材料的磁性起源于其微观组成部分（如电子和原子核）的角动量所产生的磁矩。对于某些材料，这些微小的磁矩会沿特定方向排列，从而产生一个净磁场，因此具有非零的磁化强度。 对于另一些材料，这些微小的磁矩是随机取向的，但当这些材料置于外磁场中时，这些微小的磁矩会围绕外磁场方向旋转，从而产生一个非零的磁化强度。 如果我们撤去外磁场，材料的磁化强度可能会逐渐减小，直至恢复到其原始值。这是由于磁矩之间的相互作用，或是它们与其他微观自由度（如晶格振动）的相互作用所致。这一过程称为弛豫，下文将使用经典力学模型对此进行探讨。

A部分. 外力作用下的简谐振子

考虑由于其他物理自由度（如晶格振动或电子的磁偶极矩）的随机涨落引起的核自旋弛豫问题。为了熟悉经典力学系统中的随机性，从外力作用下的一个质量为$m$、本征角频率为 $\omega_0$的谐振子开始。由于受在随时间变化的外力的影响，谐振子的能量会发生变化。

$$m\frac{{\rm d}^2q(t)}{{\rm d} t^2} + m\omega^2_0 q(t) = F(t)$$

其中外力$F(t)$由下面的阶跃函数给出。

$F(t) = \left\{ \begin{matrix} 0, & t<0 \\ +mf_0 ,& 0\le t<T_0/2 \\ - mf_0 ,& T_0/2\le t<T_0 \\ 0, & t\ge T_0 \end{matrix} \right.$

这里$\omega_0 = 2\pi/T_0$ 是谐振子$q(t)$的本征角频率。假设初始条件为 $q(0)=A\sin\delta,\, \dot q(0)=A\omega_0\cos\delta$。

在施加外力之前，振子的能量守恒，其值为 $E_0 = \frac{m}{2}\omega^2_0 A^2$。不失一般性，我们假设 $-\pi\le\delta < \pi$。

A1  ^1.20 求$t=T_0$时刻的位移$q$ 和速度$\dot q=\frac{{\rm d}q}{{\rm d}t}$ 。用 $A,\delta, f_0, \omega_0$表示。

A2  ^1.20 总机械能 $E(t)= \frac{m(\dot q^2 + \omega^2_0 q^2)}{2}$。计算由于外力 $F(t)$的作用， $E(t)$在$t=T_0$ 和$t=0$之间的差值。换句话说，计算 $\Delta E \equiv E(t\ge T_0) - E(t\le 0)$ ，并用 $A,\delta, f_0, \omega_0$表示。

A3  ^1.20 假设 $\delta$ 是一个在 $-\pi \le \delta < \pi$ 范围内均匀分布的随机变量。换句话说，我们有大量完全相同的在外力作用下的谐振子，它们都满足相同的方程 (1)；给定它们的初始条件，使得 $A$ 相同，但 $\delta$ 是在 $-\pi \le \delta < \pi$ 中均匀分布的随机值。计算所吸收能量的统计平均值 $\langle \Delta E \rangle$，以及二阶矩 $\langle (\Delta E)^2 \rangle$。

B 部分：磁偶极矩的进动和它在旋转坐标系中的描述

在磁场$\vec B$中磁偶极矩的能量表示为

$E = - \vec \mu \cdot \vec B = - \gamma \vec S \cdot \vec B$

当我们考虑角动量 $\vec{S}$ 的无穷小旋转，并将其能量差与力矩（$\vec{\tau}$）和角位移的乘积相等时，我们得到了关于$\vec S $ 的方程：

$\vec\tau = \frac{{\rm d}\vec S}{{\rm d}t} = \gamma\vec S \times \vec B $

根据该方程，当$\vec B$ 为常数时，角动量$\vec S$ 会绕磁场方向 进行进动。这一现象被称为拉莫尔进动，其进动频率由$\gamma |\vec B|$ 给出，并且，该频率与$\vec S$ 和 $\vec B$之间的夹角无关。

圆偏振光的照射

在沿 z 方向施加恒定磁场之外，在 xy 平面内引入一个振荡磁场。这种情形下的磁偶极矩的能量为：

$$E = - \omega_0 S_z - \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_x - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_y$$

其中$\omega_0,\omega_1$ 由磁场的相应分量和$\gamma$ 决定，而$\omega_2$ 是磁场的振荡频率。我们假设$\omega_0,\omega_1,\omega_2$ 均为正值。$\vec S$遵循的方程为

$\begin{aligned} \dot S_x &= +\omega_0 S_y - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_y &= -\omega_0 S_x + \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_z &= - \omega_1 \cos (\omega_2 t) S_y +\omega_1 \sin (\omega_2 t) S_x \end{aligned}$

将这些方程用 $S_\pm \equiv S_x \pm i S_y$表示更为方便。我们有：

$\begin{aligned} \dot S_+ &= - i\omega_0 S_+ + i \omega_1 e^{+i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_- &= + i\omega_0 S_- - i \omega_1 e^{-i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_z &= \frac{i\omega_1}{2} \left( e^{-i\omega_2t}S_+ - e^{+i\omega_2 t} S_- \right) \end{aligned}$

下面我们利用 $S_\pm \equiv e^{\pm i\omega_2 t} \Sigma_\pm, \, S_z \equiv \Sigma_z$ 描述旋转坐标系中的自旋。

可以证明，

$\Sigma_x \equiv \tfrac{1}{2}(\Sigma_+ + \Sigma_-),\quad \Sigma_y \equiv \tfrac{i}{2}(\Sigma_- - \Sigma_+)$ , 和 $\Sigma_z$所遵循的方程可以被写为：

$$\frac{\rm d }{{\rm d}t} \vec \Sigma = \vec M \times \vec \Sigma$$

其中 $\vec \Sigma =(\Sigma_x, \Sigma_y, \Sigma_z)$ and $\vec M = (M_x, M_y,M_z)$.

B1  ^1.50 求$M_x,M_y,M_z$的表达式（由 $\omega_0,\omega_1,\omega_2$表示）。

如果让xz平面绕y轴旋转某个恒定角度，由此可以定义新变量$\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$，使得方程得到进一步简化。

$\Sigma_X = \cos\Theta \Sigma_x - \sin\Theta\Sigma_z \\ \Sigma_Y = \Sigma_y \\ \Sigma_Z = \sin\Theta \Sigma_x + \cos\Theta \Sigma_z $

B2  ^0.90 推导包含 $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$的运动方程组（用 $M_x, M_y, M_z $和$\Theta$ 表示）。

那么，在双旋转坐标系的新变量下，若$\Omega$ 和$\tan\Theta$ 选择适当, 这些方程可简化为以下形式：

$\begin{aligned} \dot\Sigma_X &= +\Omega\Sigma_Y \\ \dot\Sigma_Y &= -\Omega\Sigma_X \\ \dot\Sigma_Z &= 0 \end{aligned}$

B3  ^1.00 结合 B.1 和 B.2 的答案，求 用$\omega_0,\omega_1, \omega_2$ 表达的$\Omega$和$\tan\Theta$ 的表达式。

考虑大量的自旋，其初始状态遵循统计分布：在 $t=0$时刻，其平均值为$\langle S_x(0)\rangle = \langle S_y(0)\rangle = 0$ 和 $\langle S_z(0)\rangle>0$。这些自旋均满足由式(2)推导出的同一套方程。

B4  ^1.50 计算$\langle S_z(t)\rangle$。

B5  ^1.50 如果 在 $T_1$的奇数倍时刻（即 $t=T_1, 3T_1, 5T_1, \cdots$）$\langle S_z(t)\rangle =0$，且在其他时刻，均有$\langle S_z(t)\rangle>0$ ，那么 $\omega_1T_1$的值是多少？