Bir malzemenin manyetik özelliğinin kaynağı, elektronlar ve atom çekirdekleri gibi mikroskobik bileşenlerinin açısal momentumundan kaynaklanan manyetik momenttir. Bazı malzemelerde, bu minik manyetik momentler belirli bir yönde hizalanarak net bir manyetik alan oluşturur. Başka bir deyişle, malzeme sıfırdan farklı bir manyetizasyona sahiptir. Farklı türdeki malzemelerde, küçük manyetik momentler rastgele yönelir, ancak malzeme harici bir manyetik alana maruz kaldığında, küçük manyetik momentler harici manyetik alanın yönü etrafında döner ve ortalama olarak malzeme sıfırdan farklı bir manyetizasyon geliştirir. Dış manyetik alanı kapatırsak, malzemenin manyetizasyonu, orijinal değerine dönene kadar kademeli olarak azalabilir. Bu, manyetik momentler arasındaki etkileşime veya bunların kafes titreşimi gibi diğer mikroskobik serbestlik dereceleriyle etkileşimine bağlıdır. Bu sürece gevşeme denir ve aşağıda klasik mekanik modeller kullanılarak ele alınacaktır.
Bu çalışmada, kafes titreşimi veya elektronların manyetik dipol momentleri gibi diğer fiziksel serbestlik derecelerinin rastgele dalgalanmalarına bağlı nükleer spin gevşemesi problemini ele alıyoruz. Klasik mekanik sistemlerinin çözümlerindeki rastgelelik kavramına aşina olmak için, kütlesi $m$ ve açısal frekansı $\omega_0$ olan zorlanmış bir harmonik salınıcı ile başlayalım. Salınıcının enerjisi, zamana bağlı bir dış kuvvetin etkisiyle değişir.
$$m\frac{{\rm d}^2q(t)}{{\rm d} t^2} + m\omega^2_0 q(t) = F(t)$$
burada dış kuvvet aşağıdaki basamak fonksiyonla verilir.
$F(t) = \left\{ \begin{matrix} 0, & t<0 \\ +mf_0 ,& 0\le t<T_0/2 \\ - mf_0 ,& T_0/2\le t<T_0 \\ 0, & t\ge T_0 \end{matrix} \right.$
$q(t)$Burada $\omega_0 = 2\pi/T_0$ salınıcının açısal frekansıdır. Başlangıç koşulunun $q(0)=A\sin\delta,\, \dot q(0)=A\omega_0\cos\delta$ olduğunu varsayalım.
Dış kuvvet devreye girmeden önce enerji korunur ve değeri $E_0 = \frac{m}{2}\omega^2_0 A^2$ olur. Genel geçerliliği kaybetmeden $-\pi\le\delta < \pi$ olduğunu varsayalım.
A2 1.20 Toplam mekanik enerji $E(t)= \frac{m(\dot q^2 + \omega^2_0 q^2)}{2}$ ifadesini ele alalım. $F(t)$ dış kuvvetinin etkisiyle $t=T_0$ ve $t=0$ arasındaki$E(t)$ farkını hesaplayın. Başka bir deyişle, $\Delta E \equiv E(t\ge T_0) - E(t\le 0)$ değerini hesaplayın ve bunu $A,\delta, f_0, \omega_0$ cinsinden ifade edin.
A3 1.20 $\delta$'nin $-\pi \le \delta < \pi$ aralığında tekdüze dağılıma sahip bir rastgele değişken olduğunu varsayalım. Başka bir deyişle, hepsi aynı (1) denklemini sağlayan çok sayıda özdeş zorlanmış harmonik salınıcımız var. Başlangıç koşulları, $A$ değerinin aynı olduğu, ancak $\delta$ değerinin $-\pi\le\delta < \pi$ aralığından rastgele seçildiği durum için verilmiştir. Emilen enerji$\langle \Delta E \rangle$ 'nin istatistiksel ortalamasını ve ayrıca 2. momenti $\langle (\Delta E)^2 \rangle$'yi hesaplayınız.
Manyetik alan $\vec B$ içindeki bir manyetik dipol momentinin enerjisi şu şekilde verilir:
$E = - \vec \mu \cdot \vec B = - \gamma \vec S \cdot \vec B$
$\vec S $açısal momentumun sonsuz küçük bir dönüşünü ele alıp enerji farkını tork ($\vec\tau$) ile açısal yer değiştirmenin çarpımıyla eşitlediğimizde, $\vec S$ için şu denklemi elde ederiz
$\vec\tau = \frac{{\rm d}\vec S}{{\rm d}t} = \gamma\vec S \times \vec B $
Bu denkleme göre, $\vec B$ sabit olduğunda $\vec S$açısal momentum $\vec B$manyetik alanın yönü etrafında presesyon yapar. Bu fenomen Larmor presesyonu olarak bilinir ve presesyonun frekansı $\gamma |\vec B|$ ile verilir ve özellikle $\vec S$ile $\vec B$ arasındaki açıdan bağımsızdır.
Şimdi, z yönü boyunca sabit bir bileşene ek olarak xy düzleminde salınan bir manyetik alanın etkisini ele alalım. Bu durumda manyetik enerji
$$E = - \omega_0 S_z - \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_x - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_y$$
burada $\omega_0,\omega_1$ manyetik alanın ve $\gamma$ 'nın ilgili bileşenleri ile verilirken $\omega_2$, salınan manyetik alanın frekansıdır. $\omega_0,\omega_1,\omega_2$değerlerinin tümünün pozitif olduğunu varsayıyoruz. $\vec S$için denklemler şöyledir:
$\begin{aligned} \dot S_x &= +\omega_0 S_y - \omega_1 \sin(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_y &= -\omega_0 S_x + \omega_1 \cos(\omega_2 t) S_z\\ \dot S_z &= - \omega_1 \cos (\omega_2 t) S_y +\omega_1 \sin (\omega_2 t) S_x \end{aligned}$
Bu denklemleri $S_\pm \equiv S_x \pm i S_y$ cinsinden yazmak daha kullanışlıdır. Elimizde şunlar vardır
$\begin{aligned} \dot S_+ &= - i\omega_0 S_+ + i \omega_1 e^{+i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_- &= + i\omega_0 S_- - i \omega_1 e^{-i\omega_2 t }S_z \\ \dot S_z &= \frac{i\omega_1}{2} \left( e^{-i\omega_2t}S_+ - e^{+i\omega_2 t} S_- \right) \end{aligned}$
Bir sonraki adımda, $S_\pm \equiv e^{\pm i\omega_2 t} \Sigma_\pm, \, S_z \equiv \Sigma_z$ ifadelerini kullanarak dönen sistemde spin kavramını ele alalım. $\Sigma_x \equiv \tfrac{1}{2}(\Sigma_+ + \Sigma_-),\quad \Sigma_y \equiv \tfrac{i}{2}(\Sigma_- - \Sigma_+)$ ve $\Sigma_z$ için denklemlerin şu şekilde yazılabileceği gösterilebilir:
$$\frac{\rm d }{{\rm d}t} \vec \Sigma = \vec M \times \vec \Sigma$$
burada $\vec \Sigma =(\Sigma_x, \Sigma_y, \Sigma_z)$ ve $\vec M = (M_x, M_y,M_z)$.
xz düzleminde statik bir dönme hareketini ele alır ve aşağıda verildiği şekilde $\Sigma_X,\Sigma_Y,\Sigma_Z$ gibi yeni değişkenler tanımlarsak, denklemler daha da basitleştirilir.
$\begin{aligned} \Sigma_X &= \cos\Theta \Sigma_x - \sin\Theta\Sigma_z \\ \Sigma_Y &= \Sigma_y \\ \Sigma_Z &= \sin\Theta \Sigma_x + \cos\Theta \Sigma_z \end{aligned}$
Daha sonra, çift dönme sistemindeki yeni değişkenler açısından denklemler şu şekle indirgenebilir:
Eğer $\tan\Theta$ ve $\Omega$ uygun şekilde seçilirse,
$\begin{aligned} \dot\Sigma_X &= +\Omega\Sigma_Y \\ \dot\Sigma_Y &= -\Omega\Sigma_X \\ \dot\Sigma_Z &= 0 \end{aligned}$
Şimdi, başlangıç konfigürasyonlarının istatistiksel dağılımına sahip çok sayıda spini ele alalım: $t=0$'da, ortalama değerler $\langle S_x(0)\rangle = \langle S_y(0)\rangle = 0$ ve $\langle S_z(0)\rangle>0$ koşullarını karşılar. Tüm spinler, Denklem (2)’den türetilen aynı denklemi sağlarlar.