الوقت $t=(N+\theta)t_0$، هناك طبقات $N$أحادية مكتملة وتغطية$\theta$ نسبية للطبقة الأحادية التالية.