המגנטיות של חומרים שונים נובעת ממומנטים מגנטיים שנוצרים מהתנע הזוויתי של חלקיקים בחומר, כמו אלקטרונים וגרעיני אטומים. לחומרים מסוימים המומנטים המגנטיים הקטנטנים מיושרים לכיוון ספציפי באופן שמייצר שדה מגנטי שאינו מתבטל. במילים אחרות, לחומר יש מגנטיזציה שאינה אפס. לחומרים אחרים המומנטים המגנטיים הקטנטנים מסודרים בכיוונים אקראיים, אבל אם מפעילים שדה מגנטי חיצוני, הם מסתובבים סביב הכיוון שבו מופעל השדה המגנטי החיצוני ובממוצע לחומר יש מגנטיזציה שאינה אפס. אם נכבה את השדה המגנטי החיצוני המגנטיזציה של החומר עשויה לקטון הדרגתית, עד שתחזור לערכה המקורי – זה יקרה בעקבות האינטראקציה בין המומנטים המגנטיים או האינטראקציה שלהם עם דרגות חופש מיקרוסקופיות אחרות כמו תנודות בסריג. התהליך הזה מכונה ״רלקסציה״, ונעסוק בו לאורך השאלה בעזרת מודלים של מכניקה קלאסית.

חלק A - אוסילטור הרמוני מאולץ

נתחיל מלעסוק ברלקסציה של ספין גרעיני בעקבות תנודות אקראיות של דרגות חופש פיזיקליות אחרות, כמו תנודות של הסריג או של מומנטים מגנטיים של אלקטרונים סמוכים. כדי להבין טוב יותר את ההתנהגות האקראית של מערכות מעולם המכניקה הקלאסית, נתחיל מלעסוק באוסצילטור הרמוני מאולץ בעל מסה $m$ ותדירות זוויתית $\omega_0$. האנרגיה של האוסצילטור משתנה בגלל ההשפעה של כח חיצוני שתלוי בזמן:

$$m\frac{{\rm d}^2q(t)}{{\rm d} t^2} + m\omega^2_0 q(t) = F(t)$$

כאשר הכוח החיצוני ניתן על ידי פונקציית המדרגות הבאה.

$F(t) = \left\{ \begin{matrix} 0, & t<0 \\ +mf_0 ,& 0\le t<T_0/2 \\ - mf_0 ,& T_0/2\le t<T_0 \\ 0, & t\ge T_0 \end{matrix} \right.$

כאשר $\omega_0 = 2\pi/T_0$ היא התדירות הזוויתית של האוסצילטור $q(t)$.

נניח שנתון תנאי ההתחלה $q(0)=A\sin\delta,\, \dot q(0)=A\omega_0\cos\delta$.

לפני הפעלת הכוח החיצוני, האנרגיה הכוללת נשמרת וערכה הוא $E_0 = \frac{m}{2}\omega^2_0 A^2$. ללא הגבלת הכלליות, נניח ש-$-\pi\le\delta < \pi$ .

A1  ^1.20 מצאו את המיקום $q$ והמהירות $\dot q=\frac{{\rm d}q}{{\rm d}t}$ בזמן $t=T_0$. בטאו אותם בעזרת $A,\delta, f_0, \omega_0$.

A2  ^1.20 נתבונן באנרגיה המכנית הכוללת $E(t)= \frac{m(\dot q^2 + \omega^2_0 q^2)}{2}$. חשבו את השינוי ב-$E(t)$ בין הזמנים $t=T_0$ ו-$t=0$ כתוצאה מהשפעת הכוח החיצוני $F(t)$. במילים אחרות, חשבו את הגודל $\Delta E \equiv E(t\ge T_0) - E(t\le 0)$ ובטאו אותו בעזרת $A,\delta, f_0, \omega_0$ .

A3  ^1.20 נניח עתה ש-$\delta$ הוא משתנה אקראי בעל התפלגות אחידה בטווח $-\pi \le \delta < \pi$. במילים אחרות, נניח שיש לנו מספר גדול של אוסצילטורים הרמוניים מאולצים זהים שכולם מתנהגים כמתואר במשוואה (1). תנאי ההתחלה שלהם הם ש-$A$ זהה לכל האוסצילטורים, אבל $\delta$ נבחר באופן אקראי מהטווח $-\pi\le\delta < \pi$. חשבו את הממוצע הסטטיסטי של האנרגיה שהתווספה $\langle \Delta E \rangle$ וגם את $\langle (\Delta E)^2 \rangle$ (המומנט השני).

חלק B - פְּרֶצֶסְיָה של מומנט דיפול מגנטי ושימוש במערכת ייחוס מסתובבת

האנרגיה של מומנט דיפול מגנטי בשדה מגנטי $\vec B$ היא

$E = - \vec \mu \cdot \vec B = - \gamma \vec S \cdot \vec B$

אם נסובב מעט את התנע הזוויתי $\vec S $ ונשווה את הפרש האנרגיות למכפלת מומנט הכח ($\vec\tau$) בשינוי הזווית, נקבל את המשוואה עבור $\vec S$:

$\vec\tau = \frac{{\rm d}\vec S}{{\rm d}t} = \gamma\vec S \times \vec B $

לפי משוואה זו, עבור שדה מגנטי $\vec B$ קבוע, התנע הזוויתי $\vec S$ מבצע פרצסיה סביב כיוון השדה המגנטי $\vec B$. תופעה זו ידועה בשם נקיפת לרמור, ותדירות הפרצסיה נתונה על ידי $\gamma |\vec B|$. בפרט, תדירות זו אינה תלויה בזווית שבין $\vec S$ ו-$\vec B$.

הקרנה של אור חיצוני מקוטב מעגלית

נעסוק עכשיו בהפעלה של שדה מגנטי מתנדנד במישור xy, בנוסף לרכיב קבוע לאורך ציר z. האנרגיה המגנטית תהיה לכן

$$E = - \omega_0 S_z - \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_x - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_y$$

כאשר$\omega_0,\omega_1$ נקבעים לפי הרכיבים הרלוונטיים של השדה המגנטי ו-$\gamma$, בעוד $\omega_2$ היא תדירות התנודות של הרכיב המתנדנד של השדה המגנטי. נניח ש-$\omega_0,\omega_1,\omega_2$ כולם חיוביים. המשוואות עבור $\vec S$ במקרה הזה הן

$\begin{aligned} \dot S_x &= +\omega_0 S_y - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_y &= -\omega_0 S_x + \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_z &= - \omega_1 \cos (\omega_2 t) S_y +\omega_1 \sin (\omega_2 t) S_x \end{aligned}$

נוח לכתוב את המשוואות הללו במונחים של המשתנים $S_\pm \equiv S_x \pm i S_y$, אז מתקבלות המשוואות

$\begin{aligned} \dot S_+ &= - i\omega_0 S_+ + i \omega_1 e^{+i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_- &= + i\omega_0 S_- - i \omega_1 e^{-i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_z &= \frac{i\omega_1}{2} \left( e^{-i\omega_2t}S_+ - e^{+i\omega_2 t} S_- \right) \end{aligned}$

כעת נרצה לעבור לעבוד במערכת ייחוס מסתובבת שמתקבלת מהטרנספורמציה $S_\pm \equiv e^{\pm i\omega_2 t} \Sigma_\pm, \, S_z \equiv \Sigma_z$. ניתן להראות שהמשוואות עבור$\Sigma_x \equiv \tfrac{1}{2}(\Sigma_+ + \Sigma_-),\quad \Sigma_y \equiv \tfrac{i}{2}(\Sigma_- - \Sigma_+)$ ו-$\Sigma_z$ יוצאות

$$\frac{\rm d }{{\rm d}t} \vec \Sigma = \vec M \times \vec \Sigma$$

כאשר$\vec \Sigma =(\Sigma_x, \Sigma_y, \Sigma_z)$ ו-$\vec M = (M_x, M_y,M_z)$.

B1  ^1.50 בטאו את $M_x,M_y,M_z$ במונחי $\omega_0,\omega_1,\omega_2$.

ניתן לפשט את המשוואות עוד יותר, אם נסובב את המערכת במישור xz ונגדיר משתנים חדשים $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ כך:

$\begin{aligned} \Sigma_X &= \cos\Theta \Sigma_x - \sin\Theta\Sigma_z \\ \Sigma_Y &= \Sigma_y \\ \Sigma_Z &= \sin\Theta \Sigma_x + \cos\Theta \Sigma_z \end{aligned}$

B2  ^0.90 מצאו את משוואות התנועה עבור $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ ובטאו אותן באמצעות $M_x, M_y, M_z $ ו-$\Theta$.

מתברר שבמונחי מערכת זו, המסתובבת פעמיים, ניתן לכתוב את המשוואות בצורה הבאה:

$\begin{aligned} \dot\Sigma_X &= +\Omega\Sigma_Y \\ \dot\Sigma_Y &= -\Omega\Sigma_X \\ \dot\Sigma_Z &= 0 \end{aligned}$

בתנאי שנבחרו הערכים המתאימים עבור $\Omega$ ו-$\tan\Theta$.

B3  ^1.00 על ידי שילוב התשובות של B.1 ו-B.2, מצאו ביטויים עבור $\Omega$ ו-$\tan\Theta$ במונחי $\omega_0,\omega_1, \omega_2$.

כעת ניקח מספר רב של ספינים עם התפלגות סטטיסטית של תנאי התחלה שונים: ב-$t=0$, הספינים הממוצעים יהיו $\langle S_x(0)\rangle = \langle S_y(0)\rangle = 0$ ו-$\langle S_z(0)\rangle>0$. הספינים כולם מקיימים את אותה משוואה, הנגזרת ממשוואה (2).

B4  ^1.50 חשבו את $\langle S_z(t)\rangle$.

B5  ^1.50 אם ידוע שמתקיים $\langle S_z(t)\rangle =0$ בכפולות אי-זוגיות של $T_1$ (כלומר כאשר$t=T_1, 3T_1, 5T_1, \cdots$) ואחרת $\langle S_z(t)\rangle>0$ , מה הערך של $\omega_1T_1$ ?