1. Векторыг тод үсгээр тэмдэглэв. (жишээ нь r, q).
2. Шингээлтийг тооцохгүй бөгөөд цахилгаан орны туйлшрал нь тусгалын хавтгайд перпендикуляр гэж үзнэ.
Рентген туяаны дифракцийн зураг нь кристал доторх олон жижиг "долгионы эх үүсвэрүүд" хоорондоо интерференцлэгдсэнээс үүсдэг бөгөөд бид тохирох фазтай комплекс амплитудуудын нийлбэрээр дифракцийн зургийг таамаглаж чадна. Нэг өнгийн (монохроматик) долгионыг $A\ge0$ (бодит) далайц болон фаз $\phi$ -ээр тодорхойлж болдог. Комплекс амплитуд $\tilde{A}$-г дараах байдлаар тодорхойлно:
$$\tilde{A} = A e^{i\phi},$$
ингэснээр долгионы (бодит) амплитуд нь $\tilde{A}$ -ийн далайц (абсолют утга) бөгөөд $\phi$ нь долгионы фаз юм. Ингэснээр$\tilde{A}$ нь нэг комплекс тоонд далайц болон фазыг хоёлуланг нь тохиромжтойгоор кодлодог. Энэхүү бодлогын хүрээнд хэмжээсгүй эрчмийг нийт комплекс амплитудын модулийн квадрат зэрэгтээр тодорхойлно:
$$I = |\tilde{A}|^2 = A^2.$$
Бүртгэгчийн мэдрэмж, туссан багц туяаны нормчлол, долгионы тархалтын ерөнхий коэффициентүүд зэрэг туршилтын болон геометрийн нийтлэг үржвэрүүдийг энэхүү тодорхойлолтод шингээж тооцсон болно. Харин ганц цэгэн электроноос сарнисан туяаны амплитудыг $f_0$ коэффициентоор илэрхийлэв.
Талст материал дээр туссан долгион нь талст торонд сарниж, улмаар сарнисан долгионы хэсгүүд хоорондоо интерференцэд ордог. Үүнээс үүдэх дифракцын долгионы эрчмийг тооцоолохдоо тус тусын сарнисан долгионы комплекс амплитудуудыг тэдгээрийн фазын зөрүүг харгалзан нэмж, дараа нь гарсан нийт комплекс амплитудын модулийн квадратыг бодож гаргадаг. Дифракц нь голчлон долгион электронуудтай харилцан үйлчлэлцсэнээс үүсдэг бөгөөд атомын цөм зэрэг илүү хүнд бөөмсийн оруулах хувь нэмэр нь ихэвчлэн тооцохгүй маш бага байдаг. Ганц цэгэн электроноос сарнисан долгионы амплитуд нь зөвхөн электроноос бүртгэгч хүртэлх $R = |\mathbf{R}|$ зайнаас хамаардаг. $R $ зай нь дээжийн (талстын) хэмжээнээс хамаагүй том тул дээжийн дагуух өөр өөр цэгүүдээс үүсэх өөрчлөлтийг тооцохгүй орхиж болно. Иймд сарнисан долгион бүрийн далайцыг тогтмол гэж үзэх боловч нийт дифракцын долгионыг тэдгээрийн хоорондын фазын зөрүүг нарийн тооцоолж нэгтгэх замаар үнэн зөв тодорхойлж болно.
Туссан ба сарнисан долгионы долгионы векторыг харгалзан $\mathbf{k}_i$ ба $\mathbf{k}_f$ гэж тэмдэглэе. $\mathbf{k}_i$ долгион вектортой туссан хавтгай долгион нь сарниж $\mathbf{k}_f$ долгион вектор бүхий хавтгай долгион болж хувирна. Шилжсэн импульс нь дараах байдлаар тодорхойлно:
$$q = k_f - k_i$$
тэдгээрийн хэмжээг тэнцүү гэж үзнэ, учир нь долгионы урт өөрчлөгдөөгүй:
$$k ≡ |k_i| = |k_f| = 2π/λ$$
$\mathbf{r}_1$ ба $\mathbf{r}_2$ байрлалд орших хоёр цэгэн электроныг авч үзээд, $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ гэж тодорхойлъё. Детектор буюу бүртгэгч $\mathbf{P}$ байрлалд байрлах ба $\mathbf{R}\equiv \mathbf{P}-\mathbf{r}_1$ гэж үзье. Хоёр электрон дээр $E_i(\mathbf{r})\propto e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}}$хавтгай долгион тусаж, сарнисан долгион хол оронд (хоёр электроны хоорондох зайтай харьцуулахад олон дахин их зайд) $\mathbf{k}_f$ чиглэлд тархана. A хэсэгт зөвхөн орон зайн фазууд чухал тул хугацаанаас хамаарсан ерөнхий $e^{-i\omega t}$ үржигдэхүүнийг орхисон болно.
$\mathbf{q}$ болон $\mathbf{r}$ -ээс хамааруулан илэрхийлнэ үү. Эрчимд нөлөөлөхгүй тул ерөнхий фазыг тооцохгүй байж болно. Ганц цэгэн электроноос үүссэн дифракцийн долгионы бодит далайцыг байрлалаас хамаарахгүй тогтмол $f_0$ гэж авна.
$\mathbf{r}_1$ ба $\mathbf{r}_2$ байрлал дээр орших хоёр цэгэн электроныг авч үзвэл $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ байна. Төвийн гэрлийн долгионы урт нь $\lambda_0$ (үүнд $k=2\pi/\lambda_0$ ба $\omega=2\pi c/\lambda_0$) багц туяа электронуудыг гэрэлтүүлж, хол оронд $\mathbf{k}_f$ чиглэлийн дагуу сарнисан долгион тархана. Бид тусч буй орныг цаг хугацаанаас хамаарсан санамсаргүй фазтай хавтгай долгион гэж загварчилна,
$$E_i(\mathbf{r},t)=A\,\exp\!\left[i\left(\mathbf{k}_i\!\cdot\!\mathbf{r}-\omega t+\phi(t)\right)\right],$$
энд $\phi(t)$ нь хэсэгчлэн тогтмол шинжтэй бөгөөд тодорхой тогтмол хугацааны t₀ интервал тутамд санамсаргүй фазын үсрэлт хийдэг
$$t₀ \equiv \frac{L₀}{c},$$
энд $L_0$ нь (өгөгдсөн) тууш когерент чанарын урт. $t_0$ урттай интервал бүрийн эхэнд $\phi(t)$ нь $[0,2\pi)$ мужид жигд тархсан бие даасан шинэ утгаар солигдоно. $I_0$-оор ижил геометр бүтэц дэх ганц электроноос бүртгэгч дээр очих (хугацааны дундаж) гэрлийн эрчмийг тэмдэглэе. Энэ бодлогод бүртгэгч нь хугацаагаар дундажилсан эрчмийг хэмждэг гэж үзнэ. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь бие даасан санамсаргүй фазын үсрэлт бүрийг тус бүрд нь ялган салгаж бүртгэж чадахгүй. Харин фазын үсрэлтийн $t_0$ завсараас олон дахин их хугацаанд агшин зуурын эрчмийн дундажийг бүртгэдэг: $\langle I\rangle_t \equiv \left\langle |E(t)|^2 \right\rangle_t .$ Энд$\langle \cdots \rangle_t$ нь фазын үсрэлтийн олон интервалын дундажийг илэрхийлнэ.
Электроныг ихэвчлэн классик цэгэн бөөм гэж үздэг боловч илүү бодитой загварт түүний цэнэгийг огторгуйн төгсгөлөг мужид тархсан гэж үзэж болно. Дараах хоёр идеалчилсан цэнэгийн тархалтыг авч үзье: (i) $\mathbf r=0$ цэгт байрлах, сарнилын амплитуд нь $A_1(\mathbf q)=Q_0$ байх идеал цэгэн цэнэг; (ii) цэнэгийн нягт нь Гауссын байх $\rho_2(\mathbf r)=\rho_0\exp\!\left(-\frac{r^2}{R_0^2}\right), \qquad r=|\mathbf r|$.
Дээрх хоёр тохиолдлын $Q_0$ ба $\rho_0$ тогтмолууд нь нийт цэнэг ижил байхаар сонгогдсон:
$$\int \rho_1(\mathbf{r})\,d^3r = \int \rho_2(\mathbf{r})\,d^3r = Q_0.$$
Энд $d^3 r$ нь огторгуй дахь эзлэхүүний элементийг илэрхийлнэ. Тэгш өнцөгт координатын системд $d^3r=dxdydz$ байх бөгөөд $\int_{\mathbb R^3}$ нь бүх огторгуйгаар авах интегралыг илэрхийлнэ. Ашиглаж болох томьёонууд (баталгаагүйгээр шууд ашиглаж болно):
$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/R_0^{2}}\,4\pi r^{2}\,dr=\pi^{3/2}R_0^{3}, \int_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\, d^3\mathbf r = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{k^2}{4\alpha}\right), \qquad \alpha>0.$$
$$A_2(\mathbf q)\equiv \int_{\mathbb R^3}\rho_2(\mathbf r)e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r}\,d^3\mathbf r$$
үүнийгээ цэгэн цэнэгийн $A_1(\mathbf q)=Q_0$ амплитудтай харьцуул.
Нимгэн хальсны гадаргуу (өөрөөр хэлбэл хамгийн дээд талын атомын үеүд) нь төгс хавтгай биш, харин гадаргуугийн барзгаршилтай гэж төсөөлье. Нимгэн хальсны зузаан нь (дан үеийн тоогоор илэрхийлэгдэх) Гауссын тархалттай гэж үздэг нийтлэг загвар бий. Гэрлийн багц когерент байх хавтгайгаан зузааныг $N$-ээр тэмдэглэе. Бид $N$-ийг гадаргуугийн дагуу хувьсан өөрчлөгддөг бөгөөд дундаж утга нь $\bar N$, стандарт хазайлт нь $\sigma$ (хоёулаа дан үеийн нэгжээр илэрхийлэгдсэн) байх нормаль тархалттай гэж үзнэ:
$$P(N)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[-\frac{(N-\bar N)^2}{2\sigma^2}\right].$$
(Дундаж утгыг тооцоолох зорилгоор та $N$-ийг тасралтгүй хувьсагч гэж үзэж болно.) Зэргэлдээх атомын үеүд (дан үеүд)-ийн хоорондын зайг $d$-ээр, харин нимгэн үеийн хавтгай гадаргууд перпендикуляр чиглэл дэх сарнилын $\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$ векторын байгуулагчийг $q_z$-ээр тус тус тэмдэглэе, өөрөөр хэлбэл $q_z=\mathbf q\cdot\hat{\mathbf z}$ юм. Бүхэл тоон утгатай $N$ дан үеийн хувьд сарнилын амплитуд нь:
$$A_N(q_z)=\sum_{n=0}^{N-1} e^{iq_znd} =\frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}.$$
Гауссын зузааны тархалтаар дундаж утгыг тооцоолохдоо бид$N$ -ийг тасралтгүй хувьсагч гэж үзэж, дараах бэлэн (аналитик) илэрхийллийг ашиглана:
$$A_N(q_z)\equiv \frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}$$
нь үүнтэй харгалзах тасралтгүй өргөтгөл болно. Хэмжигдэх дифракцын эрчим нь когерент дундаж амплитудаас гарган авагддаг гэж үзье,
$$I(q_z)\equiv \bigl|\langle A(q_z)\rangle\bigr|^2, \qquad \langle A(q_z)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} P(N)\,A_N(q_z)\,dN.$$
$$\frac{I(q_z,\sigma=0.4,\bar N=5)}{I(q_z,\sigma=0,\bar N=5)}$$
дараах хоёр тохиолдолд бод
$$q_z=\frac{\pi}{2d} \qquad\text{мөн}\qquad q_z=\frac{2\pi}{d},$$
болно. Хэрэв шаардлагатай бол, тохирох хязгаарыг бодож олох замаар хоёр дахь тохиолдлыг үнэлээрэй.
Суурь дээр үе-үеэрээ ургах (layer-by-layer) горимоор, өөрөөр хэлбэл дараагийн дан үе ургаж эхлэхээс өмнө өмнөх дан үе нь бүрэн гүйцэд бүрэлдэж дуусах замаар ургасан, эгэл куб бүтэцтэй нимгэн хальсыг төсөөлье. Зэргэлдээх атомын үеүд (дан үеүд)-ийн хоорондын зайг $d$-ээр, харин нимгэн хальсны хавтгай гадаргууд перпендикуляр чиглэл дэх сарнилын $\mathbf{q}=\mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$ векторын байгуулагчийг $q_z$ -ээр тус тус тэмдэглэе, өөрөөр хэлбэл $q_z=\textbf{q}\cdot\hat{\textbf{z}}$ юм. Нимгэн хальс ургах явцад түүний зузаан өөрчлөгдөх бөгөөд үүнийг дагаад $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$ утга дээрх дифракцын эрчим мөн адил хувьсан өөрчлөгдөнө. Тооцооллыг тухайн заасан хавтгайн гаднах (босоо чиглэлийн) импульсийн шилжилт дээр гүйцэтгэх ба бүх дан үеүдийн оруулж буй хувь нэмрийг когерент байдлаар нэмж нэгтгэнэ.
$$\frac{I(t = 0.8 t_0)}{I(t = 3.6 t_0)}$$
бөгөөд энэ нь $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$ утга дээр хэмжигдсэн байна. Дан үе бүрийн ургах хугацааны интервалд хамгийн дээд талын үеийн бүрхэлтийн зэрэг (фракц) 0-ээс 1 хүртэл шугаман хуулиар өсдөг гэж үзье. Ингэснээр $t=(N+\theta)t_0$ хугацаанд $N$ ширхэг гүйцэд бүрэлдсэн дан үе, мөн дараагийн дан үеийн $\theta$ хэмжээний хэсэгчилсэн бүрхэлт үүссэн байна гэж үзнэ.