1. וקטורים מסומנים באותיות מודגשות (לדוגמה, r, q).
2. הניחו שניתן להזניח את הבליעה, ושהשדה החשמלי מקוטב בניצב למישור הפגיעה.
תבניות העקיפה של קרני רנטגן נוצרות כתוצאה מהתאבכות בין "מקורות גל" זעירים רבים בתוך הגביש. ניתן למדל את התבניות על-ידי חיבור האמפליטודות המרוכבות של המקורות עם הפאזות הנכונות. ניקח גל מונוכרומטי המאופיין באמפליטודה (ממשית) $A\ge0$ ובפאזה $\phi$. נגדיר את המשרעת המרוכבת $\tilde{A}$ כך:
$$\tilde{A} = A e^{i\phi},$$
כך שהאמפליטודה (הממשית) של הגל היא הגודל (הערך המוחלט) של $\tilde{A}$, ו-$\phi$ היא הפאזה שלו. כך, $\tilde{A}$ מקפלת בתוכה באופן נוח הן את הגודל והן את הפאזה במספר מרוכב יחיד. בבעיה זו אנו מגדירים עוצמה חסרת ממדים באמצעות הגודל בריבוע של האמפליטודה המרוכבת:
$$I = |\tilde{A}|^2 = A^2.$$
גורמי פרופורציה ניסיוניים וגאומטריים נפוצים, כגון רגישות הגלאי, קבועי נירמול של האלומה הפוגעת וגורמי התקדמות נפוצים נבלעים בהגדרה זו. לעומת זאת, את משרעת הפיזור מאלקטרון בודד $f_0$ נשמור כיחידת מידה בסיסית לפיזור מאלקטרון נקודתי בודד.
כאשר חומר גבישי נחשף לגל פוגע, הגל עובר עקיפה על-ידי הסריג הגבישי, והחלקים המפוזרים מתאבכים זה עם זה. את עוצמת הגל המפוזר הכולל ניתן לחשב על-ידי חיבור האמפליטודות המרוכבות של הגלים המפוזרים הבודדים, תוך התחשבות בהפרשי הפאזה ביניהם, ולאחר מכן חישוב הגודל בריבוע של האמפליטודה המרוכבת הכוללת המתקבלת. העקיפה נוצרת בעיקר מאינטראקציות עם אלקטרונים - ותרומותיהם של חלקיקים כבדים יותר, כגון הגרעינים - זניחות בדרך כלל. האמפליטודה של הגל המפוזר על-ידי אלקטרון נקודתי בודד תלויה רק ב-$R = |\mathbf{R}|$, המרחק מהאלקטרון לגלאי. מכיוון ש-$R $ גדול בהרבה מממדי הדגימה, ניתן להזניח את השוני בו בין נקודות הדגימה. לפיכך, ניתן לקבוע במדויק את הגל המפוזר הכולל באמצעות התחשבות בהפרשי הפאזה בין הגלים הבודדים, בעוד שניתן להניח שהמשרעות שלהם קבועות.
נסמן ב- $\mathbf{k}_i$ ו-$\mathbf{k}_f$ את וקטורי הגל של הגל הפוגע ושל הגל המפוזר, בהתאמה. הגל המישורי הפוגע הינו בעל וקטור גל $\mathbf{k}_i$ והוא מפוזר לגל בעל וקטור גל $\mathbf{k}_f$. העברת התנע מוגדרת כך:
$$\mathbf{q} = \mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i$$
וניתן להניח שגדליהם שווים, מכיוון שאורך הגל אינו משתנה:
$$\mathit{k}\equiv|\mathbf{k}_i| = |\mathbf{k}_f| = \frac{2\pi}{\lambda}.$$
ניקח שני אלקטרונים הממוקמים ב-$\mathbf{r}_1$ וב-$\mathbf{r}_2$, ונגדיר $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$. גלאי ממוקם ב-$\mathbf{P}$, ונגדיר $\mathbf{R}\equiv \mathbf{P}-\mathbf{r}_1$. גל מישורי $E_i(\mathbf{r})\propto e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}}$ פוגע בשני האלקטרונים, והגל המתפזר נצפה רחוק לאורך הכיוון $\mathbf{k}_f$. בחלק A, הגורם המשותף התלוי בזמן $e^{-i\omega t}$ מושמט, מכיוון שרק הפאזות המרחביות היחסיות רלוונטיות.
ניקח שני אלקטרונים נקודתיים הממוקמים ב$\mathbf{r}_1$ ו-$\mathbf{r}_2$, כאשר $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$. אלומה בעלת אורך גל $\lambda_0$ (כך ש-$k=2\pi/\lambda_0$ ו-$\omega=2\pi c/\lambda_0$) מאירה את האלקטרונים, והגל המפוזר נמדד בשדה הרחוק בכיוון $\mathbf{k}_f$. אנו ממדלים את השדה הפוגע כגל מישורי בעל פאזה אקראית התלויה בזמן,
$$E_i(\mathbf{r},t)=A\,\exp\!\left[i\left(\mathbf{k}_i\!\cdot\!\mathbf{r}-\omega t+\phi(t)\right)\right],$$
כאשר $\phi(t)$ קבועה למקוטעין ועוברת קפיצות פאזה אקראיות במרווחי זמן קבועים באורך
$$t_0 \equiv \frac{L_0}{c},$$
כאשר $L_0$ הוא אורך הקוהרנטיות האורכי (הנתון). בתחילתו של כל מרווח באורך $t_0$, $\phi(t)$ מקבלת ערך עצמאי חדש המתפלג אחיד בטווח $[0,2\pi)$. נסמן ב- $I_0$ את העוצמה (הממוצעת בזמן) בגלאי שהייתה מתקבלת מאלקטרון בודד באותה גאומטריה. בבעיה זו, נניח שהגלאי מודד עוצמה ממוצעת בזמן. כלומר, הוא אינו מפריד בין קפיצות הפאזה האקראיות הבודדות. במקום זאת, הוא מתעד את הממוצע של העוצמה הרגעית על-פני זמן הארוך בהרבה ממרווח קפיצות הפאזה $t_0$: $\langle I\rangle_t \equiv \left\langle |E(t)|^2 \right\rangle_t .$. כאן $\langle \cdots \rangle_t$ מסמן ממוצע על-פני מרווחי קפיצות פאזה רבים.
מתייחסים לאלקטרון לעיתים קרובות כלחלקיק נקודתי קלאסי, אך במודל מציאותי יותר ניתן לראות את המטען שלו כמתפלג על-פני אזור מרחבי מסויים. ניקח שתי התפלגויות מטען פשטניות: (i) מטען נקודתי הממוקם ב-$\mathbf r=0$, שמשרעת הפיזור שלו היא $A_1(\mathbf q)=Q_0$, (ii) התפלגות מטען גאוסית מורחבת
$\rho_2(\mathbf r)=\rho_0\exp\!\left(-\frac{r^2}{R_0^2}\right), \qquad r=|\mathbf r|$
הקבועים $Q_0$ ו-$\rho_0$ נבחרים כך שהמטען הכולל יהיה זהה בשני המקרים:
$$Q_0= \int \rho_2(\mathbf{r})\,d^3r.$$
כאן $d^3 r$ מסמן את אלמנט הנפח במרחב התלת-ממדי. בקואורדינטות קרטזיות, $d^3r=dxdydz$ ו-$\int_{\mathbb R^3}$ פירושו אינטגרציה על כל המרחב. זהויות שימושיות (ניתן להשתמש בהן ללא הוכחה):
$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/R_0^{2}}\,4\pi r^{2}\,dr=\pi^{3/2}R_0^{3}, \int_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\, d^3\mathbf r = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{k^2}{4\alpha}\right), \qquad \alpha>0.$$
$$A_2(\mathbf q)\equiv \int_{\mathbb R^3}\rho_2(\mathbf r)e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r}\,d^3\mathbf r$$
והשוו אותה עם המשרעת של המטען הנקודתי $A_1(\mathbf q)=Q_0$.
דמיינו שפני המשטח (כלומר, השכבות האטומיות העליונות) אינן שטוחות לחלוטין - אלא מחוספסות. המודל הנפוץ הוא להניח שהעובי המקומי (הנמדד ביחידות של חד-שכבות) מציית להתפלגות גאוסית. נסמן ב-$N$ את המספר המקומי של חד-שכבות השלמות בתוך שטח קוהרנטיות רוחבי של האלומה. אנו מניחים ש-$N$ משתנה על-פני המשטח ומתפלג נורמלית עם תוחלת $\bar N$ וסטיית תקן $\sigma$ (שניהם ביחידות של שכבות):
$$P(N)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[-\frac{(N-\bar N)^2}{2\sigma^2}\right].$$
(לצורך חישוב ממוצעים, ניתן להתייחס ל-$N$ כאל משתנה רציף.) נסמן ב- d את המרחק בין שכבות אטומיות סמוכות (חד-שכבות), וב- $q_z$ את הרכיב של וקטור הפיזור $\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$ הניצב לפני המשטח החלק, כלומר, $q_z=\mathbf q\cdot\hat{\mathbf z}$. עבור מספר שלם של שכבות $N$, משרעת הפיזור היא
$$A_N(q_z)=\sum_{n=0}^{N-1} e^{iq_znd} =\frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}.$$
כאשר ממצעים על ההתפלגות הגאוסיאנית של העובי, יש להתייחס ל-$N$ כאל משתנה רציף ולהשתמש בביטוי הסגור
$$A_N(q_z)\equiv \frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}$$
בתור ההרחבה הרציפה המתאימה. הניחו שעוצמת הפיזור הנמדדת מתקבלת מהמשרעת הממוצעת הקוהרנטית,
$$I(q_z)\equiv \bigl|\langle A(q_z)\rangle\bigr|^2, \qquad \langle A(q_z)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} P(N)\,A_N(q_z)\,dN.$$
$$\frac{I(q_z,\sigma=0.4,\bar N=5)}{I(q_z,\sigma=0,\bar N=5)}$$
ב-
$$q_z=\frac{\pi}{2d} \qquad\text{and}\qquad q_z=\frac{2\pi}{d},$$
בהתאמה. אם נדרש, חשבו את המקרה השני על-ידי לקיחת הגבול המתאים.
דמיינו משטח חומר דק בעל מבנה קוּבִּי פשוט, הגדל על מצע שכבה-אחר-שכבה, כלומר, כל שכבה מסתיימת לפני שהשכבה הבאה מתחילה לצמוח. נסמן ב-$d$ את המרחק בין שכבות אטומיות סמוכות (חד-שכבות) ונסמן ב- $q_z$ את הרכיב של $\mathbf{q}=\mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$ הניצב לפני המשטח, כלומר, $q_z=\textbf{q}\cdot\hat{\textbf{z}}$. ככל שהמשטח גדל, העובי שלו משתנה, וכך גם עוצמת העקיפה ב-$\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$.
נחשב עבור הערך הנתון של $\mathbf{q}$, העברת התנע בכיוון הניצב למישור, בכך שנסכום את כל תרומות החד-שכבות באופן קוהרנטי.
$$\frac{I(t = 0.8 t_0)}{I(t = 3.6 t_0)}$$
הנמדד ב-$\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$. הניחו שבמהלך כל מרווח גדילה של מונו-שכבה, הכיסוי החלקי של השכבה העליונה גדל באופן ליניארי מ-0 ל-1, כך שבזמן $t=(N+\theta)t_0$ יש $N$ בשכבות מוגמרות וכיסוי חלקי $\theta$ של השכבה הבאה.