Materialning magnit xossalari kelib chiqishiga uning elektronlar va yadrolar kabi mikroskopik tarkibiy qismlarining impuls momenti tomonidan hosil qilingan magnit momenti sabab boʻladi. Baʼzi materiallarda bu magnit momentlar natijaviy magnit maydonini hosil qilish uchun maʼlum bir yoʻnalish boʻylab tartiblangan boʻladi. Boshqacha aytganda, material nolga teng boʻlmagan magnitlanganlikka ega boʻladi. Boshqa turdagi materiallarda esa magnit momentlar tartibsiz yoʻnalgan boʻladi, biroq material tashqi magnit maydoniga joylashtirilganda, bu magnit momentlar tashqi magnit maydoni yoʻnalishida aylana boshlaydi va oʻrtacha hisobda materialda nolga teng boʻlmagan magnitlanganlik yuzaga keladi. Agar biz tashqi magnit maydonini oʻchirsak, materialning magnitlanganligi oʻzining dastlabki qiymatiga qaytguniga qadar asta-sekin kamayishi mumkin. Bu magnit momentlarning oʻzaro taʼsiri yoki ularning panjara tebranishlari kabi boshqa mikroskopik erkinlik darajalari bilan oʻzaro taʼsiri tufaylidir. Ushbu jarayon relaksatsiya deb ataladi va u quyida klassik mexanika modellari yordamida koʻrib chiqiladi.
Biz panjara tebranishlari yoki elektronlarning magnit dipol momentlari kabi boshqa fizik erkinlik darajalarining tasodifiy fluktuatsiyasi tufayli yuzaga keladigan yadro spini relaksatsiyasi muammosini koʻrib chiqamiz. Klassik mexanika tizimi yechimlaridagi tasodifiylik bilan yaqindan tanishish uchun, dastlab massasi $m$ va burchak chastotasi $\omega_0$ boʻlgan majburiy garmonik ossilyatorni koʻrib chiqaylik. Ossilyatorning energiyasi vaqtga bogʻliq boʻlgan tashqi kuch taʼsiri tufayli oʻzgaradi.
$$m\frac{{\rm d}^2q(t)}{{\rm d} t^2} + m\omega^2_0 q(t) = F(t)$$
bu yerda tashqi kuch quyidagi pogʻonali (boʻlakli-oʻzgarmas) funksiya orqali berilgan.
$F(t) = \left\{ \begin{matrix} 0, & t<0 \\ +mf_0 ,& 0\le t<T_0/2 \\ - mf_0 ,& T_0/2\le t<T_0 \\ 0, & t\ge T_0 \end{matrix} \right.$
Bu yerda $\omega_0 = 2\pi/T_0$ ossillatorning siklik chastotasi $q(t)$. Boshlang'ich shartlar $q(0)=A\sin\delta,\, \dot q(0)=A\omega_0\cos\delta$ berilgan deb hisoblang.
Tashqi kuch taʼsir koʻrsatishidan oldin energiya saqlanadi va uning qiymati $E_0 = \frac{m}{2}\omega^2_0 A^2$ ga teng boʻladi. Umumiylikni cheklamagan holda, biz quyidagicha faraz qilamiz:.$-\pi\le\delta < \pi$
A2 1.20 Ossilyatorning to'la mexanik energiyasi $E(t)= \frac{m(\dot q^2 + \omega^2_0 q^2)}{2}$. $F(t)$tashqi kuchining taʼsiri tufayli $E(t)$ energiyaning $t = T_0$ va $t = 0$ vaqtlar orasidagi farqini hisoblang. Boshqacha aytganda, $\Delta E \equiv E(t\ge T_0) - E(t\le 0)$ ni hisoblang va uni $A, \delta, f_0, \omega_0$ orqali ifodalang.
A3 1.20 Faraz qilaylik, $-\pi \le \delta < \pi$ oraliqda tekis taqsimotga ega boʻlgan tasodifiy miqdor boʻlsin. Boshqacha aytganda, bizda barchasi bir xil (1) tenglamaga boʻysunuvchi koʻp sonli bir xil majburiy garmonik ossilyatorlar mavjud. Ularning boshlangʻich shartlari shunday berilganki, bunda $A$ barchasi uchun bir xil, ammo $\delta$ $-\pi\le\delta < \pi$ oraliqdan tasodifiy ravishda tanlab olinadi. Ular tomonidan yutilgan energiyaning statistik oʻrtacha qiymati $\langle \Delta E \rangle$ ni, shuningdek, uning o'rtacha kvadratini $\langle (\Delta E)^2 \rangle$ hisoblang.
Magnit maydonidagi magnit dipolining energiyasi quyidagicha aniqlanadi:
$E = - \vec \mu \cdot \vec B = - \gamma \vec S \cdot \vec B$
$\vec S $impuls momentining juda kichik burilishini ko'rib chiqaylik. Energiya o'zgarishini kuch momenti ($\vec\tau$) va burchak o'zgarishi ko'paytmasiga tenglasak, $\vec S $ uchun quyidagi tenglamani olamiz:
$\vec\tau = \frac{{\rm d}\vec S}{{\rm d}t} = \gamma\vec S \times \vec B $
Ushbu tenglama bo'yicha, agar $\vec B$doimiy bo'lsa, impulsi momenti magnit maydon yo'nalishi atrofida pretsessiya qiladi. Bu hodisa Larmor pretsessiyasi deb ataladi va pretsessiya chastotasi $\gamma |\vec B|$formulasi bilan beriladi va u $\vec B$ va $\vec S$ orasidagi burchakka bog'liq emas.
Endi z-yo'nalish bo'ylab doimiy maydonga qo'shimcha ravishda xy-tekislikda o'zgaruvchi magnit maydonni yoqamiz. Bu holatda magnit energiyasi quyidagicha bo'ladi
$$E = - \omega_0 S_z - \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_x - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_y$$
bu yerda $\omega_0,\omega_1$ magnit maydonining tegishli komponentlari va $\gamma$ orqali aniqlanadi, $\omega_2$ esa o'zgarayotgan magnit maydonining tebranish chastotasi hisoblanadi. $\omega_0,\omega_1,\omega_2$ larning barchasi musbat deb faraz qilamiz. $\vec S$ning tenglamalari quyidagicha:
$\begin{aligned} \dot S_x &= +\omega_0 S_y - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_y &= -\omega_0 S_x + \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_z &= - \omega_1 \cos (\omega_2 t) S_y +\omega_1 \sin (\omega_2 t) S_x \end{aligned}$
Ushbu tenglamalarni $S_\pm \equiv S_x \pm i S_y$ orqali yozish qulay. Bizda
$\begin{aligned} \dot S_+ &= - i\omega_0 S_+ + i \omega_1 e^{+i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_- &= + i\omega_0 S_- - i \omega_1 e^{-i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_z &= \frac{i\omega_1}{2} \left( e^{-i\omega_2t}S_+ - e^{+i\omega_2 t} S_- \right) \end{aligned}$
Keyingi bosqichda spinni aylanuvchi sanoq sistemasida $S_\pm \equiv e^{\pm i\omega_2 t} \Sigma_\pm, \, S_z \equiv \Sigma_z$ ifodalar yordamida aniqlaylik. Ko'rsatish mumkinki,$\Sigma_x \equiv \tfrac{1}{2}(\Sigma_+ + \Sigma_-),\quad \Sigma_y \equiv \tfrac{i}{2}(\Sigma_- - \Sigma_+)$ va $\Sigma_z$ ning tenglamalari quyidagicha yozilishi mumkin:
$$\frac{\rm d }{{\rm d}t} \vec \Sigma = \vec M \times \vec \Sigma$$
bunda $\vec \Sigma =(\Sigma_x, \Sigma_y, \Sigma_z)$ va $\vec M = (M_x, M_y,M_z)$.
xz tekisligidagi statik aylanishni hisobga olsak va yangi o'zgaruvchilar $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ ni quyidagicha aniqlasak, tenglamalar yanada soddalashtiriladi.
$\begin{aligned} \Sigma_X &= \cos\Theta \Sigma_x - \sin\Theta\Sigma_z \\ \Sigma_Y &= \Sigma_y \\ \Sigma_Z &= \sin\Theta \Sigma_x + \cos\Theta \Sigma_z \end{aligned}$
Keyin ikki marta aylanuvchi sanoq sistemasida (doubly-rotating frame) yangi o'zgaruvchilar orqali tenglamalar quyidagi ko'rinishga keltiriladi,
$\begin{aligned} \dot\Sigma_X &= +\Omega\Sigma_Y \\ \dot\Sigma_Y &= -\Omega\Sigma_X \\ \dot\Sigma_Z &= 0 \end{aligned}$
agar $\Omega$ va $\tan\Theta$ mos ravishda tanlansa.
Endi dastlabki konfiguratsiyalarning statistik taqsimotiga ega bo'lgan ko'plab spinlarni ko'rib chiqaylik: $t=0$ da o'rtacha qiymatlar $\langle S_x(0)\rangle = \langle S_y(0)\rangle = 0$ va $\langle S_z(0)\rangle>0$ talablariga javob beradi. Barcha spinlar (2) tenglamadan olingan bir xil tenglamani qanoatlantiradi.