يكمن أصل الخواص المغناطيسية ⁦(magnetic properties)⁩ للمادة في العزم المغناطيسي ⁦(magnetic moment)⁩ الناتج عن الزخم الزاوي ⁦(angular momentum)⁩ لمكوّناتها المجهرية كالإلكترونات ⁦(electrons)⁩ والنوى ⁦(nuclei)⁩. ففي بعض المواد، تنتظم العزوم المغناطيسية الصغيرة في اتجاهٍ مُعيَّن لتُنتج مجالاً مغناطيسياً ⁦(magnetic field)⁩ صافياً؛ أي إنّ المادة تمتلك مغنطةً ⁦(magnetization)⁩ غير معدومة. أما في أنواعٍ أخرى من المواد، فتكون هذه العزوم المغناطيسية الصغيرة موجَّهةً عشوائياً، لكن عند وضع المادة في مجالٍ مغناطيسي خارجي ⁦(external magnetic field)⁩ تدور هذه العزوم حول اتجاه المجال المغناطيسي الخارجي، فتكتسب المادة في المتوسط مغنطةً غير معدومة. وإذا أُوقِف المجال المغناطيسي الخارجي، فقد تتناقص مغنطة المادة تدريجياً حتى تعود إلى قيمتها الأصلية. ويُعزى ذلك إلى التفاعل بين العزوم المغناطيسية، أو إلى تفاعلها مع درجات الحرية المجهرية الأخرى ⁦(microscopic degrees of freedom)⁩ كاهتزازات الشبكة البلورية ⁦(lattice vibration)⁩. تُعرَف هذه العملية بالاسترخاء ⁦(relaxation)⁩، وسنتناولها فيما يلي باستخدام نماذج الميكانيكا الكلاسيكية ⁦(classical mechanics)⁩.

الجزء A. المذبذب التوافقي القسري ⁦(Forced Harmonic Oscillator)⁩

نتناول مسألة استرخاء الدوران النووي ⁦(nuclear spin)⁩ الناتج عن التقلب العشوائي ⁦(random fluctuation)⁩ لدرجات الحرية الفيزيائية الأخرى، كاهتزازات الشبكة البلورية أو العزوم ثنائية القطب المغناطيسية ⁦(magnetic dipole moments)⁩ للإلكترونات. ومن أجل التآلف مع العشوائية ⁦(randomness)⁩ في حلول نظامٍ ميكانيكي كلاسيكي، لنبدأ بدراسة متذبذب توافقي قسري كتلته

$$m\frac{{\rm d}^2q(t)}{{\rm d} t^2} + m\omega^2_0 q(t) = F(t)$$

حيث تُعطى القوة الخارجية بالدالة المتدرجة (step-wise function) التالية.

$F(t) = \left\{ \begin{matrix} 0, & t<0 \\ +mf_0 ,& 0\le t<T_0/2 \\ - mf_0 ,& T_0/2\le t<T_0 \\ 0, & t\ge T_0 \end{matrix} \right.$

هنا $\omega_0 = 2\pi/T_0$ هي التردد الزاوي للمذبذب $q(t)$. لنفترض أن الشرط الأولي معطى على النحو التالي:$q(0)=A\sin\delta,\, \dot q(0)=A\omega_0\cos\delta$ .

$E_0 = \frac{m}{2}\omega^2_0 A^2$قبل تشغيل القوة الخارجية، يتم الحفاظ على الطاقة وتكون قيمتها . دون فقدان العمومية، نفترض $-\pi\le\delta < \pi$.

A1  ^1.20 أوجد الموضع$q$ والسرعة$\dot q=\frac{{\rm d}q}{{\rm d}t}$ عند $t=T_0$. عبّر عنهما بدلالة $A,\delta, f_0, \omega_0$.

A2  ^1.20 $F(t)$$E(t)= \frac{m(\dot q^2 + \omega^2_0 q^2)}{2}$افترض أن الطاقة الميكانيكية الإجمالية تساوي . احسب الفرق بين$t=T_0$ و $t=0$، الناتج$E(t)$ عن تأثير القوة الخارجية . بعبارة أخرى، احسب$\Delta E \equiv E(t\ge T_0) - E(t\le 0)$ وعبّر عنه بدلالة $A,\delta, f_0, \omega_0$.

A3  ^1.20 $\langle (\Delta E)^2 \rangle$افترض أن$\delta$ متغير عشوائي يتبع توزيعًا منتظمًا في النطاق $-\pi \le \delta < \pi$. بعبارة أخرى، لدينا عدد كبير من المذبذبات التوافقية المُفروضة المتماثلة التي تتبع جميعها المعادلة (1) نفسها. وقد تم تحديد شروطها الأولية بحيث$A$يكون مُتساويًا، بينما$\delta$يتم اختيار عشوائيًا من $-\pi\le\delta < \pi$. احسب المتوسط الإحصائي للطاقة$\langle \Delta E \rangle$ الممتصة ، وكذلك اللحظة الثانية .

الجزء ب: دوران عزم ثنائي القطب المغناطيسي (Precession of magnetic dipole moment) واستخدام متغيرات الإطار الدوار

تُعطى طاقة عزم ثنائي القطب المغناطيسي في مجال$\vec B$ مغناطيسي على النحو التالي

$E = - \vec \mu \cdot \vec B = - \gamma \vec S \cdot \vec B$

$\vec S $عندما نأخذ في الاعتبار دورانًا ضئيلًا جدًا في الزخم الزاوي ونعادل فرق الطاقة مع حاصل ضرب العزم ($\vec\tau$) والإزاحة الزاوية، نحصل على المعادلة التالية $\vec S.$

$\vec\tau = \frac{{\rm d}\vec S}{{\rm d}t} = \gamma\vec S \times \vec B $

$\vec B$وفقًا لهذه المعادلة، عندما$\vec B$يكون ثابتًا، فإن الزخم$\vec S$ الزاوي يدور حول اتجاه المجال المغناطيسي . تُعرف هذه الظاهرة باسم دوران لارمور، وتُعبر عن تردد الدوران بـ$\gamma |\vec B|$ وبشكل خاص، فهو مستقل عن الزاوية بين$\vec S$ و $\vec B$.

تشعيع الضوء ذي الاستقطاب الدائري (circularly polarized light)

لننظر الآن في وجود مجال مغناطيسي متذبذب في المستوى xy، بالإضافة إلى جزء ثابت في اتجاه z. وعندئذ تكون الطاقة المغناطيسية

$$E = - \omega_0 S_z - \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_x - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_y$$

حيث$\omega_0,\omega_1$تُحدد قيم بمكونات المجال المغناطيسي ذات الصلة و$\gamma$، في حين أن$\omega_2$ هي تردد المجال المغناطيسي المتذبذب. نفترض$\omega_0,\omega_1,\omega_2$أن$\vec S$ كلها قيم موجبة. معادلات هي

$\begin{aligned} \dot S_x &= +\omega_0 S_y - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_y &= -\omega_0 S_x + \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_z &= - \omega_1 \cos (\omega_2 t) S_y +\omega_1 \sin (\omega_2 t) S_x \end{aligned}$

من الملائم كتابة هذه المعادلات بدلالة $S_\pm \equiv S_x \pm i S_y$. لدينا

$\begin{aligned} \dot S_+ &= - i\omega_0 S_+ + i \omega_1 e^{+i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_- &= + i\omega_0 S_- - i \omega_1 e^{-i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_z &= \frac{i\omega_1}{2} \left( e^{-i\omega_2t}S_+ - e^{+i\omega_2 t} S_- \right) \end{aligned}$

في الخطوة التالية، دعونا نُدرج الدوران في الإطار الدوار باستخدام $S_\pm \equiv e^{\pm i\omega_2 t} \Sigma_\pm, \, S_z \equiv \Sigma_z$. ويمكن إثبات أن معادلات و$\Sigma_x \equiv \tfrac{1}{2}(\Sigma_+ + \Sigma_-),\quad \Sigma_y \equiv \tfrac{i}{2}(\Sigma_- - \Sigma_+)$ $\Sigma_z$يمكن كتابتها على النحو التالي:

$$\frac{\rm d }{{\rm d}t} \vec \Sigma = \vec M \times \vec \Sigma$$

حيث$\vec \Sigma =(\Sigma_x, \Sigma_y, \Sigma_z)$ و $\vec M = (M_x, M_y,M_z)$.

B1  ^1.50 $M_x,M_y,M_z$أوجد تعبيرات بالاستعانة بـ $\omega_0,\omega_1,\omega_2$.

ويمكن تبسيط المعادلات أكثر من ذلك، إذا ما أخذنا في الاعتبار دورانًا ثابتًا في المستوى xz وعرّفنا متغيرات$\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ جديدة على النحو التالي.

$\begin{aligned} \Sigma_X &= \cos\Theta \Sigma_x - \sin\Theta\Sigma_z \\ \Sigma_Y &= \Sigma_y \\ \Sigma_Z &= \sin\Theta \Sigma_x + \cos\Theta \Sigma_z \end{aligned}$

B2  ^0.90 أوجد معادلات الحركة لـ$\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ وعبّر عنها باستخدام $M_x, M_y, M_z $و $\Theta$.

ثم، باستخدام المتغيرات الجديدة في الإطار ذي الدوران المزدوج، يمكن اختزال المعادلات إلى الصيغة التالية،

$\begin{aligned} \dot\Sigma_X &= +\Omega\Sigma_Y \\ \dot\Sigma_Y &= -\Omega\Sigma_X \\ \dot\Sigma_Z &= 0 \end{aligned}$

إذا$\Omega$ تم اختيار و$\tan\Theta$ بشكل مناسب.

B3  ^1.00 $\Omega$بجمع إجابتي السؤالين ب.1 وب.2، أوجد تعبيري و$\tan\Theta$ بالاستناد إلى $\omega_0,\omega_1, \omega_2$.

لننظر الآن إلى عدد كبير من الدورات التي تتبع توزيعًا إحصائيًا للتكوينات الأولية: عند $t=0$، تستوفي$\langle S_x(0)\rangle = \langle S_y(0)\rangle = 0$ القيم المتوسطة المعادلتين و $\langle S_z(0)\rangle>0$. وتستوفي جميع الدورات المعادلة نفسها المستمدة من المعادلة (2).

B4  ^1.50 احسب $\langle S_z(t)\rangle$.

B5  ^1.50 $\omega_1T_1$إذا كانت$\langle S_z(t)\rangle =0$ في مضاعفات الفردية لـ$T_1$ (أي $t=T_1, 3T_1, 5T_1, \cdots$) و$\langle S_z(t)\rangle>0$ في الحالات الأخرى، فما قيمة ؟