Танилцуулга

Эрт дээр үеэс Дэлхийн эргэлтийн тэнхлэг нь прецесс хийдгийг мэдэж байсан. Тодруулбал, Дэлхийн хоногийн эргэлтийн тэнхлэг нь, Нарыг тойрох орбитын хавтгайн буюу эклиптик (шар замын) хавтгайн нормалыг тойрон эргэдэг байна. Эртний Грекийн одон орон судлаач Гиппарх, энэхүү тэнхлэг нь нэг жилийн хугацаанд, ойролцоогоор 45'' (арксекунд) өнцгөөр шилждэг гэж тогтоосон бөгөөд энэ нь уг тэнхлэгийн нэг бүтэн прецесс хийх хугацаа 29000 орчим жил байна гэсэн үг юм. Орчин үеийн нарийн хэмжилтүүдээс энэ хугацаа нь ойролцоогоор 25800 жил болохыг тогтоосон байна. Энэ бодлогод Ньютоны механик ашиглан дээрх үзэгдлийг судлах болно.

Дараах тогтмолуудыг ашиглаж болно:

• Гравитацын тогтмол: $G=6.67\times10^{-11}\:\textrm{Nm}^2 / \textrm{kg}^2$
• Дэлхийн дундаж радиус: $R=6.371\times10^6\:\textrm{m}$
• Дэлхийн масс: $M_E=5.972\times10^{24}\:\textrm{kg}$
• Дэлхийгээс нар хүртэлх дундаж зай: $d_{SE}=1.496\times10^{11}\:\textrm{m}$
• Нарны масс: $M_S=1.989\times10^{30}\:\textrm{kg}$
• Сарнаас Дэлхий хүртэлх дундаж зай: $d_{ME}=3.844\times10^8\:\textrm{m}$
• Сарны масс: $M_M=7.348\times10^{22}\:\textrm{kg}$
• Дэлхийн тэнхлэгийн хазайлт: $\alpha=23.5^{\circ}$

А хэсэг. Дэлхийн хэлбэр (1.0 оноо)

Дэлхийн хэлбэр нь төгс-бөмбөрцөг биш учраас Нар болон Сарны зүгээс Дэлхийд үйлчлэх хүчний момент тэгээс ялгаатай болж, үүнээс улбаалан тэнхлэгийн прецесс үүсдэг. Дэлхий бөмбөрцөг хэлбэртэй биш байгаагийн гол шалтгаан нь түүний тэнхлэгээ тойрох эргэлтээс үүдэлтэй төвөөс зугтах хүч юм. Дэлхийн гадаргуу дээрх тектоник хавтангууд нь өөр хоорондын дотоод стрессээ багасгахын тулд олон сая жилийн туршид деформацид орсон байдаг. Тиймээс Дэлхийг жигд нягттай, том шингэн дусал мэт бөгөөд хэлбэр нь төвөөс зугтах болон гравитацын хүчээр тодорхойлогдоно гэж загварчилж болно. Энэ загвар ёсоор Дэлхийн гадарга нь $R_p$ туйлын радиус, ба $R_e$ экваторын радиус бүхий шахагдсан-бөмбөрцөг (эргэлтийн эллипсоид) хэлбэртэй болно (Зураг А.1-ийг үзнэ үү).

Дэлхийн экваторын ба туйлын радиусын ялгаа $h_\textrm{max}=R_e-R_p $ нь дундаж радиус $R=(R_e+R_p)/2$-аас олон дахин бага байна. $h_\textrm{max}$-ийн утгыг Дэлхийн эргэлтийн өнцөг хурд $\omega$, масс$M_E$, дундаж радиус $R$ болон ямар нэг нэгжгүй факторын үржвэрээр илэрхийлж болно.

$$h_\textrm{max}\propto G^{-1} \omega^\beta M_E^\gamma R^\delta,$$

үүний $G$ нь гравитацын тогтмол, ба $\beta$, $\gamma$ болон $\delta$ нь тогтмол зэрэг байна.

A1  ^0.80 $\beta$, $\gamma$ болон $\delta$ зэргүүдийг хэмжээсийн аргаар тодорхойл.

A2  ^0.20 Дээр дурдагдсан ямар нэг нэгжгүй үржвэрийг 1-тэй тэнцүү гэж үзээд $h_\textrm{max}$-ийн тоон утгыг тооцоолж ол.

А.2 хэсэгт $h_{\textrm{max}}$-ийг олж чадсан эсэхээс үл хамааран, хэмжилтийн $h_{\textrm{max}}=21~\textrm{km}$ утгыг ашиглан дараах асуултуудад хариулаарай.

Б хэсэг. Хугацаагаар дундчилсан Нарны гравитацын орон (3.2 оноо)

Нарнаас манай гарагт үйлчлэх (Дэлхийн төвтэй харьцангуй) хүчний момент яагаад тэгээс ялгаатай байгааг судлахын тулд дараах зураг В.1-ийг авч үзье. Нарнаас алслах зайны зөрөөтэй байдлаас болж гравитацын $F_1$ хүч нь эсрэг тал дахь $F_2$ хүчнээсээ их байна.

Дэлхийд үйлчилж буй энэхүү хүчний моментийн хэмжээ нь жилийн туршид тасралтгүй өөрчлөгдөнө. Зураг B.1-д үзүүлсэн байрлалд хүчний момент хамгийн их утгатай байх бол жилийн дөрөвний нэгийн дараа тэгш хэмт байдлаас болж хүчний момент тэгтэй тэнцүү болно. Хагас жилийн дараа дахин хамгийн их утгадаа хүрнэ, жилийн дөрөвний гурвын дараа дахин тэгтэй тэнцүү болно гэх мэт. Эргэлтийн тэнхлэгийн прецессийн үе нь нэг жилээс олон дахин их тул, хүчний момент ийнхүү хугацаанаас хамаарч өөрчлөгддөг хэдий ч, нэг жилийн дундаж утгаар нь орлуулан ойролцоолж болно.

Нарнаас Дэлхийд үйлчилж буй хүчний моментийн дунджийг тооцоолохын тулд эхлээд Дэлхий орчимд Нарны үүсгэх гравитацын орны хугацаагаар авсан дунджийг тодорхойлъё. Энэ дунджийг тооцоолох нь Нарныхтай тэнцүү $M_S$ масс бүхий, жигд шугаман нягттай, Дэлхийгээс Нар хүртэлх $d_{SE}$ зайтай тэнцүү радиус бүхий, Дэлхийг тойрсон цагаригийн (Нарны цагариг гэе) үүсгэх орныг тооцоолохтой адилхан (Зураг B.2-ыг үзнэ үү).

Дэлхийн төв дээр эхтэй, шар замын хавтгайд (тодруулбал: цагаригийн хавтгайд) перпендикуляр чигт $z$ тэнхлэг нь орших цилиндр тооллын систем сонгож авъя. Дэлхийн эргэлтийн тэнхлэг нь $z$ тэнхлэгтэй $\alpha=23.5^\circ$ өнцөг үүсгэнэ.

B1  ^1.00 $z$ тэнхлэг дээр орших цэгт Нарны цагаригийн үүсгэх гравитацын орны хүчлэг ямар чиглэлтэй, ямар хэмжээтэй байхыг тодорхойл. Хариугаа $M_S$, $d_{SE}$, болон $z$ координатаар илэрхийлж бич. $\vert z \vert \ll d_{SE}$ гэж үз.

B2  ^2.20 Шар замын хавтгайд, тооллын эхээс $r$ зайд орших цэгт Нарны цагаригийн үүсгэх гравитацын орны хүчлэг ямар чиглэлтэй, ямар хэмжээтэй байхыг тодорхойл. $r \ll d_{SE}$ гэж үз.

Хэсэг C. Дэлхийд үйлчлэх хүчний момент (2.6 оноо)

Энэ хэсэгт В хэсэгт олж авсан гравитацын орны зүгээс Дэлхийд үйлчлэх хүчний моментийг тооцоолох болно. Хялбарчлах үүднээс Дэлхийг жигд нягттай хатуу биет гэж үзье. Эргэлтийн эллипсоид дүрсийг, Дэлхийн экваторын $R_e$ радиустай тэнцүү радиус бүхий бөмбөрцгөөс илүүдэл хэсгийг нь огтолж авсантай адилхан гэж зүйрлүүлж болно (Зураг C.1-ийг үзнэ үү).

C1  ^0.80 Зураг С.1-д дүрсэлсэн хоёр илүүдэл хэсгийн нэгнийх $m$ массыг ол. Хариугаа $h_\textrm{max}$, Дэлхийн масс $M_E$, болон туйлын радиус $R_p$-аар илэрхийлж бич.

Илүүдэл хэсэг бүрт үйлчлэх нийт хүчний момент нь, туйлуудыг холбосон диаметрийн $A$ болон $B$ төгсгөлүүд дээр байрлах $2m/5$ масс бүхий материал цэгүүдэд үйлчлэх хүчний моменттой тус тус тэнцүү болохыг үзүүлж болно (Зураг С.1-ийг үз).

C2  ^1.80 Энэ санааг ашиглан Нарны цагаригаас Дэлхийд үйлчлэх хүчний момент $\tau$-г ол. Хариугаа $M_E$, $M_S$, $d_{SE}$, $R$ (дундаж радиус), $h_{\textrm{max}}$ болон $\alpha$ өнцгөөр илэрхийлж бич. $h_\textrm{max}\ll R$ байхыг ашиглаж болно.

Хэсэг D. Дэлхийн эргэлтийн тэнхлэгийн прецессийн өнцөг хурд (2.0 оноо)

Дэлхийн эргэлтийн тэнхлэг нь $z$ тэнхлэгийг тойрон маш удаанаар конус дүрс зуран хөдөлнө. Өөрөөр хэлбэл прецесс хийнэ.

D1  ^1.80 Дэлхийн тэнхцлэгийн прецессийн $T_1$ үеийг илэрхийл. Хариугаа $M_S$, $d_{SE}$, Дэлхийн эргэлтийн өнцөг хурд $\omega$, $h_\textrm{max}$, $R$ болон $\alpha$-аар илэрхийлж бич.

D2  ^0.20 Прецессийн $T_1$ үеийн утгыг тооцоолж жилээр илэрхийл.

E хэсэг. Сарны нөлөө (1.2 оноо)

D хэсэгт олж авсан утга нь ажиглагдсан утгаас хамаагүй их байна. Үүний шалтгаан нь энэ хүртэл зөвхөн Нарнаас үйлчлэх хүчний моментийг л авч үзээд, Сарны нөлөөг тооцолгүй орхисон явдал юм. Дараах тооцоололд, Сарны орбит нь мөнөөх шар замын хавтгайд оршдог бөгөөд Дэлхийг тойрон $d_{ME}$ радиус бүхий тойргоор хөдөлдөг гэж үз. Сарны массыг $M_M$-ээр, түүний нөлөөллийг тооцсон прецессийн үеийг $T_2$-ээр тэмдэглэе.

E1  ^1.00 Сарнаас үйлчлэх хүчний моментийг тооцвол прецессийн үе нь ямар $T_2/T_1 $ харьцаагаар өөрчлөгдөх вэ? Хариултаа $d_{ME}$, $d_{SE}$, $M_S$ болон $M_M$-ээр илэрхийлж бич.

E2  ^0.20 Өгөгдсөн тоон утгуудыг орлуулан, прецессийн $T_2$ үеийн утгыг тооцоолж жилээр илэрхийл.