Nguồn gốc tính chất từ của vật liệu là mômen từ sinh ra từ mômen động lượng của các thành phần vi mô như electron và hạt nhân. Với một số vật liệu, các mômen từ nhỏ này định hướng theo một phương nhất định để tạo ra từ trường tổng hợp. Nói cách khác, vật liệu có từ hóa khác không. Đối với các loại vật liệu khác, các mômen từ nhỏ định hướng ngẫu nhiên, nhưng khi đặt vật liệu vào từ trường ngoài, các mômen từ nhỏ sẽ quay quanh hướng của từ trường ngoài và tính trung bình vật liệu sẽ xuất hiện từ hóa khác không. Nếu tắt từ trường ngoài, từ hóa của vật liệu có thể giảm dần cho đến khi trở về giá trị ban đầu. Điều này là do tương tác giữa các mômen từ với nhau hoặc tương tác của chúng với các bậc tự do vi mô khác như dao động mạng tinh thể. Quá trình này được gọi sự hồi phục, quá trình này sẽ được xem xét dưới đây bằng cách sử dụng các mô hình cơ học cổ điển.
Chúng ta sẽ xét bài toán về sự hồi phục của spin hạt nhân do tác động nhiễu ngẫu nhiên của các bậc tự do vật lí khác như dao động mạng tinh thể hoặc mômen lưỡng cực từ của electron. Để làm quen với tính ngẫu nhiên trong nghiệm của một hệ cơ học cổ điển, trước hết ta xét một dao động tử điều hòa cưỡng bức của vật khối lượng $m$ và tần số góc $\omega_0$. Năng lượng của dao động tử này thay đổi do ảnh hưởng của ngoại lực phụ thuộc vào thời gian
$$m\frac{{\rm d}^2q(t)}{{\rm d} t^2} + m\omega^2_0 q(t) = F(t)$$
trong đó ngoại lực được cho bởi hàm bậc thang như sau:
$F(t) = \left\{ \begin{matrix} 0, & t<0 \\ +mf_0 ,& 0\le t<T_0/2 \\ - mf_0 ,& T_0/2\le t<T_0 \\ 0, & t\ge T_0 \end{matrix} \right.$
trong đó $\omega_0 = 2\pi/T_0$ là tần số góc của dao động tử $q(t)$. Giả thiết điều kiện ban đầu được cho bởi $q(0)=A\sin\delta,\, \dot q(0)=A\omega_0\cos\delta$.
Trước khi có ngoại lực, năng lượng được bảo toàn và có giá trị của là $E_0 = \frac{m}{2}\omega^2_0 A^2$. Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử $-\pi\le\delta < \pi$.
A3 1.20 Giả thiết rằng $\delta$ là một biến ngẫu nhiên và phân bố đều trong khoảng $-\pi \le \delta < \pi$. Nói cách khác, chúng ta có một số lượng rất lớn các dao động tử điều hòa giống hệt nhau tuân theo phương trình (1). Điều kiện ban đầu của chúng được đưa ra sao cho biên độ $A$ là như nhau, nhưng $\delta$ được chọn ngẫu nhiên trong khoảng $-\pi\le\delta < \pi$. Hãy tìm giá trị trung bình thống kê của $\langle \Delta E \rangle$ và mômen bậc hai $\langle (\Delta E)^2 \rangle$.
Năng lượng của một mômen lưỡng cực từ đặt trong một từ trường $\vec B$ được cho bởi
$E = - \vec \mu \cdot \vec B = - \gamma \vec S \cdot \vec B$
Khi chúng ta xét một phép quay vô cùng nhỏ của mômen động lượng $\vec S $ và đồng nhất độ biến thiên năng lượng với tích của mômen lực ($\vec\tau$) và độ dịch chuyển góc, chúng ta thu được phương trình cho $\vec S.$
$\vec\tau = \frac{{\rm d}\vec S}{{\rm d}t} = \gamma\vec S \times \vec B $
Theo phương trình này, khi $\vec B$ là không đổi, mômen động lượng $\vec S$ tiến động quanh hướng của từ trường $\vec B$. Hiện tượng tiến động này được gọi là tiến động Larmor, và tần số tiến động được cho bởi $\gamma |\vec B|$ và đặc biệt nó không phụ thuộc vào góc giữa $\vec S$ và $\vec B$.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét việc bật một từ trường, từ trường này dao động trong mặt phẳng xy nhưng thành phần theo hướng z là không đổi. Năng lượng của mômen lưỡng cực từ khi đó là
$$E = - \omega_0 S_z - \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_x - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_y$$
trong đó $\omega_0,\omega_1$ được xác định bởi các thành phần tương ứng của từ trường và $\gamma$ , còn $\omega_2$ là tần số dao động của từ trường. Chúng ta giả thiết $\omega_0,\omega_1,\omega_2$ đều dương. Các phương trình cho $\vec S$ là
$\begin{aligned} \dot S_x &= +\omega_0 S_y - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_y &= -\omega_0 S_x + \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_z &= - \omega_1 \cos (\omega_2 t) S_y +\omega_1 \sin (\omega_2 t) S_x \end{aligned}$
Thuận tiện hơn khi viết các phương trình này theo các số hạng $S_\pm \equiv S_x \pm i S_y$. Ta được
$\begin{aligned} \dot S_+ &= - i\omega_0 S_+ + i \omega_1 e^{+i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_- &= + i\omega_0 S_- - i \omega_1 e^{-i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_z &= \frac{i\omega_1}{2} \left( e^{-i\omega_2t}S_+ - e^{+i\omega_2 t} S_- \right) \end{aligned}$
Trong bước tiếp theo, chúng ta đưa spin vào hệ quy chiếu quay bằng cách đặt $S_\pm \equiv e^{\pm i\omega_2 t} \Sigma_\pm, \, S_z \equiv \Sigma_z$. Ta có thể thấy rằng phương trình cho $\Sigma_x \equiv \tfrac{1}{2}(\Sigma_+ + \Sigma_-),\quad \Sigma_y \equiv \tfrac{i}{2}(\Sigma_- - \Sigma_+)$ , và $\Sigma_z$có thể viết lại như sau
$$\frac{\rm d }{{\rm d}t} \vec \Sigma = \vec M \times \vec \Sigma$$
trong đó $\vec \Sigma =(\Sigma_x, \Sigma_y, \Sigma_z)$ and $\vec M = (M_x, M_y,M_z)$.
Các phương trình được đơn giản hóa hơn nữa nếu chúng ta sử dụng phép quay tĩnh trong mặt phẳng xz và định nghĩa các biến mới $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ như sau.
$\begin{aligned} \Sigma_X &= \cos\Theta \Sigma_x - \sin\Theta\Sigma_z \\ \Sigma_Y &= \Sigma_y \\ \Sigma_Z &= \sin\Theta \Sigma_x + \cos\Theta \Sigma_z \end{aligned}$
Sau đó, xét theo các biến mới trong hệ quy chiếu quay hai lần, các phương trình có thể được rút gọn về dạng sau,
$\begin{aligned} \dot\Sigma_X &= +\Omega\Sigma_Y \\ \dot\Sigma_Y &= -\Omega\Sigma_X \\ \dot\Sigma_Z &= 0 \end{aligned}$
nếu $\Omega$ và $\tan\Theta$ được lựa chọn một cách thích hợp.
Bây giờ chúng ta xét một số lượng lớn các spin với phân bố thống kê của các điều kiện ban đầu : tại $t=0$, các giá trị trung bình thỏa mãn $\langle S_x(0)\rangle = \langle S_y(0)\rangle = 0$ và $\langle S_z(0)\rangle>0$. Tất cả các spin đều thỏa mãn cùng một phương trình được suy ra từ phương trình (2).