Giriş

Dünya'nın dönüş ekseninin devinim (precession) yaptığı eski zamanlardan beri bilinmektedir. Yani eksenin kendisi ekliptik düzleme, yani Dünya'nın Güneş etrafındaki yörüngesini içeren düzleme dik olan çizgi etrafında döner. Antik Yunan astronomu Hipparkus, eksenin yıllık açısal yer değiştirmesinin yaklaşık 45'' (yay saniyesi) olduğu sonucuna varmıştır; bu da eksenel devinim periyodunun yaklaşık 29000 yıl olduğu anlamına gelir. Modern ölçümler periyodun yaklaşık 25800 yıl olduğunu göstermektedir. Bu problemde, bu olguyu Newton mekaniğini kullanarak araştırmanız istenmektedir.

Aşağıdaki sabitlere ihtiyacınız olabilir:

• evrensel çekim sabiti: $G=6.67\times10^{-11}\:\textrm{Nm}^2 / \textrm{kg}^2$
• Dünya'nın ortalama yarıçapı: $R=6.371\times10^6\:\textrm{m}$
• Dünya'nın kütlesi: $M_E=5.972\times10^{24}\:\textrm{kg}$
• Güneş ile Dünya arasındaki ortalama mesafe: $d_{SE}=1.496\times10^{11}\:\textrm{m}$
• mass of the Sun: $M_S=1.989\times10^{30}\:\textrm{kg}$
• Ay ile Dünya arasındaki ortalama mesafe: $d_{ME}=3.844\times10^8\:\textrm{m}$
• Ay'ın kütlesi: $M_M=7.348\times10^{22}\:\textrm{kg}$
• Dünya'nın eksen eğikliği: $\alpha=23.5^{\circ}$

Part A. Dünya'nın şekli

Güneş ve Ay, Dünya'nın küresel olmayan şekli nedeniyle Dünya'ya sıfırdan farklı torklar uygular ve bu da eksenel devinimlerine (precession) yol açar. Dünya'nın küresel olmayan şeklinin ardındaki temel neden, Dünya'nın ekseni etrafında dönmesiyle oluşan merkezkaç kuvvetidir. Dünya yüzeyinde bulunan tektonik plakalar, içlerindeki stresi en aza indirmek için milyonlarca yıl boyunca deforme olmuştur. Bu nedenle, bir yaklaşım olarak, Dünya'yı, şekli merkezkaç ve yerçekimi kuvvetleri tarafından belirlenen, homojen yoğunluğa sahip büyük bir sıvı damlacığı olarak modelleyelim. Bu modelde, Dünya'nın yüzeyi, kutup yarıçapı $R_p$ ve ekvator yarıçapı $R_e$ ile karakterize edilen bir yassı küredir (döndürülmüş elipsoid) (bkz. Şekil A.1).

Ekvator ve kutup yarıçapının farkı $h_\textrm{max}=R_e-R_p $, ortalama yarıçaptan $R=(R_e+R_p)/2$ çok küçüktür. $h_\textrm{max}$ değeri birimsiz bir sabite kadar Dünya'nın açısal hızı $\omega$, kütlesi $M_E$ ve ortalama yarıçapı $R$ cinsinden ifade edilebilir.

$$h_\textrm{max}\propto G^{-1} \omega^\beta M_E^\gamma R^\delta,$$

burada $G$ evrensel çekim sabiti ve $\beta$, $\gamma$ ve $\delta$ üslerdeki sabitlerdir.

A1  ^0.80 $\beta$, $\gamma$ ve $\delta$ üslerinin değerlerini bulunuz.

A2  ^0.20 Yukarıda verilen eşitlikteki birimsiz sabiti 1 alarak $h_\textrm{max}$'ın sayısal değerini hesaplayınız.

Part A.2'de $h_{\textrm{max}}$ değerini bulup bulamamanızdan bağımsız olarak, sorunun geri kalanında deneysel değeri $h_{\textrm{max}}=21~\textrm{km}$ kullanınız.

Part B. Güneş'in zaman ortalamalı yerçekimi alanı

Güneş'in gezegenimize (Dünya'nın merkezine göre) neden sıfırdan farklı bir tork oluşturduğunu görmek için aşağıdaki Şekil B.1'e bakınız. Güneş'ten olan uzaklık farkından dolayı $F_1$ yerçekimi kuvveti, muadili olan $F_2$ kuvvetinden büyük olur.

Dünya üzerinde etki eden bu torkun büyüklüğü yıl boyunca sürekli olarak değişir. Şekil B.1'de gösterilen konumda tork maksimumdur, çeyrek yıl sonra simetri nedeniyle tork sıfır olur. Yarım yıl sonra tekrar maksimuma ulaşır, üç çeyrek yıl sonra tekrar sıfır olur ve böyle devam eder. Eksenel devnimin (precession) periyodu bir yıldan çok daha büyük olduğundan, bu zamana bağlı tork bir yıllık ortalamasıyla iyi bir şekilde yaklaşıklanabilir.Güneş'in Dünya üzerinde uyguladığı ortalama torku hesaplamak için önce kütle çekim alanının zaman ortalamasını belirleyelim

Güneş'in Dünya'ya uyguladığı ortalama torku hesaplamak için, önce Güneş'in Dünya civarında oluşturduğu kütle çekim alanının zaman ortalamasını belirleyelim. Bu ortalama, kütlesi Güneş'in kütlesi $M_S$'e eşit olan ve yarıçapı Güneş ile Dünya arasındaki ortalama mesafe $d_{SE}$'ye eşit olan, eşit yoğunluklu bir kütle halkası olan Güneş halkasının alanı olarak hesaplanabilir
(bkz. Şekil B.2).

Silindirik koordinat sistemimizin merkezinin Dünya'nın merkezinde olduğunu ve $z$
ekseninin ekliptik düzlemine (yani halkanın düzlemine) dik olduğunu varsayalım. Dünya'nın dönme ekseni $z$
ekseniyle $\alpha=23.5^\circ$
açısı yapmaktadır.

B1  ^1.00 Güneş halkasının $z$ ekseni üzerindeki bir noktada oluşturduğu yerçekimi alanının yönünü ve büyüklüğünü bulunuz. Cevabınızı $M_S$, $d_{SE}$ ve $z$ koordinatı cinsinden veriniz. $\vert z \vert \ll d_{SE}$ varsayınız.

B2  ^2.20 Güneş halkasının ekliptik düzlemde merkezden $r$ kadar uzakta oluşturduğu yerçekimi alanının yönünü ve büyüklüğünü bulunuz. $r \ll d_{SE}$ varsayınız.

Part C. Dünya'ya etki eden tork (2.6 points)

Bu bölümde, Part B'de elde edilen yerçekimi alanı nedeniyle Dünya'ya uygulanan torku belirlemeniz isteniyor. Basitleştirmek için, Dünya'yı homojen kütle dağılımına sahip katı bir cisim olarak ele alalım. Dönme elipsoidinin, Dünya'nın ekvator yarıçapı $R_e$'ye sahip bir küreden fazla (excess) parçaları çıkarmışız gibi düşünülebileceğini hesaba katalım Re
(bkz. Şekil C.1).

C1  ^0.80 Şekil C.1'de belirtilen iki fazla bölgeden birinin kütlesi $m$'yi bulun. Cevabınızı $h_\textrm{max}$, Dünya'nın kütlesi $M_E$

ve kutup yarıçapı $R_p$ cinsinden ifade edin.

Fazla bölgelere (excess regions) etki eden torkun, her biri $2m/5$'e eşit kütleye sahip olan ve kutup çapının $A$ ve $B$ uç noktalarına yerleştirilmiş iki nokta kütlesine etki eden torka eşdeğer olduğu gösterilebilir (bkz. Şekil C.1).

C2  ^1.80 Bu fikir verildiğinde, Güneş halkasının Dünya'ya uyguladığı tork $\tau$'yi bulun. Cevabınızı $M_E$, $M_S$, $R$(ortalama yarıçap), $h_{\textrm{max}}$ve açı $\alpha$

cinsinden ifade edin. $h_\textrm{max}\ll R$

olarak kullanabilirsiniz.

Part D. Dünya ekseninin presesyon açısal hızı (2.0 points)

Dünya'nın dönme ekseni $z$ ekseni etrafında konik bir hareketle çok yavaş hareket eder. Yani, devinim (precess) yapar.

D1  ^1.80 Dünya ekseninin presesyon periyodu $T_1$ için bir ifade verin. Cevabınızı $M_S$

, $d_{SE}$, Dünya'nın dönüşünün açısal hızı $\omega$, $h_\textrm{max}$, $R$ ve $\alpha$ cinsinden ifade edin.

D2  ^0.20 Presesyon periyodu $T_1$'i yıl olarak hesaplayın.

Part E. Ayın Etkisi (1.2 points)

Part D'de elde edilen değer, gözlemlenen değerden çok daha büyüktür. Bunun nedeni, şimdiye kadar yalnızca Güneş tarafından uygulanan torku dikkate almış olmamız ve Ay'ın etkisini ihmal etmiş olmamızdır. Aşağıdaki hesaplamalarda, Ay'ın yörüngesinin ekliptik düzlemde olduğunu ve Ay'ın Dünya etrafındaki yörüngesinin yarıçapı $d_{ME}$ olan bir daire olduğunu varsayalım. Ay'ın kütlesini $M_M$ ile ve bu değiştirilmiş modeldeki presesyon periyodunu $T_2$ ile gösterelim.

E1  ^1.00 Ay'ın uyguladığı torku da hesaba katarsak Dünya ekseninin presesyon periyodu hangi $T_2/T_1 $ faktörü kadar değişir? Cevabınızı $d_{ME}$, $d_{SE}$, $M_S$ ve $M_M$ cinsinden veriniz.

E2  ^0.20 Verileri yerine koyarak $T_2$ presesyon periyodunu yıl olarak hesaplayınız.