X선 회절 무늬는 결정 내부의 수많은 미세한 “파원”들이 서로 간섭하면서 생긴다. 이 간섭은 각 파원의 복소 진폭을 올바른 위상과 함께 더함으로써 예측할 수 있다. 실수값 진폭$A\ge0$와 위상 $\phi$로 특징지어지는 단색파를 생각해 보자. 복소 진폭 $\tilde{A}$를 다음과 같이 정의한다.
$$\tilde{A} = A e^{i\phi}.$$
따라서 파동의 실수값 진폭 $A$는 $\tilde{A}$의 크기(절대값)이며, $\phi$는 그 위상이다. 그러므로 $\tilde{A}$는 진폭의 크기와 위상을 하나의 복소수로 함께 나타낸다. 이 문제에서는 전체 복소 진폭의 크기의 제곱으로 무차원 세기를 다음과 같이 정의한다.
$$I = |\tilde{A}|^2 = A^2.$$
검출기 반응, 입사빔의 정규화, 공통 전파 인자와 같은 실험적·기하학적 비례상수들은 이 정의에 흡수되어 있다고 하자. 반면 한 전자에 의한 산란 진폭 $f_0$는 단일 점 전자에 의한 산란 진폭의 척도로서 명시적으로 남겨둔다.
결정 물질에 입사파를 비추면, 그 파동은 결정 격자에 의해 회절되고, 회절된 부분들은 서로 간섭한다. 그 결과 생기는 회절된 파동(회절파)의 세기는 각 회절파의 복소 진폭을 더하고, 이들 사이의 위상차를 고려한 뒤, 그 결과로 얻어지는 전체 복소 진폭의 크기의 제곱을 계산하여 구할 수 있다. 회절은 주로 전자와의 상호작용에서 생기며, 원자핵과 같은 더 무거운 입자들의 기여는 보통 무시할 수 있다. 단일 점 전자에 의해 회절된 파동의 진폭은 전자에서 검출기까지의 거리 $R = |\mathbf{R}|$에만 의존한다. $R $은 시료의 크기보다 훨씬 크므로, 시료 내부의 위치에 따른 $R $의 변화는 무시할 수 있다. 따라서 각각의 회절파 사이의 위상차를 올바르게 고려하면 전체 회절파를 정확하게 정할 수 있다. 이때 각 회절파의 진폭은 일정하다고 가정한다.
입사파와 회절파의 파수 벡터를 각각 $\mathbf{k}_i$, $\mathbf{k}_f$라고 하자. 파수 벡터 $\mathbf{k}_i$를 갖는 입사 평면파가 파수 벡터 $\mathbf{k}_f$를 갖는 파동으로 회절된다. 이때, 운동량 전달 벡터를 다음과 같이 정의된다.
$$\mathbf{q} = \mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i.$$
파장은 변하지 않는다고 가정하므로, 두 파수 벡터의 크기는 서로 같다.
$$\mathit{k}\equiv|\mathbf{k}_i| = |\mathbf{k}_f| = \frac{2\pi}{\lambda}.$$
위치 $\mathbf{r}_1$과 $\mathbf{r}_2$에 놓인 두개의 점 전자를 생각하고, $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$로 정의하자. 검출기는 $\mathbf{P}$에 놓여 있으며, $\mathbf{R}\equiv \mathbf{P}-\mathbf{r}_1$로 정의한다. 평면파 $E_i(\mathbf{r}')\propto e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}'}$가 두 전자에 입사하고, 회절파는 $\mathbf{k}_f$ 방향의 원거리 영역에서 관측된다. 파트 A에서는 상대적인 공간 위상만 중요하므로, 공통적인 시간 의존 인자 $e^{-i\omega t}$ 는 생략한다.
위치 $\mathbf{r}_1$과 $\mathbf{r}_2$에 놓인, 점입자처럼 취급되는 두 전자를 고려하고, $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$로 정의하자. 파장 $\lambda_0$ (즉 $k=2\pi/\lambda_0$ 이고 $\omega=2\pi c/\lambda_0$)인 빔이 전자들을 비추고, $\mathbf{k}_f$방향의 원거리 영역에서 회절파가 관측된다. 이때, 입사장을 시간 의존적인 무작위 위상을 가진 평면파로 다음과 같이 모형화하자.
$$E_i(\mathbf{r}',t)=A\,\exp\!\left[i\left(\mathbf{k}_i\!\cdot\!\mathbf{r}'-\omega t+\phi(t)\right)\right].$$
여기서 $\phi(t)$ 는 구간별로 일정한 값을 가지며, 일정한 시간 간격마다 무작위로 새로운 값으로 바뀐다고(위상 점프) 하자. 이 시간 간격은
$$t_0 \equiv \frac{L_0}{c}$$
이고 여기서 $L_0$는 빔의 진행방향(종방향)을 따라 유지되는 결맞음 길이이다. 길이 $t_0$인 각 시간 구간이 시작될 때마다 $\phi(t)$ 는 $[0,2\pi)$에서 균일하게 분포된 새로운 독립적인 값으로 다시 정해지고, 동일한 기하학적 조건에서 단일 전자에 의해 검출기에 도달할 시간 평균 세기를 $I_0$라고 하자. 이 문제에서 검출기는 시간 평균 세기를 측정한다고 가정한다. 즉 검출기는 각각의 무작위 위상 점프를 분해하여 측정하지 않는다. 대신 위상 점프 시간 간격 $t_0$보다 훨씬 긴 시간 동안 순간 세기의 평균을 다음과 같이 기록한다. $\langle I\rangle_t \equiv \left\langle |E(t)|^2 \right\rangle_t .$ 여기서 $\langle \cdots \rangle_t$ 는 많은 위상 점프 구간에 대한 평균을 나타낸다.
전자는 종종 고전적인 점입자로 취급된다. 그러나 보다 현실적인 모형에서는, 산란에 기여하는 전하 분포가 유한한 공간 영역에 퍼져 있다고 볼 수 있다. 다음 두 이상화된 전하 분포를 생각하자: (i) 위치 $\mathbf r=0$ 에 놓인 이상적인 점전하. 이 경우 산란 진폭은 $A_1(\mathbf q)=Q_0$이다. (ii) 다음과 같이 주어지는 확장된 가우시안 전하 분포 $\rho_2(\mathbf r)=\rho_0\exp\!\left(-\frac{r^2}{R_0^2}\right), \qquad r=|\mathbf r|$.
상수 $Q_0$와 $\rho_0$는 두 경우 모두 총 전하가 같아지도록 선택된다:
$$Q_0= \int \rho_2(\mathbf{r})\,d^3r.$$
여기서 $d^3 r$ 은 3차원 공간에서의 부피 요소를 나타낸다. 직교 좌표계에서 $d^3r=dxdydz$이고 $\int_{\mathbb R^3}$ 는 전체 공간에 대한 적분을 뜻한다. 다음 유용한 항등식들은 증명 없이 사용해도 좋다.
$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/R_0^{2}}\,4\pi r^{2}\,dr=\pi^{3/2}R_0^{3}, \int_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\, d^3\mathbf r = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{k^2}{4\alpha}\right), \qquad \alpha>0.$$
$$A_2(\mathbf q) ≡ \int_{\mathbb R^3} \rho_2(\mathbf r) e^{i\mathbf q \cdot \mathbf r} d^3\mathbf r$$
그리고 이를 점전하의 진폭 $A_1(\mathbf q)=Q_0$과 비교하시오.
박막의 표면(즉, 최상부 원자층)이 완벽하게 평평하지 않고 표면 거칠기를 가진다고 생각하자. 흔히 쓰이는 모형은 국소적인 박막 두께, 즉 단원자층(단일층)의 개수 단위로 측정한 두께가 가우시안 분포를 따른다고 가정하는 것이다. 빔의 횡방향 결맞음 영역 안에서 국소적으로 완성된 단원자층의 개수를 $N$이라고 하자. $N$은 표면을 따라 변하며, 평균 $\bar N$과 표준편차 $\sigma$를 갖는 정규 분포를 따른다고 가정하자. 여기서 $\bar N$과 $\sigma$는 모두 단원자층 개수 단위로 주어진다.
$$P(N)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[-\frac{(N-\bar N)^2}{2\sigma^2}\right].$$
평균을 계산할 때에는 $N$을 연속 변수로 취급할 수 있다. 인접한 원자층, 즉 단원자층 사이의 간격을 $d$라고 하고, 산란벡터 $\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$ 의 평평한 박막 표면에 수직한 성분을 $q_z$라고 하자 즉 $q_z=\mathbf q\cdot\hat{\mathbf z}$ 이다. 이때, 정수 개의 단원자층 $N$에 대해 산란 진폭은 다음과 같다.
$$A_N(q_z)=\sum_{n=0}^{N-1} e^{iq_znd} =\frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}.$$
가우시안 두께 분포에 대해 평균을 취할 때, $N$ 을 연속 변수로 취급하고, 다음의 닫힌 형태의 식을 그에 대응하는 연속적 확장으로 사용한다.
$$A_N(q_z)\equiv \frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}.$$
측정되는 회절 세기가 결맞게 평균한 진폭으로부터 얻어진다고 가정하면,
$$I(q_z)\equiv \bigl|\langle A(q_z)\rangle\bigr|^2, \qquad \langle A(q_z)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} P(N)\,A_N(q_z)\,dN.$$
$$\frac{I(q_z,\sigma=0.4,\bar N=5)}{I(q_z,\sigma=0,\bar N=5)}$$
이를 각각
$$q_z=\frac{\pi}{2d} \qquad\text{와}\qquad q_z=\frac{2\pi}{d},$$
에서 구하시오. 필요하다면 두 번째 경우는 적절한 극한을 취하여 계산하시오.
기판 위에서 층별 성장 방식으로 자라는 단순 입방 구조의 얇은 박막을 생각하자. 즉, 각 단원자층이 완성된 후에야 다음 단원자층의 성장이 시작된다. 인접한 원자층, 즉 단원자층 사이의 간격을 $d$라고 하자. 또한 $\mathbf{q}=\mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$ 의 평평한 박막 표면에 수직한 성분을 $q_z$라고 하자. 즉, $q_z=\textbf{q}\cdot\hat{\textbf{z}}$ 이다. 박막이 성장하는 동안 박막의 두께가 변하며, 이에 따라 $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$ 에서의 회절 세기도 변한다. 계산은 지정된 표면에 수직한 방향의 운동량 전달 성분에 대해 수행되며, 모든 단원자층의 기여는 결맞게 더해진다고 가정한다.
$$\frac{I(t = 0.8 t_0)}{I(t = 3.6 t_0)}.$$
여기서 세기는 $\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$ 에서 측정한다. 각 단원자층이 성장하는 시간 구간 동안, 맨 위층이 전체적으로 채워진 비율은 0에서 1까지 선형적으로 증가한다고 가정한다. 따라서 시간 $t=(N+\theta)t_0$에서 $N$개의 완성된 단원자층이 있고, 다음 단원자층은 $\theta$만큼 채워져 있다.