مقدمة

من المعروف منذ العصور القديمة أن محور دوران الأرض يدور قبل دوران الأرض. أي أن المحور نفسه يدور حول الخط العمودي على مستوى مسير الشمس، أي المستوى الذي يحتوي على مدار الأرض حول الشمس. وخلص عالم الفلك اليوناني القديم هيبارخوس إلى أن الإزاحة الزاوية السنوية للمحور تبلغ حوالي 45 بوصة (ثانية قوسية)، وهو ما يعني أن فترة السبق المحوري تبلغ حوالي 29000 سنة. تشير القياسات الحديثة إلى أن الفترة تبلغ حوالي 25800 سنة. في هذه المسألة، طُلب منك في هذه المسألة دراسة هذه الظاهرة باستخدام الميكانيكا النيوتونية.

قد تحتاج إلى الثوابت التالية:

• ثابت الجاذبية: $G=6.67\times10^{-11}\:\textrm{Nm}^2 / \textrm{kg}^2$
• متوسط نصف قطر الأرض: $R=6.371\times10^6\:\textrm{m}$
• كتلة الأرض: $M_E=5.972\times10^{24}\:\textrm{kg}$
• متوسط مسافة الشمس من الأرض: متوسط مسافة الشمس من الأرض: $d_{SE}=1.496\times10^{11}\:\textrm{m}$
• كتلة الشمس: $M_S=1.989\times10^{30}\:\textrm{kg}$
• متوسط مسافة القمر من الأرض: متوسط مسافة القمر من الأرض: $d_{ME}=3.844\times10^8\:\textrm{m}$
• كتلة القمر: $M_M=7.348\times10^{22}\:\textrm{kg}$
• الميل المحوري للأرض $\alpha=23.5^{\circ}$

الجزء أ. شكل الأرض (0.1 نقطة)

تمارس الشمس والقمر عزم دوران غير صفري على الأرض بسبب شكلها غير الكروي، مما يؤدي إلى حدوث السبق المحوري. السبب الرئيسي وراء الشكل غير الكروي للأرض هو قوة الطرد المركزي الناجمة عن دوران الأرض حول محورها. وقد تشوَّهت الصفائح التكتونية الموجودة على سطح الأرض على مدى ملايين السنين لتقليل الإجهاد داخلها. لذلك، على سبيل التقريب، دعونا نمثل الأرض كقطرة سائلة كبيرة ذات كثافة منتظمة يتحدد شكلها بقوى الطرد المركزي وقوى الجاذبية. وفي هذا النموذج، يكون سطح الأرض كرويًا مفلطحًا (إهليلجي الشكل) يتميز بنصف القطر القطبي $R_p$ ونصف القطر الاستوائي $R_e$ (انظر الشكل1-A).

الفرق بين نصف القطر الاستوائي والقطبي للأرض، $h_\textrm{max}=R_e-R_p $ أصغر بكثير من متوسط نصف القطر $R=(R_e+R_p)/2$. حتى عامل بلا أبعاد، يمكن التعبير عن قيمة $h_\textrm{max}$ بدلالة السرعة الزاوية لدوران الأرض $\omega$ وكتلتها $M_E$ ومتوسط نصف القطر $R$ على النحو التالي

$$h_\textrm{max}\propto G^{-1} \omega^\beta M_E^\gamma R^\delta,$$

حيث $G$ هو ثابت الجاذبية، و $\beta$ و $\gamma$ و $\delta$ هي أسس ثابتة.

A1  ^0.80 أوجد قيم الأسس $\beta$ و $\gamma$ و $\delta$.

A2  ^0.20 احسب القيمة العددية لـ $h_\textrm{max}$ بافتراض أن العامل الذي لا أبعاد له في العلاقة المذكورة أعلاه يساوي 1.

بغض النظر عما إذا كنت قادرًا على إيجاد $h_{\textrm{max}}$ في الجزء A-2، استخدم القيمة التجريبية $h_{\textrm{max}}=21~\textrm{km}$ في الأسئلة التالية.

الجزء (B) مجال الجاذبية المتوسط الزمني للشمس (2.3 نقطة)

لمعرفة السبب في أن الشمس تمارس عزم دوران غير صفري (بالنسبة إلى مركز الأرض) على كوكبنا، انظر إلى الشكل B-1 أدناه. فالفرق في المسافة من الشمس يجعل قوة الجاذبية $F_1$ أكبر من نظيرتها $F_2$.

يتغيَّر مقدار عزم الدوران المؤثِّر على الأرض باستمرار خلال السنة. في الموضع الموضَّح في الشكل B-1، يبلغ عزم الدوران الحد الأقصى، وبعد ربع سنة، وبسبب التماثل، يصبح عزم الدوران صفرًا. وبعد نصف سنة، يصل العزم إلى الحد الأقصى مرة أخرى، وبعد ثلاثة أرباع السنة يساوي صفرًا مرة أخرى، وهكذا. وبما أن فترة السبق المحوري أكبر بكثير من سنة واحدة، فيمكن تقريب عزم الدوران المعتمد على الزمن هذا بمتوسطه في سنة واحدة.

ولحساب متوسط عزم الدوران الذي تمارسه الشمس على الأرض، دعونا نحدد أولاً المتوسط الزمني لمجال الجاذبية الذي تولده الشمس في المنطقة المجاورة للأرض. يمكن حساب هذا المتوسط على أنه مجال حلقة كثيفة منتظمة الكتلة، حلقة الشمس، كتلتها تساوي كتلة الشمس $M_S$ ونصف قطرها يساوي متوسط المسافة بين الشمس والأرض $d_{SE}$ (انظر الشكل B-2).

لنفترض أن نظام الإحداثيات الأسطواني لدينا يقع نقطة الأصل عند مركز الأرض، وليكن المحور $z$ عموديا على المستوى الكسوفي (أي مستوى الحلقة). يصنع محور دوران الأرض زاوية $\alpha=23.5^\circ$ مع المحور $z$.

B1  ^1.00 أوجد اتجاه ومقدار مجال الجاذبية الناتج عن حلقة الشمس عند نقطة على المحور $z$. اكتب إجابتك بدلالة $M_S$ ، $d_{SE}$ ، والإحداثي $z$. افترض أن $\vert z \vert \ll d_{SE}$.

B2  ^2.20 أوجد اتجاه ومقدار مجال الجاذبية الناتج عن حلقة الشمس عند نقطة في مستوى مسير الشمس التي تبعد عن نقطة الأصل $r$. افترض أن $r \ll d_{SE}$.

الجزء (C) عزم الدوران المؤثر على الأرض (6.2 نقطة)

في هذا القسم، مطلوب منك في هذا الجزء تحديد عزم الدوران المؤثِّر على الأرض بسبب مجال الجاذبية الذي حصلنا عليه في الجزء B. وللتبسيط، اعتبر الأرض جسمًا جاسئًا بتوزيع كتل متجانس. دعونا نأخذ في الاعتبار أنه يمكن تخيل الشكل الإهليلجي الدوراني كما لو أننا أزلنا الأجزاء الزائدة من كرة نصف قطرها الاستوائي للأرض $R_e$ (انظر الشكل C-1).

C1  ^0.80 أوجد الكتلة $m$ لإحدى المنطقتين الزائدتين المشار إليهما في الشكل C-1. عبِّر عن إجابتك بدلالة $h_\textrm{max}$ ، وكتلة الأرض $M_E$ ، ونصف قطرها القطبي $R_p$.

يمكن توضيح أن عزم الدوران المؤثر على المناطق الزائدة يكافئ عزم الدوران المؤثر على كتلتين نقطيتين، كتلة كل منهما تساوي $2m/5$ ، موضوعة عند نقطتي النهاية $A$ و $B$ من القطر القطبي (انظر الشكل1-C).

C2  ^1.80 بمراعاة هذه الفكرة، أوجد عزم الدوران $\tau$ الذي تمارسه حلقة الشمس على الأرض. عبِّر عن إجابتك بدلالة $M_E$ و $M_S$ و $d_{SE}$ و $R$ (متوسط نصف القطر) و $h_{\textrm{max}}$ والزاوية $\alpha$. يمكنك استخدام ذلك $h_\textrm{max}\ll R$.

الجزء (D) السرعة الزاويّة لسبق محور الأرض (0.2 نقطة)

يتحرّك محور دوران الأرض ببطء شديد حول المحور $z$ في حركة مخروطية. أي أنها تتحرك بشكل مخروطي.

D1  ^1.80 اكتب تعبيرًا عن الفترة $T_1$ من سبق محور الأرض. عبِّر عن إجابتك بدلالة $M_S$ و $d_{SE}$ والسرعة الزاوية $\omega$ لدوران الأرض $h_\textrm{max}$ و $R$ و $\alpha$.

D2  ^0.20 احسب فترة السبق $T_1$ بالسنوات.

الجزء E تأثير القمر (2.1 نقطة)

القيمة التي حصلنا عليها في الجزء (D) أكبر بكثير من القيمة المرصودة. والسبب في ذلك هو أننا حتى الآن لم نأخذ في الاعتبار سوى عزم الدوران الذي تؤثِّر به الشمس، وأهملنا تأثير القمر. في العمليات الحسابية التالية، نفترض أن مدار القمر يقع في مستوى مسير الشمس، وأن مدار القمر حول الأرض دائرة نصف قطرها $d_{ME}$. ولنرمز إلى كتلة القمر بـ $M_M$ وفترة السبق في هذا النموذج المعدل بـ $T_2$.

E1  ^1.00 ما هو العامل $T_2/T_1 $ الذي تتغير به فترة سبق محور الأرض إذا أخذنا في الاعتبار أيضًا عزم الدوران الذي يبذله القمر؟ أعط إجابتك بدلالة $d_{ME}$ و $d_{SE}$ و $M_S$ و $M_M$.

E2  ^0.20 بالاستعاضة عن البيانات، احسب فترة السبق $T_2$ بالسنوات.