소개글

고대부터 지구의 자전축이 세차운동을 한다는 사실이 알려져 있습니다. 즉, 자전축 자체가 황도면, 다시 말해 지구가 태양 주위를 도는 궤도면에 수직인 선을 중심으로 회전한다는 뜻입니다. 고대 그리스의 천문학자 히파르코스는 자전축이 1년에 약 45초(각초)만큼 이동한다고 결론지었고, 이는 자전축 세차운동의 주기가 약 29,000년이라는 것을 의미합니다. 현대의 측정에 따르면 이 주기는 약 25,800년으로 알려져 있습니다. 이 문제에서는 이 현상을 뉴턴 역학을 이용하여 탐구합니다.

다음 상수가 필요할 수 있습니다:

• 중력 상수: $G=6.67\times10^{-11}\:\textrm{Nm}^2 / \textrm{kg}^2$
• 지구의 평균 반지름 $R=6.371\times10^6\:\textrm{m}$
• 지구의 질량 $M_E=5.972\times10^{24}\:\textrm{kg}$
• 지구에서 태양까지의 평균 거리 $d_{SE}=1.496\times10^{11}\:\textrm{m}$
• 태양의 질량 $M_S=1.989\times10^{30}\:\textrm{kg}$
• 지구에서 달의 평균 거리 $d_{ME}=3.844\times10^8\:\textrm{m}$
• 달의 질량: $M_M=7.348\times10^{22}\:\textrm{kg}$
• 지구의 축 기울기: $\alpha=23.5^{\circ}$

파트 A. 지구의 모양(1.0점)

지구는 구형이 아니기 때문에, 태양과 달은 지구에 0이 아닌 토크를 가하게 되고, 이는 지구 자전축의 세차운동을 유발합니다. 지구가 완전한 구형이 아닌 주된 이유는 자전으로 인해 발생하는 원심력 때문입니다. 지표에 위치한 지각판들은 수백만 년에 걸쳐 내부 응력을 최소화하는 방향으로 변형되어 왔습니다. 따라서 근사적으로 지구를 원심력과 중력에 의해 형태가 결정되는 균일한 밀도의 거대한 액체 방울로 모델링할 수 있습니다. 이 모델에서 지구 표면은 극 반지름( $R_p$ )과 적도 반지름( $R_e$ )을 특징으로 하는 편구(회전 타원체)입니다( 그림 A.1 참조).

지구의 적도 반지름과 극 반지름의 차이인 $h_\textrm{max}=R_e-R_p $ 는 평균 반지름 $R=(R_e+R_p)/2$ 보다 훨씬 작습니다. $h_\textrm{max}$ 의 값은 지구 자전 각속도 $\omega$, 질량 $M_E$ 및 평균 반지름 $R$ 으로 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

$$h_\textrm{max}\propto G^{-1} \omega^\beta M_E^\gamma R^\delta,$$

여기서 $G$ 은 중력 상수이고 $\beta$, $\gamma$ 및 $\delta$ 은 상수 지수입니다.

A1  ^0.80 지수 $\beta$, $\gamma$ 및 $\delta$ 의 값을 구하시오.

A2  ^0.20 위에 주어진 $h_\textrm{max}$의 식에서 무차원 비례상수가 1이라고 가정하고 $h_\textrm{max}$ 의 수치를 계산하시오.

파트 A.2.에서 $h_{\textrm{max}}$ 를 찾을 수 있었는지 여부와 관계없이 다음 문제에서 경험적 값 $h_{\textrm{max}}=21~\textrm{km}$ 을 사용하세요.

파트 B. 시간 평균된 태양의 중력장(3.2점)

태양이 지구에 (지구 중심을 기준으로) 0이 아닌 토크를 가하는 이유를 알아보려면 아래 그림 B.1을 살펴보세요. 태양과의 거리 차이로 인해 중력 $F_1$ 이 중력 $F_2$ 보다 더 큽니다.

지구에 작용하는 이 토크의 크기는 일 년 동안 지속적으로 변합니다. 그림 B.1에 표시된 위치에서는 토크가 최대이고, 1/4년이 지나면 토크가 0이 됩니다(대칭으로 인해). 반년이 지나면 다시 최대치에 도달하고, 1년의 4분의 3이 지나면 다시 0이 되는 식으로 반복됩니다. 자전축 세차운동의 주기는 1년보다 훨씬 길기 때문에, 시간에 따라 변하는 이 토크는 1년 동안의 평균값으로 잘 근사할 수 있습니다.

태양이 지구에 가하는 평균 토크를 계산하려면 먼저 지구 근처에서 태양이 생성하는 중력장의 시간 평균을 구해야 합니다. 이 평균은 질량이 태양의 질량( $M_S$ )과 같고 반경이 태양과 지구 사이의 평균 거리( $d_{SE}$ )와 같은 균일한 밀도의 질량 고리, 즉 태양 고리의 장으로 계산할 수 있습니다( 그림 B.2 참조).

원통 좌표계의 원점을 지구의 중심에 두고 $z$ 축이 황도면(즉, 고리 평면)에 수직이 되도록 합니다. 지구의 자전축은 $z$ 축과 $\alpha=23.5^\circ$ 각도를 이룹니다.

B1  ^1.00 $z$ 축의 한 점에서, 태양 고리에 의해 생성되는 중력장의 방향과 크기를 구하시오. ( $M_S$ , $d_{SE}$, 그리고 좌표 $z$ 를 이용하여 답을 작성하시오.) $\vert z \vert \ll d_{SE}$ 이라고 가정합니다.

B2  ^2.20 원점으로부터 거리가 $r$ 인 황도면의 한 지점에서, 태양 고리에 의해 생성되는 중력장의 방향과 크기를 구하시오. $r \ll d_{SE}$ 이라고 가정합니다.

파트 C. 지구에 작용하는 토크(2.6점)

이 섹션에서는 파트 B에서 얻은 중력장으로 인해 지구에 가해지는 토크를 구하려고 합니다. 간단하게 하기 위해 지구를 균질한 질량 분포를 가진 강체로 간주합니다. 지구를 표현하는 회전 타원체는 지구의 적도 반지름이 $R_e$ ( 그림 C.1 참조)인 구에서 회전 타원체에 속하지 않는 '초과영역'을 제거한 경우로 생각해 보겠습니다.

C1  ^0.80 그림 C.1에 표시된 두 개의 '초과영역' 중 하나의 질량 $m$ 을 구하시오 . ($h_\textrm{max}$ , 지구의 질량 $M_E$, 그리고 구의 극 반지름 $R_p$ 로 답을 표현하시오.)

'초과영역'에 작용하는 토크는 질량이 $2m/5$ 인 두 개의 점 질량이 극지름의 양 끝점 $A$ 와 $B$ 에 각각 위치해 있을 때 작용하는 토크와 동등하다는 아이디어가 알려져 있습니다.( 그림 C.1 참조).

C2  ^1.80 이 아이디어가 주어졌을 때, 태양 고리가 지구에 가하는 토크 $\tau$ 를 구하시오. ($M_E$ , $M_S$, $d_{SE}$, $R$ (평균 반지름), $h_{\textrm{max}}$ 및 각도 $\alpha$ 로 답을 표현하시오.) $h_\textrm{max}\ll R$ 을 사용할 수 있습니다.

파트 D. 지구 자전축의 세차운동 각속도(2.0점)

지구 자전축은 $z$ 축 주위로 원뿔 모양으로 매우 느리게 움직입니다. 즉, 세차운동을 합니다.

D1  ^1.80 지구 자전축의 세차운동 주기 $T_1$ 을 $M_S$ , $d_{SE}$, 지구 자전의 각속도 $\omega$, $h_\textrm{max}$, $R$, $\alpha$ 로 표현하시오.

D2  ^0.20 경과 기간 $T_1$ 은 몇 년인지 계산하시오.

파트 E. 달의 영향(1.2점)

파트 D에서 얻은 값은 관측된 값보다 훨씬 큽니다. 그 이유는 지금까지 태양이 가하는 토크만 고려하고 달의 효과는 무시했기 때문입니다. 다음 계산에서는 달의 궤도가 황도면에 있고 지구 주위의 달의 궤도가 반지름이 $d_{ME}$ 의 원이라고 가정합니다. 달의 질량은 $M_M$ 으로, 이 수정된 모델에서 공전 주기는 $T_2$ 으로 표시하겠습니다.

E1  ^1.00 $T_2/T_1 $를 $d_{ME}$ , $d_{SE}$, $M_S$, $M_M$ 으로 표현하시오.

E2  ^0.20 데이터를 대입하면 $T_2$ 는 몇 년인가요?