自古以来，人们就知道地球的自转轴（地轴）在进动。也就是说，地轴本身绕着垂直于黄道面的直线（黄道面的法线）旋转，所谓黄道面，即包含地球绕太阳运行轨道的平面。古希腊天文学家希帕克斯（Hipparchus）认为，地轴每一年的角位移约为 45''（弧秒），这意味着地轴进动的周期约为 29000 年。现代测量表明，该进动周期约为 25800 年。在本题中，要求考生使用牛顿力学来研究这一现象。
您可能需要以下常数：
由于地球不是严格的球形，太阳和月球会对地球产生非零力矩，从而引起地轴的进动。地球不是球形的主要原因是：地球绕地轴旋转时产生的离心力。位于地球表面的构造板块经过数百万年的变形，将板块内部的应力降至最低。因此，作为一种近似方法，我们可以建立一个模型：将地球看做一个密度均匀的大液滴，其形状由离心力和重力决定。在这个模型中，地球表面是一个扁球体（旋转椭圆体），其特征是极半径$R_p$ 和赤道半径$R_e$ （见图 A.1）。
地球赤道半径与极地半径之差$h_\textrm{max}=R_e-R_p $ 远远小于平均半径$R=(R_e+R_p)/2$ 。$h_\textrm{max}$ 的值可以用地球自转的角速度$\omega$ 、质量$M_E$ 和平均半径$R$ 表示为（乘以一个无量纲比例系数）
$$h_\textrm{max}\propto G^{-1} \omega^\beta M_E^\gamma R^\delta,$$
其中，$G$ 是引力常数，$\beta$、$\gamma$ 和$\delta$ 是常数指数。
无论你能否在A.2 部分中求出$h_{\textrm{max}}$ ，请在下面的各问中使用经验值$h_{\textrm{max}}=21~\textrm{km}$ 。
要了解为什么太阳会对我们的星球产生非零力矩（相对于地球中心），请看下图 B.1。由于与太阳的距离不同，导致引力$F_1$ 大于对面的引力$F_2$ 。
作用在地球上的这一力矩的大小在一年中不断变化。在图 B.1 所示的位置，力矩最大，四分之一年后，由于对称性，力矩变为零。半年后，力矩再次达到最大值，四分之三年后，力矩再次变为零，依此类推。由于地轴进动的周期远大于一年，这种随时间变化的力矩可以很好地用一年的平均值来近似。
要计算太阳对地球施加的平均力矩，我们首先需要确定太阳在地球附近产生的引力场的时间平均值。这个平均值可以这么计算：计算一个均匀致密的质量环–太阳环的场，其质量等于太阳的质量$M_S$ ，半径等于太阳与地球之间的平均距离$d_{SE}$ （见图 B.2）。
设立柱坐标系，以地球中心为原点，让$z$ 轴垂直于黄道面（即环面）。地球自转轴与$z$ 轴夹角为$\alpha=23.5^\circ$ 。
本小问中，要求考生求出引力场（第B部分求出了）对地球施加的力矩。为简单起见，将地球视为质量分布均匀的刚体。我们可以把旋转椭球体比作是一个半径为地球赤道半径$R_e$ 的球体上切除了多余部分（见图 C.1）。
可以看出，作用在多余区域上的力矩等同于作用在两个点质量上的力矩，每个点质量等于$2m/5$ ，分别位于极径的端点$A$ 和$B$ （见图 C.1）。
地球的自转轴围绕$z$ 轴做圆锥运动，速度非常缓慢。也就是说，它在进动。
D 部分得到的数值远大于观测值。这是因为：到目前为止，我们只考虑了太阳施加的力矩，而忽略了月球的影响。在下面的计算中，假设月球轨道在黄道面上，月球绕地球的轨道是一个半径为$d_{ME}$ 的圆。我们用$M_M$ 表示月球的质量，用$T_2$ 表示这个修正模型中的进动周期。