Bellik
1. Wektorlar goýy (galyň) simwollar arkaly bellenilýär (meselem, r, q).
2. Siňdirilme göz öňünde tutulmaýar we elektrik meýdanynyň güýjenmesi düşme tekizligine perpendikulýar polýarlaşan diýip kabul edilýär (hasaplanýar).
Rentgen şöhleleriniň difraksiýa şekilleri kristalyň içindäki köp sanly kiçijik "tolkun çeşmeleriniň" interferensiýasy (özara goşulmagy) netijesinde ýüze çykýar we biz munuň nähili boljakdygyny olaryň kompleks amplitudalaryny dogry fazalar bilen goşmak arkaly öňünden çaklap bileris.Hakyky amplitudasy $A\ge0$ we fazasy $\phi$ bolan monohromatik tolkuna seredeliň. Biz $\tilde{A}$ kompleks amplitudasyny aşakdaky ýaly kesgitleýäris
$$\tilde{A} = A e^{i\phi},$$
şunlukda tolkunyň hakyky amplitudasy $\tilde{A}$ ululygynyň modulyna (absolut bahasyna) deňdir, $\phi$ bolsa onuň fazasydyr. Şeýlelikde, $\tilde{A}$ ýeke-täk kompleks sanyň içinde hem moduly hem-de fazany amatly görnüşde saklaýar (kodlaşdyrýar). Bu meseleler toplumynda, biz ölçegsiz intensiwligi umumy kompleks amplitudanyň modulynyň kwadraty arkaly kesgitleýäris:
$$I = |\tilde{A}|^2 = A^2.$$
Detektoryň duýgurlygy (jogaby), düşýän şöhläniň normalizasiýasy we umumy ýaýrama koeffisiyentleri ýaly adaty eksperimental hem-de geometrik proporsional şertler (faktorlar) bu kesgitlemäniň içine goşulýar. Muňa garamazdan, ýeke-täk elektronyň dargama amplitudasy $f_0$ bir nokatly elektrondan dargamanyň amplituda masştaby hökmünde açyk görnüşde saklanýar.
Kristallik materiala düşýän tolkun täsir edende, tolkun kristal gözenegi tarapyndan difraksiýalanyp, onuň difraksiýalanan bölekleri özara interferensiýa edýärler. Netijede emele gelen difraksiýalanan tolkunyň intensiwligi, aýry-aýry difraksiýa tolkunlarynyň arasyndaky faza tapawutlaryny göz öňünde tutup, olaryň kompleks amplitudalaryny goşmak we soňra emele gelen umumy kompleks amplitudanyň modulynyň kwadratyny hasaplamak arkaly tapylyp bilner. Difraksiýa esasan elektronlar bilen bolan täsirleşmelerden ýüze çykýar, ýadrolar ýaly has agyr bölejikleriň goşantlary bolsa, adatça, örän azdygy sebäpli hasaba alynmaýar. Ýeke-täk nokatly elektrondan difraksiýalanan tolkunyň amplitudasy diňe $R = |\mathbf{R}|$ ululygyna, ýagny elektrondan detektora çenli bolan aralyga baglydyr. $R $ aralygy nusganyň (gözegçilik edilýän nusgalygyň) ölçeglerinden has uly bolany sebäpli, onuň nusga boýunça üýtgemesini hasaba alman bolar. Şonuň üçin hem, aýry-aýry difraksiýa tolkunlarynyň amplitudalary hemişelik (konstanta) diýlip kabul edilýän wagtynda, aýry-aýry tolkunlaryň arasyndaky faza tapawutlary dogry hasaba alynsa, umumy difraksiýalanan tolkun takyk kesgitlenip bilner.
Goý, $\mathbf{k}_i$ we $\mathbf{k}_f$ degişlilikde düşýän we diffraksiýa sezewar bolan tolkunlaryň tolkun wektorlaryny aňlatsyn. $\mathbf{k}_i$ tolkun wektorly gelýän (düşýän) tekiz tolkun $\mathbf{k}_f$ tolkun wektorly tolkuna öwrülip diffraksiýa bolýar. Geçirilen impuls (impulsuň berilmesi) aşakdaky ýaly kesgitlenýär:
$$\mathbf{q} = \mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i$$
we olaryň ululyklary özara deň diýip kabul edilýär, sebäbi tolkun uzynlygy üýtgänok.
$$\mathit{k}\equiv|\mathbf{k}_i| = |\mathbf{k}_f| = \frac{2\pi}{\lambda}.$$
Bölüm A: Nokatlanç bölejikler hökmünde kabul edilen iki elektron tarapyndan rentgen şöhleleriniň difraksiýasy
$\mathbf{r}_1$ we $\mathbf{r}_2$ ýerleşişlerinde (radius-wektorlarynda) ýerleşýän iki sany nokatly elektrona seredeliň we $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ diýip kesgitleýäliň. Detektor $\mathbf{P}$ nokadynda ýerleşýär we biz $\mathbf{R}\equiv \mathbf{P}-\mathbf{r}_1$ diýip kesgitleýäris. $E_i(\mathbf{r})\propto e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}}$ deňleme bilen häsiýetlendirilýän ýaspy tolkun bu iki elektronyň üstüne düşýär we difraksiýalanan tolkun uzak meýdanda (daşky zonda) $\mathbf{k}_f$ ugry boýunça synlanýar. A bölekde, wagta bagly bolan umumy $e^{-i\omega t}$ köpeldijisi hasaba alynmaýar (gysylýar), çünki diňe otnositel giňişlik fazalary ähmiýetlidir.
$\mathbf{r}_1$ we $\mathbf{r}_2$ koordinatalarynda (orunlarynda) ýerleşýän, $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ bolan nokat görnüşli iki sany elektrona seredeliň. Tolkun uzynlygy $\lambda_0$ (şu sebäpli $k=2\pi/\lambda_0$ we $\omega=2\pi c/\lambda_0$) bolan şöhle (gysmalyk) elektronlary yşyklandyrýar (şöhlelendirýär) we difraksiýalanan tolkun uzak meýdanda $\mathbf{k}_f$ ugry boýunça synlanýar. Biz düşýän meýdany wagta bagly tötänleýin faza eýe bolan ýaspy tolkun hökmünde modelleşdirýäris,
$$E_i(\mathbf{r},t)=A\,\exp\!\left[i\left(\mathbf{k}_i\!\cdot\!\mathbf{r}-\omega t+\phi(t)\right)\right],$$
bu ýerde $\phi(t)$ bölek-bölek hemişelikdir (konstantadyr) we dowamlylygy bolan yzygiderli wagt aralyklarynda tötänleýin faza böküşlerine sezewar bolýar (duçar bolýar)
$$t_0 \equiv \frac{L_0}{c},$$
bu ýerde $L_0$ berlen boý kogerentlik uzynlygydyr. Uzynlygy $t_0$ bolan her bir aralygyň başlangyjynda, $\phi(t)$ fazasy $[0,2\pi)$ aralygynda deňölçegli paýlanan täze, garaşsyz baha eýe bolýar (täzeden bellenilýär). Goý, $I_0$ şol bir geometrik şertlerde ýeke-täk elektrondan alanyp bilinjek detektordaky (wagt boýunça ortaça) intensiwligi aňlatsyn. Bu meselede detektoryň wagt boýunça ortaça intensiwligi ölçeýändigi çen edilýär (hasaplanýar). Ýagny, ol aýry-aýry tötänleýin faza böküşlerini tapawutlandyryp (seljerip) bilmeýär. Onuň deregine, detektor faza böküş aralygy bolan $t_0$ wagtyndan has uzyndyr wagt dowamlylygynda bir pursatdaky intensiwligiň ortaça bahasyny hasaba alýar: $\langle I\rangle_t \equiv \left\langle |E(t)|^2 \right\rangle_t .$ Bu ýerde $\langle I\rangle_t \equiv \left\langle |E(t)|^2 \right\rangle_t .$ simwoly köp sanly faza böküş aralyklarynyň dowamyndaky ortaça bahany aňladýar.
Elektron adatça klassiki nokatly bölejik hökmünde seredilýär, ýöne has realistik (hakykata ýakyn) modelde onuň zarýadynyň çäkli bir giňişlik sebitinde paýlanandygy kabul edilip bilner. Iki sany ideallaşdyrylan zarýad paýlanyşyna seredeliň: (i) $\mathbf r=0$ nokadynda ýerleşýän we dargama amplitudasy $A_1(\mathbf q)=Q_0$ bolan ideal nokatly zarýad, (ii) giňeldilen (ýaýradylan) Gauss zarýad paýlanyşy: $\rho_2(\mathbf r)=\rho_0\exp\!\left(-\frac{r^2}{R_0^2}\right), \qquad r=|\mathbf r|$
$Q_0$ we $\rho_0$ hemişelikleri (konstantalary) umumy zarýad iki ýagdaýda-da birmeňzeş bolar ýaly saýlanýar:
$$Q_0= \int \rho_2(\mathbf{r})\,d^3r.$$
Bu ýerde $d^3 r$ simwoly üç ölçegli giňişlikdäki göwrüm elementini aňladýar. Dekart koordinatalarynda $d^3r=dxdydz$ bolup, $\int_{\mathbb R^3}$ bütin giňişlik boýunça integrallemegi aňladýar. Peýdaly toždestwolar (subutsyz ulanylyp bilner):
$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/R_0^{2}}\,4\pi r^{2}\,dr=\pi^{3/2}R_0^{3}, \int_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\, d^3\mathbf r = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{k^2}{4\alpha}\right), \qquad \alpha>0.$$
$$A_2(\mathbf q)\equiv \int_{\mathbb R^3}\rho_2(\mathbf r)e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r}\,d^3\mathbf r$$
we ony $A_1(\mathbf q)=Q_0$ nokatly zarýad amplitudasy bilen deňeşdiriň.
Plonkanyň (gatlagyň) üstüniň (ýagny, iň ýokarky atom gatlaklarynyň) kämil derejede tekiz däldigini, munuň deregine üst büdür-südürligine (gatylygyna) eýedigini göz öňüne getiriň. Adaty modelleriň birinde, ýerli gatlak galyňlygynyň (monogatlaklar arkaly ölçenilýän) Gauss paýlanyşyna eýedigi çen edilýär. Goý, $N$ simwoly şöhläniň kese koherentlik meýdanynyň çägindäki tamamlanan ýerli monogatlaklaryň sanyny aňlatsyn. Biz $N$ ululygynyň üst boýunça üýtgeýändigini we ortaça bahasy $\bar N$ hem-de standart gyşarmasy $\sigma$ (ikisi hem monogatlak birliginde) bolan normal paýlanandygyny çen edýäris:
$$P(N)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[-\frac{(N-\bar N)^2}{2\sigma^2}\right].$$
(Ortaça bahalary hasaplamak maksady bilen, siz $N$ ululygyna üznüksiz üýtgeýän ulylyk hökmünde seredip bilersiňiz.) Goý, $d$ ýanaşyk (goňşy) atom gatlaklarynyň (monogatlaklaryň) arasyndaky aralyk bolsun, we $q_z$ bolsa $\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$ dargama wektorynyň plonkanyň tekiz üstüne perpendikulýar bolan komponentasyny (gurnawjysyny) aňlatsyn, ýagny $q_z=\mathbf q\cdot\hat{\mathbf z}$ . Bitin sanly $N$ monogatlaklar üçin dargama amplitudasy:
$$A_N(q_z)=\sum_{n=0}^{N-1} e^{iq_znd} =\frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}.$$
Gauss galyňlyk paýlanyşy boýunça ortaça baha alanyňyzda, biz $N$ ululygyna üznüksiz üýtgeýän ulylyk hökmünde seredýäris we analitik (gapyk görnüşdäki) aňlatmany ulanýarys:
$$A_N(q_z)\equiv \frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}$$
degişli üznüksiz giňeltme (dowam etdirme) hökmünde. Ölçenilýän difraksiýa intensiwliginiň kogerent ortaça amplitudadan alynýandygyny çen kabul ediň.
$$I(q_z)\equiv \bigl|\langle A(q_z)\rangle\bigr|^2, \qquad \langle A(q_z)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} P(N)\,A_N(q_z)\,dN.$$
$$\frac{I(q_z,\sigma=0.4,\bar N=5)}{I(q_z,\sigma=0,\bar N=5)}$$
da
$$q_z=\frac{\pi}{2d} \qquad\text{we}\qquad q_z=\frac{2\pi}{d},$$
degişlilikde. Eger zerur bolsa, degişli çäk geçmesini ýerine ýetirmek (limiti almak) arkaly ikinji ýagdaýa baha beriň (hasaplaň).
Gatlak-gatlak (gatlaklaýyn) rejimde substratyň üstünde ösdürilip ýetişdirilen ýönekeý kubik gurluşly ýuka plonkany göz öňüne getiriň, ýagny indiki monogatlak ösmäge başlamazdan ozal her bir monogatlak doly tamamlanýar. Goý, $d$ ýanaşyk atom gatlaklarynyň (monogatlaklaryň) arasyndaky aralyk bolsun, we $q_z$ bolsa $\mathbf{q}=\mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$ dargama wektorynyň plonkanyň tekiz üstüne perpendikulýar bolan komponentasyny aňlatsyn, ýagny $q_z=\textbf{q}\cdot\hat{\textbf{z}}$. Plonka ösdürilip ýetişdirildigi saýyn plonkanyň galyňlygy üýtgeýär we munuň bilen birlikde $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$ nokadyndaky difraksiýa intensiwligi hem üýtgeýär. Hasaplama görkezilen tekizlikden daşarky impuls geçirilişinde (moment transferinde) ýerine ýetirilýär we ähli monogatlaklaryň goşantlary koherent görnüşde jemlenýär.
$$\frac{I(t = 0.8 t_0)}{I(t = 3.6 t_0)}$$
Her bir monogatlagyň ösüş döwrüniň (aralygynyň) dowamynda iň ýokarky gatlagyň bölekleýin örtülme derejesiniň (faksion göwrüminiň) 0-dan 1-e çenli çyzykly artýandygyny çen ediň. Şeýlelikde, $t=(N+\theta)t_0$ wagt pursadynda $N$ sany tamamlanan monogatlak we indiki monogatlagyň bolsa $\theta$ bölekleýin örtülme derejesi emele gelýär.