X射线衍射图谱的产生，是因为晶体内部许多微小的“波源”发生干涉。我们可以通过将这些波源的复振幅在相关相位下相加来预测这种X射线衍射。考虑一个单色波，它具有（实）振幅 $A\ge0$ 和相位$\phi$，我们定义 复振幅 $\tilde{A}$ 为
$$\tilde{A} = A e^{i\phi},$$
波的（实）振幅就是 $\tilde{A}$ 的大小 (绝对值)，相位为 $\phi$ 。由此，$\tilde{A}$ 巧妙地在一个复数中同时表示了波的大小和相位。在本题中，我们将无量纲强度定义为总复振幅
大小的平方：
$$I = |\tilde{A}|^2 = A^2.$$
该定义已涵盖了常见的实验和几何大小等的影响因素，例如探测器反应、入射束归一化和常见的传播因素。相比之下，单电子散射振幅 $f_0$ 则被明确保留下来，作为单点电子散射的振幅标度。
当晶体材料暴露于入射波时，波会被晶格衍射，并且各衍射部分之间会发生干涉。最终衍射波的强度可通过以下步骤计算：将所有单个衍射波的复振幅相加（考虑它们之间的相位差），然后对得到的总复振幅计算它的大小的平方。衍射主要源于与电子的相互作用，而来自较重粒子（如原子核）的贡献通常可以忽略不计。 单点电子衍射出的波的振幅仅取决于 $R = |\mathbf{R}|$ ，即电子到探测器的距离。由于 $R $ 该距离远大于样品的尺寸，因此其在样品上的变化可以忽略不计。因此，要精确确定总衍射波，只需正确计算各衍射波之间的相位差，而它们的振幅可视为常数。
设 $\mathbf{k}_i$ 和 $\mathbf{k}_f$ 分别表示入射波和衍射波的波向量。波向量为 $\mathbf{k}_i$ 的入射平面波衍射后形成波向量为 $\mathbf{k}_f$ 的波。动量传递定义为
$$\mathbf{q} = \mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i$$
且假设它们的大小相等，因为波长保持不变：
$$\mathit{k}\equiv|\mathbf{k}_i| = |\mathbf{k}_f| = \frac{2\pi}{\lambda}.$$
设两个点电子分别位于位置 $\mathbf{r}_1$ 和 $\mathbf{r}_2$ ，并定义 $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ 。探测器位于 $\mathbf{P}$ 点，并定义 $\mathbf{R}\equiv \mathbf{P}-\mathbf{r}_1$。一个平面波 $E_i(\mathbf{r})\propto e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}}$ 入射到这两个电子上，并在沿 $\mathbf{k}_f$ 方向的远场中观测到衍射波。在A部分中，省略共同的时间依赖因子 $e^{-i\omega t}$ ，因为仅涉及相对空间相位。
因为它不影响强度。假设单个点电子衍射波的实部振幅为常数 $f_0$，且与位置无关。
考虑两个位于位置 $\mathbf{r}_1$ 和 $\mathbf{r}_2$ 的点状电子，且 $\mathbf{r}\equiv \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ 。一束波长为 $\lambda_0$ （即 $k=2\pi/\lambda_0$ 且 $\omega=2\pi c/\lambda_0$）的光束照射这些电子，并在沿 $\mathbf{k}_f$ 方向的远场中观测到衍射波。我们将入射场建模为具有随时间变化的随机相位的平面波，
$$E_i(\mathbf{r},t)=A\,\exp\!\left[i\left(\mathbf{k}_i\!\cdot\!\mathbf{r}-\omega t+\phi(t)\right)\right],$$
其中 $\phi(t)$ 为 分段常量，并在持续时间为
$$t_0 \equiv \frac{L_0}{c},$$
其中 $L_0$ 为（给定的）纵向相干长度。在每个长度为 $t_0$的时间间隔开始时，$\phi(t)$ 被重置为一个新的独立值，该值均匀分布在 $[0,2\pi)$ 上。设 $I_0$表示在相同几何配置下，单个电子在探测器处产生的（时间平均）强度。 在此问题中，假设探测器测量的是时间平均强度。也就是说，它无法分辨单个随机的相位跃变。相反，它记录的是在远长于相位跃变间隔 $t_0$ 的时间尺度上瞬时强度的平均值：$\langle I\rangle_t \equiv \left\langle |E(t)|^2 \right\rangle_t .$ 这里 $\langle \cdots \rangle_t$ 表示对多个相位跃变间隔的平均。
假设探测器积分时间 $\gg t_0$。
电子通常被视为经典点粒子，但在更贴近实际的模型中，其电荷可被视为分布于一个有限的空间区域内。 考虑两种理想化的电荷分布：(i) 位于 $\mathbf r=0$ 处的理想点电荷，其散射振幅为 $A_1(\mathbf q)=Q_0$，(ii) 扩展的高斯电荷分布 $\rho_2(\mathbf r)=\rho_0\exp\!\left(-\frac{r^2}{R_0^2}\right), \qquad r=|\mathbf r|$。
其中常数 $Q_0$ 和 $\rho_0$ 的选择使得两种情况下的总电荷相等：
$$Q_0= \int \rho_2(\mathbf{r})\,d^3r.$$
$d^3 r$表示三维空间中的体积元。在笛卡尔坐标系中，$d^3r=dxdydz$ 及 $\int_{\mathbb R^3}$ 表示对整个空间的积分。有用的恒等式（可直接使用，无需证明）：
$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/R_0^{2}}\,4\pi r^{2}\,dr=\pi^{3/2}R_0^{3}, \int_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\, d^3\mathbf r = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{k^2}{4\alpha}\right), \qquad \alpha>0.$$
$$A_1(\mathbf{q}) \equiv \int_{\mathbb{R}^3} \rho_1(\mathbf{r})\,e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}\,d^3 r, \qquad A_2(\mathbf{q}) \equiv \int_{\mathbb{R}^3} \rho_2(\mathbf{r})\,e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}\,d^3 r。$$
并将其与点电荷的振幅 $A_1(\mathbf q)=Q_0$ 进行比较。
假设薄膜表面（即最上层的原子层）并非完全平整，而是存在表面粗糙度。 一种常见的模型是假设局部薄膜厚度（以单分子层为单位）服从高斯分布。设 $N$ 表示光束横向相干区域内已完成的单分子层数。我们假设 $N$ 在表面上随位置变化，且服从均值为$\bar N$ 、标准差为 $\sigma$ （均以单分子层为单位）的正态分布：
$$P(N)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\!\left[-\frac{(N-\bar N)^2}{2\sigma^2}\right].$$
（为了计算平均值，可以将 $N$ 视为连续变量）设 $d$ 为相邻原子层（单层）之间的间距，设 $q_z$ 表示散射向量 $\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$ 垂直于薄膜平面的分量，即 $q_z=\mathbf q\cdot\hat{\mathbf z}$。 当单层数 $N$ 为整数时，散射振幅为
$$A_N(q_z)=\sum_{n=0}^{N-1} e^{iq_znd} =\frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}.$$
在对高斯厚度分布进行求平均时，我们将 视为 $N$ 连续变量，并使用以下闭式表达式
$$A_N(q_z)\equiv \frac{1-e^{iq_zNd}}{1-e^{iq_zd}}$$
作为相应的连续扩展。假设测得的衍射强度来自相干平均振幅，
$$I(q_z)\equiv \bigl|\langle A(q_z)\rangle\bigr|^2, \qquad \langle A(q_z)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} P(N)\,A_N(q_z)\,dN.$$
计算强度比
$$\frac{I(q_z,\sigma=0.4,\bar N=5)}{I(q_z,\sigma=0,\bar N=5)}$$
$$$$
如有必要，可通过求取相应的极限来求解第二个情况。
设想一层具有简单立方结构的薄膜，以逐层生长的方式生长在基底上，即每层单分子层生长完成后，下一层单分子层才开始生长。 设 $d$ 为相邻原子层（单层）之间的间距，设 $q_z$表示 垂直于 $\mathbf{q}=\mathbf{k}_f-\mathbf{k}_i$ 薄膜平面的分量，即 $q_z=\textbf{q}\cdot\hat{\textbf{z}}$ 。随着薄膜的生长，薄膜的厚度发生变化，$\textbf{q}=\dfrac{\pi}{d}\hat{\textbf{z}}$ 处的衍射强度也会随之变化。计算是在指定的面外动量转移下进行的，且所有单层的贡献均被相干地叠加。