X射线衍射图样的产生源于晶体内部许多微小“波源”之间的干涉，我们可以将这些波源的复振幅在正确相位下求和来预测这种现象。考虑一个由（实）振幅$A\ge0$ 和相位 $\phi$ 描述的单色波。我们将复振幅$\tilde{A}$ 定义为
$$\tilde{A} = A e^{i\phi}.$$
因此，波的（实）振幅即为$\tilde{A}$ 的模（绝对值），而$\phi$ 则是其相位。由此，复数$\tilde{A}$ 便能同时表示振幅和相位。在本题中，我们将无量纲强度定义为总复振幅的模的平方：
$$I = |\tilde{A}|^2 = A^2.$$
该定义已吸收了常规实验中的和几何方面的比例因子，例如探测器响应、入射束归一化、常见的传播因子等。而单电子散射振幅$f_0$则被明确地保留下来，并作为一个点状电子散射的振幅标度。
当晶体材料受到入射波的作用时，该波会被晶格衍射，而衍射出的各部分波会相互干涉。 所得衍射波的强度可通过将各衍射波的复振幅相加来计算，同时需考虑它们之间的相位差，然后计算所得总复振幅的模平方。衍射主要源于与电子的相互作用，而来自较重粒子（如原子核）的贡献通常可以忽略不计。 单个点状电子衍射出的波的振幅仅取决于电子到探测器的距离$R = |\mathbf{R}|$。由于$R $ 远大于样品的尺寸，$R $在样品上的变化可以忽略不计。因此，在假设各衍射波振幅为常数的前提下，通过正确考虑各衍射波之间的相位差，即可准确确定总衍射波的强度。
设$\mathbf{k}_i$ 和$\mathbf{k}_f$ 分别表示入射波和衍射波的波矢，即波矢为$\mathbf{k}_i$ 的入射平面波衍射后形成波矢为$\mathbf{k}_f$ 的波。它们之间的动量转移定义为
$$\mathbf{q} = \mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i;$$
且假设它们的模相等，因为波长保持不变：
$$\mathit{k}\equiv|\mathbf{k}_i| = |\mathbf{k}_f| = \frac{2\pi}{\lambda}.$$
设两个点状电子分别位于位置$\mathbf{r}_1$ 和 $\mathbf{r}_2$，并定义 $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$。探测器位于 $\mathbf{P}$，我们定义 $\mathbf{R}\equiv \mathbf{P}-\mathbf{r}_1$。平面波$E_i(\mathbf{r})\propto e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}}$ 入射到这两个电子上，并在沿$\mathbf{k}_f$ 方向的远场中观测到衍射波。在A部分中，省略了共同的时间依赖因子$e^{-i\omega t}$，因为仅涉及相对空间相位。
考虑两个位于位置$\mathbf{r}_1$ 和 $\mathbf{r}_2$的点状电子，且 $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$。一束波长为$\lambda_0$ （即$k=2\pi/\lambda_0$ 且 $\omega=2\pi c/\lambda_0$）的光束照射这些电子，并在沿 $\mathbf{k}_f$方向的远场中观测到衍射波。我们将入射场模型化为具有随时间变化的随机相位的平面波，
$$E_i(\mathbf{r},t)=A\,\exp\!\left[i\left(\mathbf{k}_i\!\cdot\!\mathbf{r}-\omega t+\phi(t)\right)\right],$$
其中$\phi(t)$ 为分段常量，并会在固定的时间间隔后发生随机的相位跳跃，该时间间隔为
$$t_0 \equiv \frac{L_0}{c},$$
其中$L_0$是给定的纵向相干长度。在每个长度为 $t_0$的时间间隔开始时，$\phi(t)$ 被重置为一个新的独立值，该值在$[0,2\pi)$ 上均匀分布。设 $I_0$表示在相同几何条件下，单个电子在探测器处产生的（时间平均）强度。 在此问题中，假设探测器测量的是时间平均强度。也就是说，它无法分辨单个随机的相位跳变。而它记录的是在远长于相位跳变间隔 $t_0$的时间尺度上瞬时强度的平均值：$\langle I\rangle_t\equiv\left\langle|E(t)|^2\right\rangle_t$ 。这里 $\langle \cdots \rangle_t$表示对很多个相位跳变时间间隔的平均。
电子通常被视为经典点状粒子，但在更贴近实际的模型中，其电荷可被视为分布于一个有限的空间区域内。 考虑两种理想化的电荷分布：(i) 位于$\mathbf r=0$ 处的理想点电荷，其散射振幅为 $A_1(\mathbf q)=Q_0$，(ii) 扩展的高斯电荷分布 $\rho_2(\mathbf r)=\rho_0\exp\!\left(-\frac{r^2}{R_0^2}\right), \qquad r=|\mathbf r|$。
选择合适的常数$Q_0$ 和$\rho_0$，使得两种情况下的总电荷相同：
$$Q_0= \int \rho_2(\mathbf{r})\,d^3r.$$
这里$d^3 r$表示三维空间中的体积元。在笛卡尔坐标系中，$d^3r=dxdydz$，$\int_{\mathbb R^3}$表示对整个空间进行积分。可能会用到的公式（可直接使用，无需证明）：
$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/R_0^{2}}\,4\pi r^{2}\,dr=\pi^{3/2}R_0^{3}, \int_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\, d^3\mathbf r = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{k^2}{4\alpha}\right), \qquad \alpha>0.$$
$$A_2(\mathbf q)\equiv \int_{\mathbb R^3}\rho_2(\mathbf r)e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r}\,d^3\mathbf r$$
并将其与点电荷的振幅$A_1(\mathbf q)=Q_0$进行比较。
假设薄膜表面（即最上层的原子层）并非完全平整，而是存在表面粗糙度。 一种常见的模型是假设局部薄膜厚度（以单分子层为单位）服从高斯分布。设$N$ 表示光束横向相干区域内的完整的单分子层数。我们假设 $N$在表面上随位置变化，且服从均值为$\bar N$ 、标准差为$\sigma$ （均以单分子层为单位）的正态分布：
$$P(N)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[-\frac{(N-\bar N)^2}{2\sigma^2}\right].$$
（为了计算平均值，可以将$N$ 视为连续变量。）设$d$ 为相邻原子层（单层）之间的间距，设$q_z$ 表示散射矢量$\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$ 垂直于薄膜表面的分量，即 $q_z=\mathbf q\cdot\hat{\mathbf z}$。 当分子层数$N$ 为整数时，散射振幅为
$$A_N(q_z)=\sum_{n=0}^{N-1} e^{iq_znd} =\frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}.$$
在对高斯厚度分布进行求平均时，我们将 $N$视为连续变量，并使用以下表达式
$$A_N(q_z)\equiv \frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}$$
作为相应的连续扩展。假设测得的衍射强度来自相干平均振幅，
$$I(q_z)\equiv \bigl|\langle A(q_z)\rangle\bigr|^2, \qquad \langle A(q_z)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} P(N)\,A_N(q_z)\,dN.$$
$$\frac{I(q_z,\sigma=0.4,\bar N=5)}{I(q_z,\sigma=0,\bar N=5)}$$
其中
$$q_z=\frac{\pi}{2d} \qquad\text{以及}\qquad q_z=\frac{2\pi}{d},$$
如有必要，可通过求取合适的极限来求解上述第二种情况的强度比。
设想一具有简单立方结构的薄膜以逐层生长的方式生长在基底上，即每层单分子层生长完成后，下一层单分子层才开始生长。 设$d$为相邻原子层（单层）之间的间距，并设 $q_z$表示$\mathbf{q}=\mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$垂直于薄膜平面的分量，即$q_z=\textbf{q}\cdot\hat{\textbf{z}}$ 。随着薄膜的生长，薄膜的厚度发生变化， $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$处的衍射强度也会随之变化。以下计算应在该指定的面外动量转移处进行，并且对所有单层的贡献作相干叠加。