Catatan

1. Vektor dilambangkan dengan simbol tebal (misalnya, r, q).

2. Asumsikan bahwa penyerapan diabaikan dan bahwa medan listrik terpolarisasi tegak lurus terhadap bidang insiden.

Pola difraksi sinar-X terjadi karena banyak “sumber gelombang” kecil di dalam kristal saling berinterferensi, dan kita dapat memprediksi hal ini dengan menjumlahkan amplitudo kompleksnya dengan fase yang tepat. Pertimbangkan sebuah gelombang monokromatik yang dicirikan oleh amplitudo$A\ge0$ (nyata) dan fase $\phi$. Kita mendefinisikan amplitudo kompleks$\tilde{A}$ sebagai

$$\tilde{A} = A e^{i\phi},$$

sehingga amplitudo (nyata) gelombang tersebut adalah besar (nilai mutlak) dari $\tilde{A}$, dan $\phi$ adalah fasa-nya. Dengan demikian,$\tilde{A}$ secara praktis mewakili baik besar maupun fasa dalam satu bilangan kompleks. Dalam rangkaian soal ini, kita mendefinisikan intensitas tanpa dimensi sebagai kuadrat dari besar total amplitudo kompleks:

$$I = |\tilde{A}|^2 = A^2.$$

Faktor-faktor proporsionalitas eksperimental dan geometris yang umum, seperti respons detektor, normalisasi sinar datang, dan faktor-faktor propagasi umum, telah dimasukkan ke dalam definisi ini. Sebaliknya, amplitudo$f_0$ dipertahankan secara eksplisit sebagai skala amplitudo untuk hamburan elektron tunggal.

Ketika gelombang datang mengenai bahan kristal, gelombang tersebut akan terdifraksi oleh kisi kristal dan bagian-bagian yang terdifraksi saling berinterferensi. Intensitas gelombang difraksi yang dihasilkan dapat dihitung dengan menjumlahkan amplitudo kompleks dari masing-masing gelombang difraksi, dengan memperhitungkan perbedaan fase di antara mereka, dan kemudian menghitung kuadrat besarnya amplitudo kompleks total yang dihasilkan. Difraksi terutama timbul dari interaksi dengan elektron, dan kontribusi dari partikel yang lebih berat seperti inti atom biasanya dapat diabaikan. Amplitudo gelombang yang dibiaskan oleh satu elektron titik hanya bergantung pada $R = |\mathbf{R}|$, jarak dari elektron ke detektor. Karena $R $ jauh lebih besar daripada dimensi sampel, variasi di seluruh sampel dapat diabaikan. Oleh karena itu, gelombang difraksi total dapat ditentukan secara akurat dengan memperhitungkan perbedaan fase antara gelombang-gelombang difraksi individu secara tepat, sementara amplitudo-amplitudo tersebut diasumsikan konstan.

Misalkan $\mathbf{k}_i$ dan $\mathbf{k}_f$ masing-masing melambangkan vektor gelombang dari gelombang datang dan gelombang terdifraksi. Sebuah gelombang datar datang dengan vektor gelombang $\mathbf{k}_i$ terdifraksi menjadi gelombang dengan vektor gelombang $\mathbf{k}_f$. Transfermomentum didefinisikan sebagai

$$\mathbf{q} = \mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i$$

dan besarannya diasumsikan sama, karena panjang gelombangnya tidak berubah:

$$\mathit{k}\equiv|\mathbf{k}_i| = |\mathbf{k}_f| = \frac{2\pi}{\lambda}.$$

Bagian A: Difraksi akibat dua elektron yang dianggap sebagai partikel titik

Pertimbangkan dua elektron titik yang terletak pada posisi $\mathbf{r}_1$ dan $\mathbf{r}_2$, dan definisikan $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$. Sebuah detektor terletak di $\mathbf{P}$, dan kita definisikan $\mathbf{R}\equiv \mathbf{P}-\mathbf{r}_1$. Gelombang datar $E_i(\mathbf{r})\propto e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}}$ mengenai kedua elektron tersebut, dan gelombang yang terdifraksi diamati di daerah jauh sepanjang arah $\mathbf{k}_f$. Pada bagian A, faktor ketergantungan terhadap waktu $e^{-i\omega t}$ dihilangkan, karena yang relevan hanyalah fase spasial (ruang) relatif.

A1 Untuk pendekatan daerah jauh, $R\equiv|\mathbf R|\gg|\mathbf r|$, pertahankan hanya suku orde pertama dalam$ |\mathbf r|/R$ dan tuliskan selisih lintasan geometris keluar, $\Delta L_{\rm out}\equiv |\mathbf{P}-\mathbf{r}_1|-|\mathbf{P}-\mathbf{r}_2|$, dalam bentuk $\mathbf r$ dan $\mathbf k_f$, atau secara setara $\mathbf k_f/k_f$.

A S H

A2 Gunakan hasil Anda dari soal A.1 dan memperhitungkan fase gelombang datang yang bergantung pada posisi $\mathbf{r}_1$ dan $\mathbf{r}_2$, lalu tentukan selisih fase antara kedua kontribusi difraksi di detektor, yang dinyatakan dalam $\mathbf{q}$ dan $\mathbf{r}$. Selisih fase didefinisikan sebagai $\Delta\phi\equiv\phi_1-\phi_2$, dengan $\phi_1$ dan $\phi_2$ adalah fase dari kontribusi elektron di $r_1$ dan $r_2$.

A S

A3 Nyatakan total amplitudo kompleks dari gelombang difraksi akibat kedua elektron ini dalam $\mathbf{q}$ dan $\mathbf{r}$. Anda dapat mengabaikan faktor fase bersama karena tidak mempengaruhi intensitas. Asumsikan bahwa komponan riil dari amplitudo gelombang difraksi dari sebuah elektron titik adalah konstan $f_0$, yang tidak bergantung pada posisi.

A S

A4 Nyatakan intensitas gelombang yang terdifraksi oleh kedua elektron tersebut dalam $\mathbf{q}$ dan $\mathbf{r}$.

A S

Bagian B: Koherensi longitudinal terbatas (model lompatan fase)

Tinjau dua elektron titik yang terletak pada posisi $\mathbf{r}_1$ dan $\mathbf{r}_2$, dengan $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$. Sebuah sinar dengan panjang gelombang $\lambda_0$ (dengan $k=2\pi/\lambda_0$ dan $\omega=2\pi c/\lambda_0$) menyinari kedua elektron dan gelombang difraksi diamati di daerah jauh sepanjang $\mathbf{k}_f$. Medan gelombang datang dimodelkan sebagai gelombang bidang dengan fase acak yang bergantung pada waktu,

$$E_i(\mathbf{r},t)=A\,\exp\!\left[i\left(\mathbf{k}_i\!\cdot\!\mathbf{r}-\omega t+\phi(t)\right)\right],$$

di mana $\phi(t)$ adalah fungsi fase yang bernilai konstan tetapi nilainya melompat secara acakuntuk setiap rentang waktu

$$t_0 \equiv \frac{L_0}{c},$$

dengan $L_0$ panjang koherensi longitudinal (yang diberikan). Pada awal setiap interval $t_0$, $\phi(t)$ direset ke nilai baru yang independen dan terdistribusi secara seragam pada $[0,2\pi)$. Jika $I_0$ menunjukkan intensitas (rata-rata waktu) pada detektor oleh satu elektron dalam geometri yang sama. Pada soal ini, detektor diasumsikan mengukur intensitas rata-rata waktu. Artinya, detektor tidak dapat membedakan lompatan fase acak individu. Sebaliknya, detektor mencatat rata-rata intensitas sesaat selama waktu yang jauh lebih lama daripada interval lompatan fase $t_0$ : $\langle I\rangle_t \equiv \left\langle |E(t)|^2 \right\rangle_t .$ Di sini$\langle \cdots \rangle_t$ menunjukkan rata-rata dari banyak interval lompatan fase.

B1 Dengan menggunakan model lompatan fase di atas, hitunglah intensitas total rata-rata waktu$\langle I\rangle_t$ pada detektor akibat kedua elektron dengan meninjau beberapa kondisi. Hasil akhir Anda harus ditulis dalam $\mathbf{q}\equiv \mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$, vektor pemisahan $\mathbf{r}$ , panjang gelombang $\lambda_0$, dan panjang koherensi $L_0$. Asumsikan detektor mengintegrasikan sinyal selama waktu jauh lebih lama dari $t_0 $.

A S H

Bagian C: Dampak partikel non-titik

Elektron sering dianggap sebagai partikel titik klasik, tetapi dalam model yang lebih realistis, muatannya dapat dianggap tersebar di wilayah ruang yang terbatas. Pertimbangkan dua distribusi muatan ideal: (i) muatan titik ideal yang terletak di $\mathbf r=0$, dengan amplitudo hamburan $A_1(\mathbf q)=Q_0$, (ii) distribusi muatan Gaussian $\rho_2(\mathbf r)=\rho_0\exp\!\left(-\frac{r^2}{R_0^2}\right), \qquad r=|\mathbf r|$.

Konstanta $Q_0$ dan$\rho_0$ dipilih sedemikian rupa sehingga muatan totalnya sama pada kedua kasus tersebut:

$$Q_0 = \int \rho_2(\mathbf{r}) d^3r.$$

Di sini $d^3 r$ melambangkan elemen volume dalam ruang tiga dimensi. Dalam koordinat Kartesius, $d^3r=dxdydz$ dan$\int_{\mathbb R^3}$ berarti integrasi atas seluruh ruang. Identitas-identitas yang berguna (dapat digunakan tanpa pembuktian):

$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/R_0^{2}}\,4\pi r^{2}\,dr=\pi^{3/2}R_0^{3}, \int_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\, d^3\mathbf r = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{k^2}{4\alpha}\right), \qquad \alpha>0.$$

C1 Tentukan hubungan antara $Q_0$, $\rho_0$, dan $R_0$.

A S

C2 Hitung amplitudo

$$A_2(\mathbf q)\equiv \int_{\mathbb R^3}\rho_2(\mathbf r)e^{i\mathbf q\cdot\mathbf r}\,d^3\mathbf r$$
dan bandingkan dengan amplitudo muatan titik $A_1(\mathbf q)=Q_0$.

A S H

C3 Hitunglah perbandingan intensitas difraksi, $\dfrac{I_2}{I_1}$, untuk kedua kasus ideal ini untuk $q = \dfrac{2}{R_0}$.

A S

Bagian D: Difraksi dari lapisan tipis dengan morfologi permukaan yang tidak rata

Bayangkan bahwa permukaan sebuah lapisan tipis (yaitu, lapisan atom teratas) tidak sepenuhnya rata, melainkan memiliki ketidakteraturan permukaan. Model umum adalah dengan mengasumsikan bahwa ketebalan film lokal (diukur dalam monolayer) mengikuti distribusi Gaussian. Misalkan$N$ menunjukkan jumlah monolayer yang terbentuk di dalam area koherensi lateral sinar. Kita mengasumsikan bahwa$N$ bervariasi di seluruh permukaan dan mengikuti distribusi normal dengan rata-rata$\bar N$ dan standard deviasi $\sigma$ (keduanya dalam satuan monolayer):

$$P(N)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[-\frac{(N-\bar N)^2}{2\sigma^2}\right].$$

(Untuk keperluan menghitung rata-rata, Anda dapat memperlakukan$N$ sebagai variabel kontinu.) Misalkan $d$ adalah jarak antar lapisan atom yang berdekatan (monolayer), dan misalkan $q_z$ menunjukkan komponen vektor $\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$ hamburan yang tegak lurus terhadap permukaan datar film, yaitu $q_z=\mathbf q\cdot\hat{\mathbf z}$. Untuk jumlah monolayer yang merupakan bilangan bulat $N$, amplitudo hamburan adalah

$$A_N(q_z)=\sum_{n=0}^{N-1} e^{iq_znd} =\frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}.$$

Saat menghitung rata-rata berdasarkan distribusi ketebalan Gauss, kita memperlakukan$N$ sebagai variabel kontinu (bilangan riil bukan integer) dan menggunakan persamaan

$$A_N(q_z)\equiv \frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}$$

Asumsikan bahwa intensitas difraksi yang diukur diperoleh dari amplitudo rata-rata koheren,

$$I(q_z)\equiv \bigl|\langle A(q_z)\rangle\bigr|^2, \qquad \langle A(q_z)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} P(N)\,A_N(q_z)\,dN.$$

D1 Hitung rasio intensitas

$$\frac{I(q_z,\sigma=0.4,\bar N=5)}{I(q_z,\sigma=0,\bar N=5)}$$
masing-masing untuk

$$q_z=\frac{\pi}{2d} \qquad\text{and}\qquad q_z=\frac{2\pi}{d},$$
Jika diperlukan, selidiki kasus kedua dengan mengambil batas limit yang sesuai.

A S H

Bagian E: Difraksi dari lapisan tipis dengan morfologi permukaan yang berubah-ubah

Bayangkan sebuah lapisan tipis dengan struktur kubik sederhana yang ditumbuhkan pada substrat secara lapis demi lapis, yaitu setiap monolayer diselesaikan sebelum monolayer berikutnya mulai tumbuh. Misalkan $d$ adalah jarak antar lapisan atom (monolayer) yang berdekatan, dan misalkan $q_z$ menunjukkan komponen $\mathbf{q}=\mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$ yang tegak lurus terhadap permukaan datar film, yaitu $q_z=\textbf{q}\cdot\hat{\textbf{z}}$. Saat film sedang ditumbuhkan, ketebalan film berubah, dan begitu pula intensitas difraksi pada $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$. Perhitungan dilakukan pada transfer momentum arah keluar bidang yang ditentukan, dan semua kontribusi monolayer dijumlahkan secara koheren.

E1 Jika film mulai tumbuh pada $t = 0$ dan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu lapisan tunggal adalah $t_0$, tentukan rasio intensitas difraksi

$$\frac{I(t = 0.8 t_0)}{I(t = 3.6 t_0)}$$
diukur pada $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$. Asumsikan bahwa selama setiap interval pertumbuhan lapisan tunggal, fraksi penutupan lapisan teratas meningkat secara linier dari 0 hingga 1, sehingga pada waktu $t=(N+\theta)t_0$, terdapat lapisan $N$ tunggal yang telah terbentuk dan fraksi penutupan $\theta$ lapisan tunggal berikutnya.

A S H