物質の磁気特性の起源は、電子や原子核といった微視的な構成要素の角運動量に由来する磁気モーメントにある。ある種の物質では、これらの微小な磁気モーメントが特定の方向に沿って整列し、結果として正味の磁場が生じる。言い換えれば、その物質はゼロではない磁化を持つことになる。物質の種類によっては、微小な磁気モーメントはランダムな向きを持っていますが、外部磁場を印加すると、これらの微小な磁気モーメントは外部磁場の方向を中心に回転し、平均的に見て物質はゼロではない磁化を持つようになります。外部磁場を解除すると、物質の磁化は徐々に減少し、最終的に元の値に戻ることがある。これは、磁気モーメント間の相互作用、あるいは格子振動などの他の微視的な自由度との相互作用によるものである。この過程は「緩和」と呼ばれ、以下では古典力学モデルを用いて考察する。
ここでは、格子振動や電子の磁気双極子モーメントといった他の物理的自由度のランダムな揺らぎに起因する核スピンの緩和問題について考察する。古典力学系の解におけるランダム性について理解を深めるために、質量 $m$と角周波数 $\omega_0$の強制調和振動子から始めよう。この振動子のエネルギーは、時間依存の外力によって変化する（下の振り子の図を参照）。
$$m\frac{{\rm d}^2q(t)}{{\rm d} t^2} + m\omega^2_0 q(t) = F(t)$$
ここで、外力は、以下の段階関数によって与えられる。
$F(t)=\text{left}\{\text{begin}{matrix\}0,\&t<0\\+mf_0,\&0\le t<T_0/2\\-mf_0,\&T_0/2\le t<T_0\\0,\&t\ge T_0\text{end}{matrix$
ここで、$\omega_0 = 2\pi/T_0$ は振動子 $q(t)$ の角周波数である。外力が加わる前 $F(t)$、運動は $q(t) = A \sin ( \omega_0 t + \delta ) , \quad t\le 0 . $ のように与えられていたと仮定する。
$A$は初期エネルギー（質量あたり）に関連しており、$E_0 = \frac{1}{2}\omega^2_0 A^2$
典型的な核磁気双極子モーメントは、陽子のそれである。核磁子 $\mu_N$（核成分の磁気モーメントの標準単位）を用いて表すと、陽子の磁気モーメント $\mu_p$ は
$\mu_p = 2.79 \mu_N = 1.41 \times 10^{-26} \ \rm{J\cdot T^{-1}} $
核磁気双極子モーメントは、核子／原子核の固有角運動量（スピン）に起因し、 その比 $\gamma_{\rm nucleus}$ は、$\vec \mu_{\rm nucleus}=\gamma_{\rm nucleus}\vec S_{\rm nucleus}$ を通じて定義され、中性子や他の原子核の場合であっても、通常は陽子の質量と電荷を用いて表される。すると、原子核のg因子（純粋な数値である）は、以下の式によって定義される。
$\gamma_{\rm nucleus} = \frac{e}{2m_p} g_{\rm nucleus}$
陽子の場合、その値は $g_p=+5.586$ であり、中性子の場合は $g_n=-3.826.$ である。
磁場 $\vec B$ 中の磁気双極子モーメントのエネルギーは、次のように表される。
$E = - \vec \mu \cdot \vec B = - \gamma \vec S \cdot \vec B$
角運動量 $\vec S $の極小の回転について考え、エネルギー差をトルク ($\vec\tau$) と角変位の積に等しくすると、 すると、$\vec S.$の式が得られる。
$\vec\tau = \frac{{\rm d}\vec S}{{\rm d}t} = \gamma\vec S \times \vec B $
この式によると、$\vec B$ が一定の場合、角運動量 $\vec S$は、磁場 $\vec B$の方向を中心に歳差運動をする。この現象はラーモア歳差として知られており、歳差の周波数は $\gamma |\vec B|$ で与えられ、特に $\vec S$ と $\vec B$ の間の角度には依存しない。
ここで、z方向に沿った定常成分に加えて、xy平面内で振動する磁場を印加する場合を考えてみよう。この場合の磁気エネルギーは
$$E = - \omega_0 S_z - \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_x - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_y$$
where $\omega_0,\omega_1$ are given by the relevant components of the magnetic field and $\gamma$ , while $\omega_2$ is the frequency of the oscillating magnetic field. We assume $\omega_0,\omega_1,\omega_2$ are all positive. The equations for $\vec S$ are
$\begin{aligned} \dot S_x &= +\omega_0 S_y - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_y &= -\omega_0 S_x + \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_z &= - \omega_1 \cos (\omega_2 t) S_y +\omega_1 \sin (\omega_2 t) S_x \end{aligned}$
It is convenient to write these equations in terms of $S_\pm \equiv S_x \pm i S_y$. We have
$\begin{aligned} \dot S_+ &= - i\omega_0 S_+ + i \omega_1 e^{+i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_- &= + i\omega_0 S_- - i \omega_1 e^{-i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_z &= \frac{i\omega_1}{2} \left( e^{-i\omega_2t}S_+ - e^{+i\omega_2 t} S_- \right) \end{aligned}$
次のステップとして、$S_\pm \equiv e^{\pm i\omega_2 t} \Sigma_\pm, S_z \equiv \Sigma_z$を用いて、回転座標系におけるスピンについて解説します。
$$\frac{\rm d }{{\rm d}t} \vec \Sigma = \vec M \times \vec \Sigma$$
xz平面における静的回転を考慮し、次のように新しい変数 $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ を定義すると、式はさらに単純化される。
$\Sigma_x = +\Sigma_X \cos\Theta + \Sigma_Z \sin\Theta \\ \Sigma_y = +\Sigma_Y \\ \Sigma_z = -\Sigma_X \sin\Theta + \Sigma_Z \cos\Theta $
そして、二重回転座標系における新しい変数を用いて、もし $\Omega$ および $\tan\Theta$ が適切に選択されているならば，方程式は次の形に書き換えることができる。
$\dot\Sigma_X = +\Omega\Sigma_Y \\ \dot\Sigma_Y = -\Omega\Sigma_X \\ \dot\Sigma_Z = 0 $
Then in terms of the new variables in doubly-rotating frame, the equations can be reduced to the following form,
$\dot\Sigma_X = +\Omega\Sigma_Y \\ \dot\Sigma_Y = -\Omega\Sigma_X \\ \dot\Sigma_Z = 0 $
if $\Omega$ and $\tan\Theta$ are chosen appropriately.
式(4)において$E$から導かれた同じ方程式を満たす多数のスピンがあり、それらの初期配置が$t=0$
(i) $\langle S_z(t)\rangle$ を計算せよ。
(ii) $\langle S_z(t)\rangle =0$ が $T_1$ の奇数倍である場合（すなわち $t=T_1, 3T_1, 5T_1, \cdots$）の奇数倍の場合、それ以外の場合は$\langle S_z(t)\rangle>0$であり、 $\omega_1T_1$の値は何か？式(4)において
から導かれた同じ方程式を満たす多数のスピンがあり、それらの初期配置がにおける初期配置は、およびとなるような統計的分布を持つ。
(i) を計算せよ。
(ii) が の奇数倍である場合（すなわち ）の奇数倍の場合、それ以外の場合はであり、 の値は何か？