บทนำ

แกนหมุนของโลกมีการหมุนควง (precession) รอบแกนตั้งฉากกับระนาบสุริยวิถี (ซึ่งก็คือระนาบการโคจรรอบดวงอาทิตย์). นักดาราศาสตร์ชาวกรีกโบราณชื่อ ฮิปปาเคิส (Hipparchus) ได้ประมาณอัตราเร็วเชิงมุมของการหมุนควงของแกนโลกว่ามีค่าราว ๆ 45 ฟิลิปดา (arcsecond) ต่อปี กล่าวคือ คาบการหมุนควงของแกนโลกคือ 29000 ปี. ค่านี้ใกล้เคียงกับค่าที่ได้จากการวัดในปัจจุบันซึ่งได้ค่าราว ๆ 25800 ปี. สำหรับปัญหาข้อนี้ เราจะศึกษาการหมุนควงของแกนโลกโดยใช้กลศาสตร์แบบนิวตัน.

นักเรียนสามารถใช้ค่าคงตัวตามกำหนดไว้ข้างล่าง.

• ค่าคงตัวความโน้มถ่วง : $G=6.67\times10^{-11}\:\textrm{Nm}^2 / \textrm{kg}^2$
• รัศมีเฉลี่ยของโลก : $R=6.371\times10^6\:\textrm{m}$
• มวลโลก $M_E=5.972\times10^{24}\:\textrm{kg}$
• ระยะทางเฉลี่ยระหว่างโลกกับดวงอาทิตย์: $d_{SE}=1.496\times10^{11}\:\textrm{m}$
• มวลของดวงอาทิตย์ : $M_S=1.989\times10^{30}\:\textrm{kg}$
• ระยะทางเฉลี่ยระหว่างโลกกับดวงจันทร์ : $d_{ME}=3.844\times10^8\:\textrm{m}$
• มวลของดวงจันทร์ : $M_M=7.348\times10^{22}\:\textrm{kg}$
• มุมระหว่างแกนหมุนโลกกับแกนตั้งฉากระนาบการโคจร : $\alpha=23.5^{\circ}$

ตอน A. สัณฐานของโลก (1.0 คะแนน)

ดวงอาทิตย์และดวงจันทร์ก่อให้เกิดทอร์กที่โลกเนื่องจากโลกมีรูปร่างที่ไม่เป็นทรงกลมอย่างแท้จริง. ทอร์กดังกล่าวทำให้แกนหมุนของโลกมีการหมุนควง. เหตุผลหลักที่โลกมีสัณฐาน (รูปร่าง) ที่ไม่เป็นทรงกลมนั้นเกิดจากแรงหนีศูนย์กลาง (centrifugal force) จากการหมุนของโลกรอบแกนหมุนของมัน. แผ่นธรณีภาค หรือแผ่นเปลือกโลก (tectonic plate) บนพื้นผิวโลกก็จะถูกเปลี่ยนรูปในช่วงเวลานับล้านปีเพื่อที่จะลดปริมาณความเค้น (stress) ทื่ถูกกักในแผ่นธรณีภาค. ดังนั้น เราจะประมาณสถานการณ์นี้โดยการจำลองว่า โลกเป็นก้อนของเหลวที่มีความหนาแน่นคงที่ โดยที่รูปร่างของโลกจะขึ้นอยู่กับแรงหนีศูนย์กลางและแรงโน้มถ่วง. ในโมเดลนี้ พื้นผิวโลกจะถือเป็นทรงกลมรีแบบแป้น (oblate spheroid) ซึ่งก็คือรูปทรงที่ได้จากการนำวงรีมาหมุนรอบแกนโทของมัน. รูปร่างของโลกตามแบบจำลองนี้จะกำหนดโดยรัศมีจากจุดศูนย์กลางโลกไปยังขั้วโลก $R_p$ และรัศมีของเส้นศูนย์สูตร $R_e$ (ดู รูป A.1).

กำหนดให้ $h_\textrm{max}=R_e-R_p $ แทนส่วนต่างระหว่างรัศมีของเส้นศูนย์สูตรโลก และรัศมีจากจุดศูนย์กลางโลกไปยังขั้วโลก โดยส่วนต่างนี้มีค่าน้อยกว่ารัศมีเฉลี่ยของโลก $R=(R_e+R_p)/2$ มาก ๆ. ค่าของ $h_\textrm{max}$ สามารถเขียนในรูปผลคูณของสัมประสิทธิ์คงตัวที่ไม่มีหน่วย และนิพจน์ (expression) ที่อยู่ในรูปของอัตราเร็วเชิงมุมของการหมุนรอบตัวเองของโลก $\omega$, มวลของโลก $M_E$ และรัศมีเฉลี่ยของโลก $R$. กล่าวคือ

$$h_\textrm{max}\propto G^{-1} \omega^\beta M_E^\gamma R^\delta$$

เมื่อ $G$ คือค่าคงตัวความโน้มถ่วง ในขณะที่ $\beta$, $\gamma$, และ $\delta$ เป็นเลขชึ้กำลังคงที่.

A1  ^0.80 จงหาค่าของเลขชี้กำลัง $\beta$, $\gamma$, และ $\delta$.

A2  ^0.20 จงคำนวณค่าเชิงตัวเลขของ $h_\textrm{max}$ โดยสมมติว่า สัมประสิทธิ์คงตัวที่ไม่มีหน่วยในความสัมพันธ์ข้างบนมีค่าเท่ากับ $1$.

ไม่ว่าจะหาค่า $h_{\textrm{max}}$ จากข้อ A.2. ได้หรือไม่ จากนี้ไป ให้นักเรียนใช้ค่า $h_{\textrm{max}}=21~\textrm{km}$ ที่ได้จากการสังเกตการณ์ในการ- คำนวณ.

ตอน B. ค่าเฉลี่ยของสนามโน้มถ่วงจากดวงอาทิตย์ (3.2 คะแนน)

เพื่อที่จะแสดงให้เห็นว่า ดวงอาทิตย์สร้างทอร์กที่ไม่เป็นศูนย์ต่อโลก (เมื่อคำนวณทอร์กจากจุดศูนย์กลางของโลก) ให้พิจารณา รูป B.1 ด้านล่าง. ความแตกต่างระหว่างระยะทางจากจุดแต่ละจุดของโลกไปยังดวงอาทิตย์ทำให้เราได้ว่า ขนาดของแรงโน้มถ่วง $F_1$ มีค่ามากกว่าขนาดของแรงโน้มถ่วง $F_2$.

จริง ๆ แล้วขนาดของทอร์กนี้จะเปลี่ยนไปอย่างต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งปี. เมื่อโลกอยู่ในตำแหน่งที่แสดงใน รูป B.1 ทอร์กดังกล่าวจะมีขนาดสูงสุด. สามเดือนถัดมาจากตำแหน่งนี้ โดยความสมมาตร ทอร์กนี้จะกลายเป็นศูนย์. หกเดือนหลังจากตำแหน่งนี้ ทอร์กก็จะมีขนาดสูงสุดอีกครั้ง. เก้าเดือนหลังจากตำแหน่งนี้ ทอร์กนี้ก็จะเป็นศูนย์อีกครั้ง. กระบวนการดังกล่าวก็จะเกิดซ้ำ ๆ กันทุกปีเป็นวัฏจักร. เนื่องจากคาบของการหมุนควงของแกนโลกมีความยาวมากกว่าระยะเวลาในแต่ละปีมาก ๆ เราจะประมาณค่าของทอร์กซึ่งแปรเปลี่ยนในแต่ละช่วงของปีด้วยค่าเฉลี่ยของมันในระยะเวลาหนึ่งปีเต็ม.

เพื่อที่จะหาค่าเฉลี่ยต่อปีของทอร์กที่ดวงอาทิตย์กระทำต่อโลก เราจะหาค่าเฉลี่ยของสนามโน้มถ่วงที่กำเนิดจากดวง- อาทิตย์ในตำแหน่งใกล้เคียงกับโลก. จากการมองโลกเป็นจุดศูนย์กลางโดยมีดวงอาทิตย์เคลื่อนที่รอบโลกเป็นวงกลม ค่าเฉลี่ยของสนามโน้มถ่วงดังกล่าวสามารถคำนวณได้โดยการประมาณว่า มวลดวงอาทิตย์ $M_S$ มีการกระจายมวลอย่างสม่ำเสมอเป็นวงแหวนเรียกว่า วงแหวนดวงอาทิตย์ (Sun ring) ที่มีรัศมีเท่ากับระยะห่างเฉลี่ยระหว่างโลกและดวง- อาทิตย์ $d_{SE}$ (ดู รูป B.2).

ให้ระบบพิกัดทรงกระบอก (cylindrical coordinate system) ที่เราจะใช้มีจุดกำเนิดที่จุดศูนย์กลางของโลก. กำหนด ให้แกน $z$ มีทิศตั้งฉากกับระนาบสุริยวิถี (ซึ่งก็คือระนาบของวงแหวนดวงอาทิตย์). แกนที่โลกหมุนรอบตัวเองทำมุมเอียงเป็น $\alpha=23.5^\circ$ กับแกน $z$.

B1  ^1.00 จงหาทิศทางและขนาดของสนามโน้มถ่วงที่กำเนิดจากวงแหวนดวงอาทิตย์ ณ จุดที่อยู่บนแกน $z$. เขียนคำตอบในรูปของ $M_S$, $d_{SE}$, และพิกัด $z$. ให้สมมติว่า $\vert z \vert \ll d_{SE}$.

B2  ^2.20 จงหาทิศทางและขนาดของสนามโน้มถ่วงที่มีกำเนิดจากวงแหวนดวงอาทิตย์ ณ จุดที่อยู่บนระนาบสุริยวิถีซึ่งห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะ $r$. ให้สมมติ $r \ll d_{SE}$.

ตอน C. ทอร์กที่กระทำกับโลก (2.6 คะแนน)

ในส่วนนี้ เราจะคำนวณทอร์กที่กระทำต่อโลกเนื่องจากสนามโน้มถ่วงที่ได้จาก ตอน B. เพื่อเป็นการทำให้ปัญหานี้ง่ายขึ้น ให้พิจารณาโลกเป็นวัตถุแข็งเกร็งที่มีมวลกระจายอย่างสม่ำเสมอ. ให้มองว่ารูปทรงกลมรีซึ่งเป็นสัณฐานของโลกนั้นสร้างมาจากการเอาส่วนเกินออกจากทรงกลมที่มีรัศมีเท่ากับรัศมีที่เส้นศูนย์สูตรของโลก $R_e$ (ดู รูป C.1).

C1  ^0.80 จงหามวล $m$ ของชิ้นส่วนที่เป็นส่วนเกินแต่ละชิ้นจากสองชิ้นที่เห็นใน รูป C.1. ให้เขียนคำตอบในรูปของ $h_\textrm{max}$, มวลของโลก $M_E$, และระยะรัศมีจากจุดศูนย์กลางโลกไปยังขั้วโลก $R_p$.

เราสามารถแสดงได้ว่า ทอร์กที่กระทำกับชิ้นส่วนแต่ละชิ้นที่เป็นส่วนเกินดังกล่าวสมมูลกับทอร์กที่กระทำกับระบบที่ ประกอบด้วยจุดมวลสองจุดโดยแต่ละจุดมวลมีขนาดมวลเท่ากับ $2m/5$ โดยสองจุดมวลนี้อยู่ที่ตำแหน่ง $A$ และ $B$ ที่อยู่ ณ ตำแหน่งขั้วโลก (ดู รูป C.1).

C2  ^1.80 จากแนวคิดข้างบน จงหาขนาดเฉลี่ยของทอร์ก $\tau$ ที่กระทำกับโลกโดยดวงอาทิตย์. ให้เขียนคำตอบในรูป $M_E$, $M_S$, $d_{SE}$, $R$ (รัศมีเฉลี่ย), $h_{\textrm{max}}$ และมุมเอียง $\alpha$. ให้ประมาณว่า $h_\textrm{max}\ll R$.

ตอน D. อัตราเร็วเชิงมุมของการหมุนควงของแกนโลก (2.0 คะแนน)

แกนหมุนของโลกจะเปลี่ยนทิศ อย่างช้ามากรอบแกน $z$ โดยทิศดังกล่าวจะกวาดเป็นรูปกรวย (cone). การเปลี่ยนทิศดังกล่าวก็คือการหมุนควงนั่นเอง.

D1  ^1.80 จงคำนวณคาบของการหมุนควงของแกนโลก $T_1$ ในรูปของ $M_S$, $d_{SE}$ , อัตราเร็วเชิงมุม $\omega$ ของการหมุนของโลก, $h_\textrm{max}$ , $R$, และ $\alpha$.

D2  ^0.20 จงคำนวณว่า คาบของการหมุนควง $T_1$ มีค่าเชิงตัวเลขเท่ากับกี่ปี.

ตอน E. ผลจากดวงจันทร์ (1.2 คะแนน)

คาบการหมุนควงที่ได้ใน ตอน D นั้นมีค่ามากกว่าค่าที่สังเกตได้มาก. เหตุผลคือว่า เราได้พิจารณาเพียงแค่ทอร์กที่กระทำโดยดวงอาทิตย์เท่านั้น และยังไม่ได้คำนึงถึงผลกระทบจากดวงจันทร์. ในการคำนวณต่อไปนี้ให้ถือว่าวงโคจรของดวงจันทร์อยู่ในระนาบเดียวกับระนาบของโลกและวงโคจรของดวงอาทิตย์ และวงโคจรของดวงจันทร์รอบโลกเป็นวงกลมที่มีรัศมี $d_{ME}$ . แทนมวลของดวงจันทร์ด้วย$M_M$ และแทนคาบของการหมุนควงของแกนโลก (period of precession) ในแบบจำลองใหม่นี้ด้วย $T_2$.

E1  ^1.00 เมื่อคำนึงถึงทอร์กที่ดวงจันทร์กระทำต่อโลก จงคำนวณค่าของอัตราส่วน $T_2/T_1 $. ให้ตอบในรูปของ $d_{ME}$, $d_{SE}$, $M_S$, และ $M_M$.

E2  ^0.20 โดยการแทนค่าจากข้อมูลที่ให้ไว้ จงคำนวณว่า คาบของการหมุนควง $T_2$ มีค่าเชิงตัวเลขเท่ากับกี่ปี.